九年级数学下册例1

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期：___________

2021年九年级下册数学教学总结

回顾九年级数学总复习工作,应当说是取得了一定成绩。现总结如下：

我认为九年级总复习是重要的教学阶段,是学生再学习的过程,也是全面提高学生文化素质,发展学生思维能力,培养学生分析问题解决问题能力的“收获季节“,是学生继续学习和参加工作的准备阶段,每位教师应负起责任,让学生满载着素质教育的丰硕果实结束义务教育。

一、总复习工作面向全体学生

我的具体做法是:

㈠教师的板书与学生的板演

教师的板书应体现知识的发生过程,知识之间的纵横联系,对问题的解答要让学生看解题思路及学生参与情况,教师的板书布局要合理,层次要分明,电教手段运用要和谐。

强化学生板演作用,让不同层次学生都有机会表现,因为学生板演可为教师提供反馈信息,如暴露知识上的缺欠,可弥补讲课中的不足,同时,学生板演中出现的优秀解题方法,为教师提供向学生学习的良好机会;另外也可以培养学生胆识,培养学生独立思考能力,促进记忆。

㈡注重学生解题中的错误分析

在总复习中,学生在解题中出现错误是不可避免,教师针对错误进行系统分析是重要的,首先教师可以通过错误来发现教学中的不足,从而采取措施进行补救;错误从一个特定角度揭示了学生掌握知识的过程,是学生在学习中对所学知识不断尝试的结果,教师认真总结,可以成为学生知识宝库中的重要组成部分,使学生领略解决问题中的探索、调试过程,这对学生能力的培养会产生有益影响。

首先,教师应预防错误的发生,要了解不同层次学生对知识的掌握情况,调查中发现:

⑴字面理解水平;⑵联系的理解水平;⑶创造性水平

其次,在复习过程中,提问是重要复习手段,对于学生错误的回答,要分析其原因进行有针对性的讲解,这样可以利用反面知识巩固正面知识。

最后,课后的讲评要抓住典型加以评述。事实证明,练是实践,评是升华,只讲不评,练习往往走过场。

㈢关心学习上有困难的学生

对学习有困难的学生特别予以关心,反复采取措施,激发他们学习数学的兴趣,指导他们改进学习方法,帮助他们解决学习中的困难,使他们经过努力,能够达到大纲中规定的基本要求,成为一名合格的初中毕业生。

首先,我找他们促膝谈心,把教师的爱倾注给学生,通过我的热心、体贴、耐心的帮助,学生会从心理体会到师生之间真挚情感,从而激发他们的学习信心。

其次,在课堂教学中,特别在题目的选择上要有梯度,符合他们的认知水平,逐步使他们学习质量有所提高。

最后,在班内开展学习中的互相帮助活动,创设一个良好的复习情境,同时,有计划、有针对性地做好课外辅导工作。

二、要把“发展学生思维能力是培养能力的信心“这思想贯穿整个复习的始终。

、变更命题的表现形式,培养学生思维的深刻性。

、寻求不同的解题途径与思维方式,培养学生的思维广阔性。

3、变化几何图形的位置、形状和大小,培养学生思维的灵活性,敏捷性强化题目的条件和结论,培养学生的思维批评性。

5、变封闭题目为开放型题目,培养学生的思维创造性。

三、做好数学技能的再学习,全面培养学生素质

根据数学大纲的规定,一般认为数学技能指以下___种

⑴运算技能

⑵作图和画图技能

⑶推理技能

为此,在数学复习中,特别在学生练习中我做到了下面几个方面:

第一,正确性。要求学生在解题过程中遵循正确思维规律和形式,在

运算、推理、作图中和所得结论中都要准确无误。

第二、速度。

注重解题速度。

第三、协调性。

九年级数学下册例2

九年级下册数学教案：锐角三角函数的计算一、教学目标

1.通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。

2.经历利用三角函数知识解决实际

问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。

3.感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习

的好奇 心，培养学生与他人合作交流的意识。

二、教材分析

在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。在上节课中已经学习了30°，45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。本节课让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。

三、学校及学生状况分析

九年级的学生年龄一般在15岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关系。另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。

学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的课程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。

四、教学设计

(一)复习提问

1.梯子靠在墙

上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米?

学生活动：根据题意，求出数值。

2.在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗?

不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。

图1(二)创设情境引入课题

1?如图1，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A=16 °，那么缆车垂直上升的距离是多少?

哪条线段代表缆车上升的垂直距离?

线段BC。

利用哪个直角三角形可以求出BC?

在RtABC中，BC=ABsin 16°，所以BC=200sin 16°。

你知道sin 16°是多少吗?我们可以借助科学计算器求锐角三角形的三角函数值。 那么，怎样用科学计算器求三角函数呢?

用科学计算器求三角函数值，要用sin cos和tan键。教师活动：(1)展示下表;(2)按表口述，让学生学会求sin16°的值。按键顺序显示结果sin16°sin16=sin 16°=0?275 637 355

学生活动：按表中所列顺序求出sin 16°的值。

你能求出cos 42°，tan 85°和sin 72°38′25″的值吗?

学生活动：类比求sin 16°的方法，通过猜想、讨论、相互学习，利用计算器求相应的三角函数值(操作程序如下表)：

按键顺序显示结果cos 42°cos42 =cos 42°=0?743 144 825tan 85°tan85=tan 85°=11?430 0523sin 72°38′25″sin72D′M′S

38D′M′S2

5D′M′S=sin 72°38′25″

0?954 450 321

师：利用科学计算器解决本节一开始的问题。

生：BC=200sin 16°≈52?12(m)。

说明：利用学生的学习兴趣，巩固用计算器求三角函数值的操作方法。

(三)想一想

师：在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了 200 m，缆车由点B到达点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算什么?

学生活动：(1)可以求出第二次上升的垂直距离DE，两次上升的垂直距离之和，两次经过的水平距离，等等。(2)互相补充并在这个过程中加深对三角函数的认识。

(四)随堂练习

1.一个人由山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300

m，再爬30°的山坡100 m，求山高(结果精确到0.1 m)。

2.如图2，∠DAB=56°，∠CAB=50°，AB=20

m，求图中避雷针CD的长度(结果精确到0.01 m)。

图2图3

(五)检测

如图3，物华大厦离小伟家60 m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求大厦的高度(结果精确到0?1m)。

说明：在学生练习的同时，教师要巡视指导，观察学生的学习情况，并针对学生的困难给予及时的指导。

(六)小结

学生谈学习本节的感受，如本节课学习了哪些新知识，学习过程中遇到哪些困难，如何解决困难，等等。

(七)作业

1.用计算器求下列各式的值：

(1)tan 32°;(2)cos 24?53°;(3)sin 62°11′;(4)tan 39°39′39″。

图42?如图4，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180m的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)。

五、教学反思

1.本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用。

本节课的知识点不是很多，但是学生通过积极参与课堂，提高了分析问题和解决问题的能力，并且在意志力、自信心和理性精神 等方面得到了良好的发展。

2.教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者和帮助者，依据教材特点创设问题情境，从学生已有的知识背景和活动经验出发，帮助学生取得了成功。

北师版数学初三下册教案一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.

(二)能力训练点

逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

(三)德育渗透点

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

二、教学重点、难点

1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.

2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米?

2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少?

3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少?

4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度?

前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.

通过四个例子引出课题.

(二)整体感知

1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.

学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.

2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?

这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.

2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：

若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其

顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，AB1C1∽AB2C2∽AB3C3∽……，

形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.

通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.

而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.

练习题为 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.

(四)总结与扩展

1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.

教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.

2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.

四、布置作业

本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.

九年级下册数学教案北师大一、素质教育目标

(一)知识教学点

使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.

(二)能力训练点

逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

(三)德育渗透点

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

二、教学重点、难点

1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.

2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.

三、教学步骤

(一)明确目标

1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米?

2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少?

3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少?

4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度?

前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.

通过四个例子引出课题.

(二)整体感知

1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.

学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.

2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?

这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.

2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：

若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其

顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，AB1C1∽AB2C2∽AB3C3∽……，

形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.

通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.

而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.

练习题为 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.

(四)总结与扩展

1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.

九年级数学下册例3

全面贯彻落实党和国家的教育教学方针，深入推进和贯彻《初中数学新课程标准》的精神，以学生发展为本，以改变学习方式为目的，以培养高素质的人才为目标，，培养学生创新精神和实践能力为重点的素质教育，探素有效教学的新模式。以课堂教学为中心，紧紧围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行教学，针对近年来中考命题的变化和趋势进行研究，收集试卷，精选习题，建立题库，努力把握中考方向，积极探素高效的复习途径，力求达到减负、加压增效的目的，促进学生生动、活泼、主动地学习，力求中考取得好成绩。通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习所必须的基本知识和基本能力，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

二、学情分析：

本学期我担任九年级1702、1703班的数学教学工作，共有学生103人，上学期期末考试成绩比较好，但希望生也比较多，整体学习风气浓厚，学生的探素能力、空间思维能力还有很大的提高空间。在本学期的数学教学中还待精耕细作在教学过程中务必具有创新意识，每一个教学环节都应巧做安排，为此特制定本计划.

三、教材分析：

（一）新课：第1章，二次函数;第2章，圆;第3章，投影与视图;第4章，概率

二次函数主要是通过二次函数图像探究二次函数性质，探讨二次函数与元二次议程的关系，最终实现二次函数的综合应用。本章教学重点是求二次函数解析式、二次函数图像与性质及二者的实际应用。本章教学难点是运用二次函数性质解决实际问题。圆这章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线与圆的位置关系，圆的切线，切线长，弧长和扇形的画积，正多边形与圆，本章涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，淮确理解和掌握概念与定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题是本章的教学难点。投影与视图这章的主要内容是平行投影和中心投影，直棱柱、圆锥的侧面展开图，三视图。本章的重点理解立体图形各种视图的概念，会画简单立体图形的三视图。本章教学难点是画简单立体图形的三视图。概率的计算的重点是通过实验活动，理解事件发生的频率与概率之间的关系，体会概率是描述机现象的数学模型，体会频率的稳定性，掌握概率的计算方法。难点是注重素材的真实性、科学性、以及来源渠道的多样性。

（二）中考复习内容

第一阶段(第4周一一第10周):全面复习基础知识，加强基本技能训练.这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，做到全面、扎实、系统，形成知识网络

1、重视课本，系统复习。现在中考命题仍然以基础题为主，有些基础题是课本上的原题或改造，后面的大题虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引伸、変形或组合，所以第一阶段复习应以课本为主

2、按知识板块组织复习。把知识进行归类，将全初中数学知识分为十ー讲第一讲数与式;第二讲方程与不等式;第三讲函数;第四讲三角形;第五讲四边形;第六讲圆;第七讲图形与变换:第八讲统计与概率。复习中由教师提出每个讲节的复习提要，指导学生按“提要”复习，同时要注意引导学生根据个人具体情況把遗忘了知识重温一遍，边复习边作知识归类，加深记忆，注意引导学生弄清概念的内涵和外延，掌握法则、公式、定理的推导或证明，例题的选择要有针对性、典型性、层次性，并注意分析例题解答的思路和方法。

3、重视对基础知识的理解和基本方法的指导。基础知识即初中数学课程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求学生掌握各知识点之间的内在联系，理清知识结枃，形成整体的认识，并能综合运用。例如一元二次方程的根与二次

函数图形与x轴交点之间的关系，是中考常常涉及的内容，在复习时，应从整体

上理解这部分内容，从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。又如一元ニ次方程与几何知识的联系的题目有非常明显的特点，应掌握其基本解法。

中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法，判别式法等操作性较强的数学方法。在复习时应对每一种方法的内涵，它所适应的题型，包括解题步骤都应熱练掌握。

4、重视对数学思想的理解及运用。如函数的思想，方程思想，数形结合的思想等。

第二阶段(第11周ー一第15周):综合运用知识，加强能力培养中考复习的第二阶段应以构建初中数学知识结构和网络为主，从整体上把握数学内容，提高能力。培养综合运用数学知识解题的能力，是学习数学的重要目的之一。这个阶段的复习目的是使学生能把各个讲节中的知识联系起来，并能综合运用，做到举一反三、触类旁通。这个阶段的例题和练习题要有一定的难度，但又不是越难越好，要让学生可接受，这样才能既激发学生解难求进的学习欲望，又使学生从解决较难问题中看到自己的力量，增强前进的信心，产生更强的求知欲。第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高，应側重培养学生的数学能力。这阶段尤其要精心设计每一节复习课，注意数学思想的形成和数学方法的掌握。初中总复习的内容多，复习必须突出重点，抓住关键，解决疑难，这就需要充分发挥教师的主导作用。而复习内容是学生已经学习过的，各个学生对教材内容掌握的程度又各有差异，这就需要教师千方百计地激发学生复习的主动性、积极性，引导学生有针对性的复习，根据个人的具体情况，查漏补缺，做知识归类、解题方法归类，在形成知识结构的基础上加深记忆。際了复习形式要多样，题型要新颖，能引起学生复习的兴趣外，还要精心设计复习课的教学方法，提高复习效益

四、教学目标

1、情感态度与价值观:通过学习交流、合作、讨论的方式，积极探素，激发学生的学习兴越，改进学生的学习方式，提言学习质量，逐步形成正确地数学价值观，使学生的情感得到发震。

2、知识与技能:掌握二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元ニ次方程，能用二次函数分析和解决简单的实际问题等。理解点、直线与因的位置关系，弧长和扇形的面积，掌握圆的切线、切线长及与圆有关的角等概念和计算。掌握平行投影和中心投影，直棱柱、圆锥的側面展开图，三视图。掌握概率的计算方法;理解概率在生活中的应用。

教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点

3、过程与方法:经历探素过程，让学生进一步体会数学来源与实践又反过来作用于实践。通过探素、学习，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象，会用归纳、演绎、类比进行简单地推理。围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理，围绕初中数学“四大块”主要内容进行专题复习，适时的进行分层教学，画向全体学生、培养全体学生、发震全体学生。

4、预期目标:合格率85％，优秀率20％，平均分80分

五、教学措施

1、认真学习钻研新课标，通盘熟悉初中数学教材及教学目标，认真各好每一堂课，精心制作总复习计划;

2、认真上好每一堂课，抓住关键点，分散难点，突出重点，在培养能力上下工夫

3、注重课后反思，及时的将一节课的得失记录下来，不断积累教学经验

4、加强学校教师与家长、社会的联系，共同努力提高学生的学习成绩

5、积极与其他教师沟通，加强教研教改，提高教学水平

6、经常听取学生良好的合理化建议

7、以“两头”带“中间”的战略

8、注重教学中的自主学习、合作学习、探究学习等学习方式的引导

9、认真开展课内、课外活动，激发学生的学习兴越

六、教学课时安排

1、第1周至第2周:第3章的教学任务并完成測验、分析、讲评

2、第3周:完成概率的教学任务，并完成测验、分析、讲评。

九年级数学下册例4

26.1

反比例函数ﻫ26.1.1

反比例函数

【基础练习】

一、填空题：

1.A、B两地相距120千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v（千米/时）与行驶时间t（小时）之间的函数关系可表示为

；

2.有一面积为60的梯形,其上底长是下底长的

，设下底长为x，高为y，则y与x的函数关系式是

；

3．已知y与x成反比例，并且当x　=

2时，y

＝

-1，则当x

＝　-4时,y　=

.

二、选择题:

1.下列各问题中的两个变量成反比例的是(

);

A．某人的体重与年龄

ﻩ

B．时间不变时,工作量与工作效率

C.矩形的长一定时,它的周长与宽

D.被除数不变时,除数与商

2.已知y与x成反比例,当x

=

3时，y

=

4,那么当y

=

3时，x的值为(

）；

A.

4

B.

-4

C．

3

D.

-3

3.下列函数中,不是反比例函数的是(

)

A.

xy

=　2

B.

y　=

-

(k≠0）

C.

y

=

D.

x

=

5y－1

三、解答题：

1.一水池内有污水60m3,设放净全池污水所需的时间为t

(小时），每小时的放水量为wm3,

(1)试写出t与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？

(2)求当w

=

15时，t的值.

2．已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:

x

-5

-3

-2

1

4

5

y

－

-1

-3

1]

(1）写出这个反比例函数表达式；

(2)将表中空缺的x、y值补全.

【综合练习】

举出几个日常生活中反比例函数的实例．

【探究练习】

已知函数y

＝

y1

+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x

=

1时，y

=　4，当x　=

2时，y　=　5．

求y关于x的函数解析式.

答案:

【基础练习】一、1.

v　＝

；

2．　y

=　;

3．

．

二、1.

D；

2．

A;

3．　C.

三、1.

(1)t　=

,(2)t

=

4.

2.

（1)y　=

；(2)从左至右：x　＝

-4，-1，2，3；y　=　-

，-　，3，,.

【综合练习】略．

【探究练习】y　=

2x　+

．

第二十六章

反比例函数

26.1

反比例函数ﻫ26.1．1

反比例函数

一．判断题

1.如果y是x的反比例函数，那么当x增大时,y就减小

(

)

2.当x与y乘积一定时，y就是x的反比例函数，x也是y的反比例函数

(

）

3.如果一个函数不是正比例函数,就是反比例函数

(

）

4.y与x2成反比例时y与x并不成反比例

（

）

5.y与2x成反比例时，y与x也成反比例

（

）

6．已知y与x成反比例，又知当时，,则y与x的函数关系式是（

）

二.填空题

7．叫___＿______函数,x的取值范围是_＿__＿_____；

8.已知三角形的面积是定值S,则三角形的高h与底a的函数关系式是,这时h是a的_＿____＿＿__;

9.如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成____＿＿____；

10．如果函数y=是反比例函数，那么k

＝_____＿＿_，此函数的解析式是

；

11.下列函数表达式中，均表示自变量,那么哪些是反比例函数，如果是请在括号内填上的值，如果不是请填上“不是”

①;（

）

②；（

）

③;　(

)

④；（

)

⑤；(

）⑥(

)⑦（

)

12．判断下面哪些式子表示是的反比例函数？

①;

②；

③；

④；

解：其中

是反比例函数，而

不是;

13．计划修建铁路1200,那么铺轨天数（天）是每日铺轨量的反比例函数吗?

解：因为

,所以是的反比例函数;

14．一块长方形花圃，长为米,宽为米，面积为8平方米,那么与成

函数关系，列出关于的函数关系式为

；

三.选择题：

15.若是反比例函数,则、的取值是

(

）

（A）(B）

(C）

（D）

16．附城二中到联安镇为5公里,某同学骑车到达，那么时间与速度(平均速度）之间的函数关系式是

(

）

(A）

(B）

（C)

（D）

17．已知A(,）在满足函数，则

(

）

(A)

（B)

1

(C)

（D)

2

18．下列函数中,是反比例函数的是

(

)

（A）

（B)

(C）

（D)

19．下列关系式中,哪个等式表示是的反比例函数

(

)

（A)

（B）

（C)

（D)

20．函数是反比例函数，则的值是

(

）

(A)或（B)

（C)

（D)

四.解答题：

21．在某一电路中，保持电压V(伏特)不变,电流I（安培）与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5时，电流I=2安培。

(1）求I与R之间的函数关系式。

(2）当电流I＝0.5安培时,求电阻R的值。

26.1．2

反比例函数的图象和性质ﻫ第1课时

反比例函数的图象和性质

一.填空题

1．反比例函数的图象是____＿＿__,过点(,＿_＿_),其图象两支分布在_

_＿象限;

2．已知函数的图象两支分布在第二、四象限内，则的范围是_＿＿__＿__＿

3.双曲线经过点（,)，则;

4．反比例函数和正比例函数的图象都经过点A(,),则这两个函数的解析式分别是_____＿___和______＿_＿;

二．选择题

:

5.已知反比例函数的图象经过点(1，2）,则它的图象也一定经过

(

）

（A）

(，）

(B)

（，)

（C）

(1，）

（D)

(,)

6.反比例函数

()的图象的两个分支分别位于

（

）

（A）

第一、二象限

(B)

第一、三象限

(C)

第二、四象限

（D）　第一、四象限

7.如图1—84,反比例函数的图象经过点A,则k的值是

(

)

（A）

2

(B）

1.5

(C)

（D)

8．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到轴的距离为3,若点A在第二象限内.则这个反比例函数的解析式为

（

）

(A)

（B）

（C）

(D)

9．反比例函数的图象两支分布在第二、四象限，则点(,)在

（

)

（A）

第一象限

(B）

第二象限

（C）

第三象限

（D）

第四象限

10．若函数是反比例函数,且它的图象在二、四象限内,则的值是

(

）

（A)

(B)

1

（C）

0或1

(D)

非上述答案

三．解答题

11.已知正比例函数与反比例函数的图象都过A(，1)点.求:

（1)正比例函数的解析式；

(2)正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标.

12．设a、b是关于x的方程的两个不相等的实根(k是非负整数)，一次函数y＝(k－2)x+m与反比例函数的图象都经过点(a,b）．

(1)求k的值；

(2)求一次函数和反比例函数的解析式．

第2课时

反比例函数的图象和性质的综合运用

1、若M(,）、N(,)、P（,)三点都在函数（k>0)的图象上，则、、的大小关系是(

)

（A）

（B)

(C）

（D）

2、如图,A为反比例函数图象上一点,AB垂直轴于B点，若＝5,则的值为(

）

(A）

10ﻩ

（B）

ﻩ

（C）

(D)

3、如图是三个反比例函数,在x轴上方的图像，由此观察得到kl、k2、k3的大小关系为（

）

（A)

k1>k2>k3

(B)

k3>k1>k2

（C)

k2>k3＞k1

（D)

k3>k2＞k1

4、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是(

）

(A）

、异号

(B)　、同号

(C)

>0，

(D)

＜0,

>0

5、如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若SAOB＝3,则的值为(

）

A、6

B、3ﻩ

C、

ﻩD、不能确定

6、已知反比例函数的图像上有两点A（，)，B(，),且，则的值是（

)A、

正数

B、

负数

C、

非正数

D、

不能确定

7、如图,过反比例函数(x＞0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB，设AOC和BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得(

)

（A）S1>S2

(B)S1＝S2

(C）S1

（D）大小关系不能确定

8、在反比例函数的图象上有两点和,若时,,则的取值范围是

．

14、函数的图像，在每一个象限内,随的增大而

;

9、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D,如图所示，则四边形ABCD的面积为_____＿_．

10、已知反比例函数若函数的图象位于第一三象限，则k__________＿__;

若在每一象限内，y随x增大而增大,则k____＿＿＿__＿_＿_．

11、考察函数的图象,当x=-2时,y=

___

,当x

__＿__

；当y﹥-1时,x的取值范围是

_＿＿＿＿_＿__

．

12、若点(-2，y1)、(-1,y2)、(2,y3)在反比例函数的图象上，

则y1，y2,y3的大小关系是：______＿__＿_＿____＿．

13、在反比例函数的图象上有三点(x1,y1)、(x2，y2）、（x3,y3),若x1>x2＞0>x3，则y1,y2，y3的大小关系是：_＿___＿________＿＿＿.

14、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是

.

15、如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=（k

(1）分别求直线AB与双曲线的解析式;

(2)求出点D的坐标；

（3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时,y1>y2.

x

y

o

P

Q

16、如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=

kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6。

D

C

（1）求这个一次函数的解析式(2）求三角形POQ的面积

17、如图，RtABO的顶点A是双曲线y＝与直线y=-x-(k+1)在第二象限的交点.ABx轴于B,且SABO=.

（1）求这两个函数的解析式;

(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和AOC的面积．

26.2

实际问题与反比例函数ﻫ第1课时

实际问题中的反比例函数

1.三角形的面积为8cm2,这时底边上的高y(cm)与底边x(cm）之间的函数关系用图象来表示是

.

2.长方形的面积为60cm2,如果它的长是ycm,宽是xcm,那么y是x的

函数关系，y写成x的关系式是

。

3．A、B两地之间的高速公路长为300km,一辆小汽车从A地去B地,假设在途中是匀速直线运动,速度为vkm/h,到达时所用的时间是th,那么t是v的

函数，t可以写成v的函数关系式是

。

4．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h）之间的函数关系图象。

(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。

（2)写出此函数的解析式

（3)若要6h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?

(4）如果每小时排水量是5m3，那么水池中的水将要多长时间排完？

5.某厂要制造能装250mL（1mL=1

cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02

cm，顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x　cm的易拉罐用铝量是y

cm3．

用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y与x间的函数关系式.

6.某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y（个）之间有如下关系：

日销售单价x（元）

3

4

5

6

日销售量y(个）

20

15

12

10

（1)根据表中数据,在直角坐标系中描出实数对(x,y）的对应点;

(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；

(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润?

第2课时

其他学科中的反比例函数

1、近视眼镜的度数y(度）与镜片焦距x成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0．25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是

.

2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是

A:小明完成100m赛跑时，时间t（s)与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。

B:菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm)与x(cm）的关系。

C：一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的密度之间的关系。

D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。

3.一定质量的氧气，它的密度ρ（kg／m3)是它的体积(m3)的反比例函数,当=10m3时,ρ=1.43kg/m3.

(1）求ρ与的函数关系式；(2）求当=2m3时,氧气的密度ρ.

4.一封闭电路中，当电压是6V时,回答下列问题：

1、写出电路中的电流I(A)与电阻R(Ω）之间的函数关系式。

2、画出该函数的图象。

5.如果一个用电器的电阻是5Ω，其最大允许通过的电流为1A,那么直接把这个用电器接在这个封闭电路中,会不会烧坏？试通过计算说明理由。

6.如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm),观察弹簧秤的示数y(N）的变化情况．实验数据记录如下：

x(cm)

…

10

15

20

25

30

…

y（N）

…

30

20

15

12

10

…

（1)把上表中（x，y)的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像,猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式;

(2）当弹簧秤的示数为24N时,弹簧秤与O点的距离是多少厘米?随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？

第二十七章

相似

27．1

图形的相似

基础题

1．下列各组图形相似的是(

)

2．将左图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是(

）

3.将一个直角三角形三边扩大3倍,得到的三角形一定是(

）

A．直角三角形

ﻩ

ﻩ　B．锐角三角形

C．钝角三角形

D.以上三种情况都有可能

4．下列各线段的长度成比例的是(

)

A.2

cm，5　cm，6

cm，8

cm

B.1　cm，2　cm，3

cm，4

cm

C.3

cm,6　cm,7　cm，9

cm

D.3

cm，6　cm，9

cm，18

cm

5.两个相似多边形一组对应边分别为3　cm,4.5

cm，那么它们的相似比为(

)

A.

B.　ﻩﻩﻩ　C.

ﻩﻩ

D.

6．（莆田中考）下列四组图形中，一定相似的是（

)

A.正方形与矩形

ﻩ

ﻩ　B.正方形与菱形

C.菱形与菱形

D．正五边形与正五边形

7.在比例尺为1∶200的地图上，测得A,B两地间的图上距离为4.5

cm,则A，B两地间的实际距离为___＿＿＿m.

8.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2　cm变成了6

cm,这次复印的放缩比例是___＿＿＿＿_.

9．如图所示是两个相似四边形，求边x、y的长和∠α的大小．

中档题

10.下列说法:

①放大（或缩小)的图片与原图片是相似图形；

②比例尺不同的中国地图是相似形；

③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；

④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；

⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的.

其中正确的说法有(

)

A．2个

ﻩﻩ

B．3个

C．4个

ﻩﻩ　D.5个

11.(重庆中考)如图，ABC与DEF相似,相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC=1，则EF的长是(

)

A.1

ﻩﻩ　B.2

C.3

ﻩﻩ

D.4

12.某机器零件在图纸上的长度是21　mm,它的实际长度是630

mm,则图纸的比例尺是(

）

A．1∶20

ﻩﻩ

B.1∶30

C．1∶40

D.1∶50

13．如图,正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似,若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(

）

A．2DE=3MN

B.3DE＝2MN

C．3∠A＝2∠F

D.2∠A=3∠F

14.如图所示,两个等边三角形，两个矩形,两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似的一组是(

)

15．如图所示,它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知,∠α=＿_______,m=___＿__＿_．

16．如图，左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同.

17．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺,为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成,问：

(1)每块地砖的长与宽分别为多少?

(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．

综合题

18．如图:矩形ABCD的长AB＝30,宽BC=20.

(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；

(2)如图2，x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似?

参考答案

1．

B

2.A

3．A

4.D

5.A　6.D

7．9

8．1∶3

9.

两个四边形相似,

==，即==.

x＝24，y＝28.

∠B＝∠B′=73°，

∠α＝360°-∠A-∠D－∠B=83°．

10.

D

11.B

12．B　13.B　14.B　15.125°　12

16.图略.

17.

(1)设矩形地砖的长为a

cm，宽为b

cm,

由题图可知4b＝60,即b＝15.

因为a＋b＝60，所以a=60－b=45,

所以矩形地砖的长为45

cm,宽为15

cm.(2）不相似．

理由:因为所铺成矩形地面的长为2a＝2×45＝90(cm),宽为60

cm,

所以=＝,而＝=,≠，

即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．

所以它们不相似．

18.

(1)不相似，AB=30，A′B′＝28,BC=20，B′C′=18,而≠,故矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不相似.

(2)

矩形ABCD与A′B′C′D′相似,则=或=.则：＝,或=，

解得x＝1．5或9,故当x=1.5或9时,矩形ABCD与A′B′C′D′相似．

27.2.1

相似三角形的判定

第1课时

平行线分线段成比例

一.　填空题:

1.

如图，梯形ABCD,AD／/BC，延长两腰交于点E，若，则

第1题图

第2题图

第3题图

第4题图

2.

如图,中，EF/／BC，AD交EF于G,已知，则．

3.

如图,梯形ABCD中,,且MN//PQ//AB,,则MN＝__＿____＿，PQ=____＿_＿_

4．　如图，菱形ADEF,,则BE＝＿____＿__

5．

如图,,则AB与CD的位置关系是________

第5题图

第6题图

6.

如图,D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N,则AN:NC=______＿_。

二.

选择题

1．　如图,H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且,AC和BH交于点K，则AK:KC等于（

）

A．

1:2

B.

1：1

ﻩC.　1:3

D.

2:3

第1题图

第2题图

第3题图

2.　如图,中,D在AB上，E在AC上，下列条件中,能判定DE//BC的是（

)

A.

B.

C．

ﻩ

D.

3.

如图，中，DE//BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是(

）

A.　ﻩ

B.

C.

ﻩﻩﻩD．

4．

如图，与交于点P，,，,，则(

)

A.

abﻩ

B．

bd

ﻩC.

ae

ﻩD．

ce

第4题图

第5题图

5.

如图,中，，则(

）

A．

B.

ﻩC.　ﻩﻩD．

三.

计算题：

1.

如图，已知菱形BEDF内接于,点E、D、F分别在AB、AC和BC上,若,求菱形边长。

2．

如图，已知中,,求BD的长。

3.

如图,中，AD是角平分线,交AB于E，已知，，求DE。

4.

在中，BD是AC边上的中线,，且AE与BD相交于点F，试说明:。

5.

如图F为平行四边形ABCD的AD延长线上一点，BF分别交CD、AC于G、E,若,求BE。

【答案】

一.

填空题

1.

ﻩ

ﻩ2.

ﻩﻩﻩ3．

2.5

3

4.

3.5

ﻩ

5.

平行

ﻩﻩ6.

1：2

二.

选择题

1.

Cﻩﻩ2.

A

ﻩ3.　Dﻩ

4.

D

ﻩ

5.　B

三.

计算题

1.

解:是菱形

设菱形边长为x

答：菱形边长为

2.

解：

且

或（舍去)

3．

解:

又平分，

4.

解：过E作,交AC于M

而BD是中线，

又

5.

解：平行四边形ABCD

27．2.1

相似三角形的判定

第2课时

三边成比例的两个三角形相似

1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中,其中一个数是其余两数的比例中项,第三个数是

(只需写出一个即可).

2、在ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上,且AD=2，若要在AB上找一点E，使ADE与原三角形相似，那么AE=

。

3、如图,在ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件,使ADC∽ACB，那么可添加的条件是

4、已知D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，请你添加一个条件，

使ΔABC与ΔAED相似.

(只需添加一个你认为适当的条件即可).

5、下列说法:①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似;③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.

其中正确的是

(把你认为正确的说法的序号都填上）．

6、如图，在直角坐标系中有两点A(4，0）、B（0,2),如果点C在x轴

上(C与A不重合),当点C的坐标为

或

时,使得由点B、O、C组成的三角形与

ΔAOB相似（至少写出两个满足条件的点的坐标).

7、下列命题中正确的是ﻩ

ﻩ

（

)

①三边对应成比例的两个三角形相似

②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似

③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似

④一个角对应相等的两个等腰三角形相似

A、①③

B、①④

C、①②④

D、①③④

8、如图,已知DE∥BC，EF∥AB,则下列比例式中错误的是（

)

A

B

C

D

9、如图，D、E分别是AB、AC上两点,CD与BE相交于点O,

下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是

(

)

A．　∠B=∠C

ﻩﻩﻩ

B.

∠ADC＝∠AEB

C.　BE=CD，AB=AC

D.　AD∶AC=AE∶AB

10、在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF=

90°,则一定有

ﻩ

ﻩ

ﻩﻩ

(

）

A　ΔADE∽ΔAEF

ﻩ

ﻩB

ΔECF∽ΔAEF

C

ΔADE∽ΔECF

ﻩ

D

ΔAEF∽ΔABF

11、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点,

连结AE交CD于F,则图中共有相似三角形ﻩ(

）

A

1对

B　2对

C

3对

D

4对

12、如图,在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（

）

①

②

③

④

A.①和②

B.②和③

C.①和③

D.②和④

．13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①ΔABC,②ΔBCD,③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH,⑥ΔEFK．其中②～⑥中,与三角形①相似的是(

）

（A)②③④

（B）③④⑤

(C)④⑤⑥

(D)②③⑥

14、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1,使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).

15、如图，ΔABC中，BC＝a．

（1)若AD1＝AB,AE1=AC,则D1E1＝

;

（2)若D1D2=D1B，E1E2=E1C，则D2E2=

;

(3）若D2D3=D2B，E2E3=E2C,则D3E3=

；

……

（4)若Dn－1Dn=Dn－1B,En-1En=En-1C，则DnEn=

．

16、如图，ΔABC与ΔADB中,∠ABC=∠ADB=90°,AC=5cm,AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.

17、已知:如图，在正方形ABCD中,P是BC上的点，且BP=3PC,ﻩQ是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似?为什么?

27.2.1

相似三角形的判定

第3课时

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

D

C

A

B

E

F

1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD=4cm,

E为AD的中点，在AB上取一点F，使CBF∽CDE,

则AF=　____＿_cm。

2、如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截

ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线

共有(

)

A、

1条

B、

2条

C、　3条

D、

4条

A

E

D

C

B

O

3、如图,锐角的高CD和BE相交于点O,图中

与相似的三角形有

（

)

A

4个

B

3个

C

2个

D

1个

4

、如图,在中,，BD平分,

试说明:AB·BC

=

AC·CD

5、已知:ΔACB为等腰直角三角形,∠ACB=900

延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350

求证：ΔEAC∽ΔCBF

6、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,写出所有不同的截法？

7、已知:如图,ΔABC中,AD＝DB,∠1=∠2．

求证:ΔABC∽ΔEAD.

8、如图,点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.

(1)当AC,CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；

（2)当ΔPDB∽ΔACP时,试求∠APB的度数．

9、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.

(1)ACF与ACG相似吗?说说你的理由.

（2）求∠1+∠2的度数．

10、如图,

（1)∽吗？说明理由。

(2)求AD的长。

11、如图，在正方形ABCD中,E为AD的中点，EFEC交AB于F，连接FCAEF∽EFC吗若相似，请证明；若不相似,请说明理由。若ABCD为矩形呢?

27.2.1

相似三角形的判定

第4课时

两角分别相等的两个三角形相似

1、如图AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对数为（

)

A、

1对

B、

2对

C、

3对

D、　4对

2、如图,DE与BC不平行，当=

时,

ΔABC与ΔADE相似。

3、如图，四边形ABCD是平行四边形,AEBC于E，AFCD于F．

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.

（2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

4、.如图，D为ΔABC内一点,E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.

(1)ΔABD与ΔCBE相似吗?请说明理由.

（2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由．

5、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子,假设图中的所有点、线都在同一平面内,回答下列问题：(1)图中共有

个三角形.

（2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有,就把它们一一写出来.

6、如图，ABBC，DCBC，垂足分别为B、C，且AB=8,DC＝6，BC=14,BC上是否存在点P使ABP与DCP相似？若有,有几个?

并求出此时BP的长，若没有,请说明理由。

7、已知:如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BGAP.

求证:CE2=ED·EP.

D

C

P

A

B

8、.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，,在AD上能否找到一点P，使三角形PAB和三角形PCD相似?若能，共有几个符合条件的点P?并求相应PD的长。若不能，说明理由。

9、如图：AB是等腰直角三角形ABC的斜边，点M在边AC上,点N在边BC上，沿直线MN将MCN翻折,使点C落在AB上，设其落点为P,

C

M

N

A

P

B

①当P是边AB中点时，求证：;

②当P不是边AB中点时,是否仍成立?请证明你的结论；

27.2.2

相似三角形的性质

1．

若ABC∽A`B`C`，则相似比k等于(

）

A．A`B`：AB

B．∠A:

∠A｀

C．SABC:SA`B`C`

D.ABC周长:A｀B`C`周长

2．

把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的(

）

A.10000倍

B．10倍

C.100倍

D．1000倍

3．

两个相似三角形，其周长之比为3：2,则其面积比为(

)

A.

B．3:2

C．9:4

D.不能确定

4．

把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的(

)

A.49倍

B.7倍

C．50倍

D．8倍

5．

两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2,那么较大多边形的面积为（

）

A.46.8

cm2

B.42

cm2

C.52

cm2

D.54　cm2

6．

两个多边形的面积之比为5,周长之比为m,则为（

）

A.1

B.

C．

D．5

7．

在一张1:10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm2,则这块多边形地区的实际面积为（

)

A.6m2

B.60000m2

C.600m2

D．6000m2

8．

已知ABC∽A｀B`C｀，且BC：B｀C`＝3：2，ABC的周长为24,则A`B`C｀的周长为_＿___＿_.

9．

两个相似三角形面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为___＿＿＿_.

10．

两个相似多边形最长的的边分为10cm和25cm,它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分别为_______．

11．

四边形ABCD∽四边形A`B`C`D`,他们的面积之比为36：25，他们的相似比_＿_＿_,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm，则四边形ABCD的周长为___＿___＿.

12．

如图,矩形ABCD中,E,F分别在BC,AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝2,S矩形ABCD＝3S矩形ECDF。试求S矩形ABCD。

13．

如图，在ABC中,DE∥BC,且SADE:S四边形BCED，=1：2,BC=，求DE的长。

14．

如图，在ABC中，∠C=90　o，D是AC上一点,DEAB于E，若AB=10,BC=6,DE=2，求四边形DEBC的面积。

15．

ABC∽A`B`C`，,边上的中线CD=4cm，ABC的周长为20cm,A`B｀C`的面积是64

cm2，求:

（1)A`B`边上的中线C｀D｀的长;

(2）A`B`C｀的周长

（3）ABC的面积

参考答案：

1.D　2.B

3.C　4.B

5.D

6.C

7.B

8.16

9．

10．40cm和100cm

11.6:5

18cm

12.设DF=a,由S矩形ABCD=3S矩形ECDF知AD=3DF=3a，又＝,所以3a2=4,a=。故AD=3a＝2,所以S矩形ABCD＝2×2=4

13.由SADE：S四边形BCED＝1:2知，SADE:SABC=1：3又DEBC,故ADE∽ABC，所以（）2＝，即(）2=,所以DE=2

14.由∠A=∠A

,　∠AED=∠ACB＝900,故ADE∽ABC.又AB=10,BC＝6，

∠C=900,由勾股定理可得AC＝8，从而SABC=BC×AC＝24,又==，有=（）2==，故SADE＝。从而S四边形DEBC=24-=

15。（1）C´D´=8cm；（2)A´B´C´的周长为80cm；(3)ABC的面积为16cm2。

27.2.3

相似三角形的应用举例

1.

如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上,则电线杆竖起过程中所用力的大小将（

)

A．变大

B.变小

C.不变

D．无法判断

2.小华做小孔成像实验(如图所示）,已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛

与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛___＿_＿____cm的地方时,蜡烛焰AB是像的一半.

3.如图,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂的端点下降0。5米时，长臂端点应升高_________.

4.有点光源S在平面镜上方，若在P点初看到点光源的反射光线,并测得AB＝10cm，BC=20cm.PCAC,且PC=24cm，试求点光源S到平面镜的距离即SA的长度.

5．冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光,一年四季就均能受到阳光照射。此时竖一根a米长的竹杆,其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼(如图所示)。试问两幢楼相距多少米时,后楼的采光一年四季不受影响(用m,a,b表示).

6．一位同学想利用树影测出树高,他在某时刻测得直立的标杆高1米,影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上,（如图所示）他测得BC=

2．7米,CD=1.2米。你能帮他求出树高为多少米吗？

7.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前,闭上左眼，并将食指前后移动,使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗?请说出你的思路。

8．如图,阳光透过窗口照到室内,在地面上留下2.7米宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7米，窗口高AB=1.8

米,试求窗口下底与地面之间的距离BC的大小。

答案：

1.C

2.5

3．8

4.由

5．由。

6．由得AB－1.2=3，故AB=4.2米即树高为4.2米.

7.过A作AGBC于G交DE于F。又BC∥DE,故AFDE,易知ADE∽ABC，

从而故

8．由

27.3

位似

第1课时

位似图形的概念及画法

1.下列说法正确的是（

）

A.

位似图形一定是相似图形

B.

相似图形不一定是位似图形

C.

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

2.下列说法正确的是(

）

A.　分别在ABC的边AB.AC的反向延长线上取点D．E.使DE∥BC，则ADE是ABC放大

后的图形

B.两位似图形的面积之比等于位似比

C．

位似多边形中对应对角线之比等于位似比

D.

位似图形的周长之比等于位似比的平方

3．如图,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心,且2

PA＝3

PA1，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于　(

)

A、.

B、.

C、．

D、．

4.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm.且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为

5.已知ABC.以点A为位似中心.作出ADE．使ADE是ABC放大2倍的图形.这样的图形可以作出

个

。他们之间的关系是

6.如左下图,五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O是位似中心，位似比为2:1.

若五边形ABCDE的面积为17

cm2，

周长为20

cm,那么五边形A′B′C′D′E′的面积为______,周长为____＿_.

第6题图

第7题图

7.如图,A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A＝4∶3,则ABC与_＿＿＿___是位似图形，位似比为＿＿___＿;OAB与_＿_____＿是位似图形，位似比为＿＿__＿_.

8.如图,

OAB与ODC是位似图形　。

试问:

(1)

AB与CD平行吗？请说明理由。

(2)

如果OB=3,OC＝4，OD=3.5.试

求OAB与ODC的相似比及OA的长。

9.如图,出一个新图形.使新图形与原图形相似.且相似比为.

10.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出A1B1C1和A2B2C2;

（1）把ABC先向右平移4个单位,再向上平移1个单位，得到A1B1C1；

（2）以图中的O为位似中心，将A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到A2B2C2.

第2课时　平面直角坐标系中的位似

1.如图所示，左图与右图是相似图形,如果右图上一个顶点坐标是(a,b）,那么左图上对应顶点的坐标是（

)

A．（-a,-2b）

B．(-2a,-b)

C．（－2a,－2b)

D.(-2b,-2a)

2.ABO的顶点坐标是A(－3，3)、B(3，3)、O(0，0），试将ABO放大,使放大后的EFO与ABO对应边的比为2：1，则E、F的坐标分别是（

）

A．(-6，6）（6,6）

B.（6，-6）（6，6）

C.（－6,6）（6,-6）

D.（6,6）(-6,-6）

3.如图所示,已知OAB与OA1B1是相似比为1：2的人位似图形，点O是位似中心，若OAB内的点P（x，y)与OA1B1内的点P1对应，则P1的坐标是

。

4.如图所示,AB∥A`B｀,BC∥B`C｀，且OA｀：A`A＝4:3，则ABC与

是位似图形,位似比是

。

5.按如下方法将ABC的三边缩小为原来的二分之一,如图所示，任取一点O，连结OA、OB、OC并取它们的中点D、E、F，得DEF，则下列说法正确的个数是(

）

①ABC和DEF是位似图形；②ABC和DEF

是相似图形；③ABC和DEF的周长比是4：1;

④ABC和DEF的面积比是4:1

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

6．在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0）,以原点O为位似中心，相似比为1：3，把线段AB缩小

方法一:

方法二：

探究:(1）在方法一中，A’的坐标是

，B’的坐标是

,对应点坐标之比是；（2)在方法二中，A’’的坐标是

，B’’的坐标是

，对应点坐标之比是-

7．如图,O为原点,B，C两点坐标分别为(3，-1）（2，1）

（1)以O为位似中心在y轴左侧将OBC放大两倍,并画出图形；

(2）分别写出B，C两点的对应点B｀,C｀的坐标;

(3)已知M(x，y）为OBC内部一点，写出M的对应点M`的坐标;

28．1锐角三角函数

第1课时

正弦函数

1．在RtABC中,∠C=90°,∠A＝30°，则的值是

ﻩA.

B．ﻩ

C．ﻩD.

2．在RtABC中，∠C＝90°，AC=4,BC=3，则是

A.

B．

C．ﻩD.

3．在

RtABC中，∠C＝90°，AC=8，BC＝6，则sinB的值等于

A.

B．

ﻩ

C.

D．

4．如图，在

,

，，,则的值等于ﻩ

A.

ﻩ

B.

ﻩ

C．

ﻩﻩ

D．

5.在RtABC中，∠C=90°,若AB＝，BC=2，则sinB的值为

A．ﻩB.

C.

D.2

6．如图所示,ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为

A.

B.

C.

D.

第6题图

第7题图

7．如图,角α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3,4),则sinα的值是

A.

B.

C．

D.

8.如图,在O中,过直径AB延长线上的点C作O的一条切线,切点为D,若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为＿＿__.

9.RtABC中，若∠C=90°,a=15,b＝8，求

sinA+sinB.

10．如图所示,ABC中，∠C＝90°,sinA＝，AC＝2,求AB,BC的长．

13．如图，O的半径为3，弦AB的长为4,求sinA的值．

28．1锐角三角函数

第2课时

余弦函数和正切函数

1.在RtABC中,∠C=90°,AB＝5，BC=3，则∠A的余弦值是(

)

A.

B．

C.

D.

2.

如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是(

)

A．

B.　C．

D.

3．如图是教学用直角三角板,边AC=30

cm,∠C=90°,tan∠BAC=，则边BC的长为(

)

A．30

cm

B．20

cm

C．10

cm

D.5

cm

4．在RtABC中，∠C＝90°，cosB＝,则AC∶BC∶AB＝(

)

A.3∶4∶5

B.5∶3∶4

C．4∶3∶5

D．3∶5∶4

5.如图，在RtABC中,∠C=90°,AB=6，cosB=，则BC的长为（

)

A.4

B.2

C.

D．

6．如图，P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为（12，5)，则tanα等于(

)

A．

B.

C.

D.

7.在RtABC中，∠C＝90°，BC=8,AC＝6，则sinB=_＿＿_，cosB=___＿,sinA=_＿_，cosA＝＿＿＿_，tanA=____，tanB=＿__＿.

8.

在RtABC中,∠C=90°,AB＝2BC，现给出下列结论:①sinA＝；②cosB=;③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是____．(只需填上正确结论的序号)

9.

在RtABC中，∠C=90°，tanA=,BC=8，则RtABC的面积为___.

10.(1)在ABC中,∠C=90°,BC=2，AB＝5，求sinA,cosA,tanA.

(2)在ABC中,若三边BC，CA,AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,求sinA,cosB,tanA.

11．(1)若∠A为锐角,且sinA=，求cosA,tanA.

(2)已知如图，在RtABC中,∠C=90°，tanA=，求∠B的正弦、余弦值.

28．1锐角三角函数

第3课时

特殊角的三角函数

1.　3tan30°的值等于(

）

A．

B.3

C.

D.

2.

计算6tan45°-2cos60°的结果是(

)

A.4

B.4

C.5

D．5

3.如图，在RtABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为(

)

A.

B.

C．

D．1

第3题图

第5题图

4．如果在ABC中,sinA=cosB=，则下列最确切的结论是(

）

A．ABC是直角三角形

B．ABC是等腰三角形

C.ABC是等腰直角三角形

D．ABC是锐角三角形

5．如图,当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24

m，则该树高为(

)

A．8

m

B．12　m

C.12

m

D.　12

m

6.(1）cos30°的值是____.

（2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝＿_＿＿(结果保留根号)．

(3)cos245°＋tan30°·sin60°＝____．

7.根据下列条件,求出锐角A的度数.

(1)sinA＝，则∠A=_＿__；（2)cosA=,则∠A＝_＿__;

(3)cosA＝，则∠A=_＿__;(4)cosA=，则∠A=_＿__.

8.如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知CDAB,CD＝3

m,∠CAD＝∠CBD=60°，求拉线AC的长．

9．计算：

(1)+2sin60°tan60°-+tan45°；

（2)-sin60°（1－sin30°).

10.已知α是锐角,且sin(α+15°)＝，计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋的值.

28．1锐角三角函数

第4课时

用计算器求锐角三角函数值及锐角

1.利用计算器求下列各式的值：

(1)

;

(2）;

(3)

；

(4)．

2．利用计算器求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)

;

(4).

3．利用计算器求下列各式的值：

(1)；

(2）；

(3）；

（4）.

4.如图,甲、乙两建筑物之间的水平距离为100

m，∠α＝32°,∠β=50°，求乙建筑物的高度(结果精确到0.1

m）．

28．2.1

解直角三角形

1.如图,在ABC中,∠C=900,AB＝5，BC=3,则sinA的值是（

)

A.

B.ﻩ

C.

D.

第1题图

第3题图

第4题图

2.在RtACB中，∠C＝900,AB=10，sinA=,cosA＝，tanA＝，则BC的长为(

）

A．6

B.7．5

C.8

D.12.5

3．如图,在ABC中，∠C=900,AD是BC边上的中线，BD=4，,则tan∠CAD的值是（

）

A.2

ﻩ

B.

C.ﻩ

D．

4.如图,在矩形ABCD中，点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB＝4，BC＝5,则tan∠AFE的值为（

）

A.

B.

C.

D.

5.在ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=

6.ABC中,∠C＝900，AB＝8,cosA=,则BC的长

7.如图，在ABC中，∠A=300,∠B=450,AC=,则AB的长为

.

第7题图

第8题图

8.如图,在RtABC中,∠ACB＝900，D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=,则DE=

.

9．如图,在ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线，∠C=450，sinB=，AD=1.ﻫ(1)求BC的长；

(2)求tan∠DAE的值．

10.如图,在RtABC中，∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EFAB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点（AF>BF).

（1)求证:ACE≌AFE；

（2)求tan∠CAE的值.

28.2.2

应用举例

第1课时

解直角三角形的简单应用

1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要(

）．

A.450a元

B.225a元

C．150a元

D.300a元

第1题图

第2题图

2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形,D是AB的中点,中柱CD

=

1米，∠A=27°,

则跨度AB的长为

（精确到0．01米)．

3.如图，从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km，∠CAB=250，∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

(1）求改直的公路AB的长;

（2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?(sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0．75)

4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=300,∠CBD=600.

(1)求AB的长；ﻫ（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.

5．如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离.

6.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图,已知踏板CD长为1.6m,CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0．8m，∠ACD为800,求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m）．

(参考数据:sin120=cos780≈0.21，sin680＝cos220≈0.93,tan680≈2.48)

28．2.2

应用举例

第2课时

利用仰俯角解直角三角形

1.如图,热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为

A．

40

m

B.

80m

C.　120m

D.

160　m

2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB)为1.6m，则这棵树的高度为(

)(结果精确到0.1m,≈1.73）.

A．

3.5m

B.

3.6m

C.

4.3m

D．

5.1m

3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米，则树高BC为

米（用含α的代数式表示）．

第3题图

第4题图

4.如图，在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为

米．

5.如图，AC是操场上直立的一个旗杆,从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆,用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC＝60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC＝3米，那么旗杆的高度AC=

米.

第5题图

第6题图

第7题图

6.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300,底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD=

米（结果可保留根号)

7.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为

9

米．

7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为600(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．

8.为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°．

问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内?

9.如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M(点M在DE上）距D点3米.

（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？ﻫ（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？

10.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案（如图1所示）：

（1）

在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α

;

（2）

量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；

（3）

量出测倾器的高度AC=h。

根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。

如果测量工具不变，请参照上述过程,重新设计一个方案测量某小山高度(如图2)

1）

在图2中,画出你测量小山高度MN的示意图

(标上适当的字母)

2）写出你的设计方案。

（(图2）

28.2．2

应用举例

第3课时

利用方位角、坡度解直角三角形

1.如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=3m,则坡面AB的长度是(

)

A.9m

B.6m

C.m

D.m

2.在某次海上搜救工作中,A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是(

)

A.5km

B．10km

C．10km

D.20km

3．如图，港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离（即AB的长)为（

)

A.4kmﻩ

B.2

kmﻩ

C.2

kmﻩ

D．（

+1)km

ﻩ

第3题图

第4题图

4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为（

）

ﻩA.米ﻩ

B.米

C．米

ﻩD.24米

5.如图，将一个RtABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm(如箭头所示），则木桩上升了________＿cm.

第5题图

第6题图

6．如图,某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=300,则该山坡的高BC的长为

100

米.

7.如图,在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.

8.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为600.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为450,已知山坡AB的坡度,AB=10米,AE=15米．(是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）ﻫ（1）求点B距水平面AE的高度BH;（2)求广告牌CD的高度．

9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离.

10.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地,BC∥AD,斜坡AB的长为22

m,坡角∠BAD=680,为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时，可确保山体不滑坡.

(1)求改造前坡顶与地面的距离；

（2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos

680≈0.3746,tan

680≈2．4751,sin500≈0.7660，cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)

11.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里/小时的速度前往救援,求海警船到达事故船C处所需的大约时间.（温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0．6)

29.1

投影

第1课时

平行投影与中心投影

1.平行投影中的光线是(

）

A.平行的

B.聚成一点的

C．不平行的

D.向四面八方发散的

2.太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是(

)

A．与窗户全等的矩形

B.平行四边形

C.比窗户略小的矩形

D.比窗户略大的矩形

3.在同一时刻,两根长度不等的竿子置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这根竿子的相对位置是(

)

A.两根都垂直于地面

B.两根平行斜插在地上

C.两根竿子不平行

D.一根倒在地上

4.夜晚在亮有路灯的路上,若想没有影子,你应该站的位置是(

)

A.路灯的左侧

B．路灯的右侧

C.路灯的下方

D．以上都可以

5.不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是(

)

A.相等

B.长的较长

C．短的较长

D.不能确定

6．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况,他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为(

）

A.上午12时

B.上午10时

C.上午9时30分

D.上午8时

7.一天上午小红先参加了校运动会女子100

m比赛,过一段时间又参加了女子400

m比赛,如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是(

）

A.乙照片是参加100

m的

B.甲照片是参加400　m的

C．乙照片是参加400

m的

D．无法判断甲、乙两张照片

8.皮影戏中的皮影是由_______＿＿投影得到.

9.当你走向路灯时，你的影子在你的＿__＿__＿＿_，并且影子越来越_＿___＿__．

10．如图是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化?

11.有两根木棒AB、CD在同一平面上直立着,其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示,请你在图中画出这时木棒CD的影子．

29.1

投影

第2课时

正投影

1.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是(    )

A.正方形   B.平行四边形或线段    C.矩形   D．菱形

2.当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（    ）

A. 20      B. 300       C. 400     D． 600

3．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示,那么水杯的正投影是(

）

4.下列命题中真命题的个数为（

）

①正方形的平行投影一定是菱形;②平行四边形的平行投影一定是平行四边形;③三角形的平行投影一定是三角形.

A．1

B.2

C.3

D.0

5.一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样,则这个长方形_＿_____投影面;一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形_＿__＿__投影面．

6.已知一纸板的形状为正方形ABCD(如图),其边长为10cm,AD、BC与投影面β平行,AB、CD与投影面不平行,正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1,若∠ABB1=45°,求正投影A1B1C1D1的面积.

29.2

三视图

第1课时

三视图

1.如图(1)放置的一个圆柱,则它的左视图是

(

)

2．如图(1）所示的是圆台形灯罩的示意图，它的俯视图是如图（2)所示的（

)

3.如图所示的四个几何体中,主视图与其他几何体的主视图不同的是（

）

4.如图（1）所示的是由6个大小相同的正方形组成的几何体，它的俯视图是如图（2）所示的(

）

5.如图（1）所示,放置的一个水管三叉接头，若其主视图如图（2)所示，则其俯视图是图（3）所示的（

)

6．在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方形粉笔盒，如图(1)所示,则它的主视图是图(2)所示的(

）

7.沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，画出它的三视图．

(第3题)

29.2

三视图

第2课时

由三视图确定几何体

1．下面是一些立体图形的三视图（如图)，请在括号内填上立体图形的名称．

2.如图4－3-26,下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗?

3．如图，从不同方向看下面左图中的物体，右图中三个平面图形分别是从哪个方向看到的？

4.一天,小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图和俯视图如图所示．根据小明画的视图,你猜小明的爸爸送给小明的礼物是（

）

A.钢笔

B．生日蛋糕

C.光盘

D.一套衣服

5.一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请你补画出这个几何体的俯视图.

6.一个物体的三视图如图所示,试举例说明物体的形状．

7.已知几何体的主视图和俯视图如图所示．

（1)画出该几何体的左视图；

(2）该几何体是几面体？它有多少条棱?多少个顶点？

（3）该几何体的表面有哪些你熟悉的平面图形？

8.小刚的桌上放着两个物品,它的三视图如图所示,你知道这两个物品是什么吗?

9．一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数,请你画出这个几何体的主视图和左视图.

29.2

三视图

第3课时

由三视图确定几何体的面积或体积

1.如图是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的侧面积是

b

主视图

c

左视图

俯视图

a

(A）

（B）ﻩ

（C)

(D）

2.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是(

)

A.52

ﻩ

ﻩB．32

ﻩﻩC．24

ﻩﻩ

D．9

ﻩ

主视图

俯视图

3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（

）

A.

B.

C.

D.

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

2

2

3

2

3

1

4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是

（

)

A.108cm3ﻩB．100

cm3ﻩC．92cm3ﻩD.84cm3

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为＿__＿＿＿____．

1

俯视图

侧（左）视图

正（主）视图

2

1

1

2

6.某几何体的三视图如图所示,

则其表面积为___＿____．

7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为多少？

8．一几何体的三视图如右所示,求该几何体的体积.

29．3课题学习

制作立体模型

1.下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（

)

A.

B.

C．

D．

2.一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（

）

A．

三棱柱       　B．三棱锥     　C.四棱柱       　D．四棱锥

3.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（

）

A．

B．

C.           　D．

4.下列平面图形，不能沿虚线折叠成立体图形的是（

)

A.

B.

C．

D．

5.能把表面依次展开成如图所示的图形的是(

）ﻫ

A.球体、圆柱、棱柱

B．球体、圆锥、棱柱

C.圆柱、圆锥、棱锥

D．圆柱、球体、棱锥

6.如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（

)

A.40×40×70         　B.70×70×80

C．80×80×80       　D．40×70×80

7．下图是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计），则盒子的容积为_＿_＿_＿．ﻫ

九年级数学下册例5

一、选择题 （每小题3分，共24分）1．下列各组数中，能够组成直角三角形的是 【 】A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，82．若式子 － ＋1有意义，则x的取值范围是 【 】A．x ≥ B．x ≤ C．x＝ D．以上答案都不对3．在根式① ② ③ ④ 中，最简二次根式是 【 】A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．① ④4．若三角形的三边长分别为 ， ，2，则此三角形的面积为 【 】A． B． C． D． 5．如图所示，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 【 】A． B．2 C．3 D．4

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEAB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的大小为 【 】A．75° B．65° C．55° D．50 °7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长是 【 】A． 4 B． 6 C． 8 D．10 8．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正 方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边（x ＞ y），请观察图案，指出下列关系式不正确的是 【 】A． B． C． D．二、填空题（ 每小题3分，共21分） 9．若 x，y为实数，且∣x＋2∣＋ ＝0，则（x＋y）2017的值为 ．10．计算： ．11. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则∣a－b∣－ ． 12．若x＝2－ ，则代数式（7＋4 ）x2＋（2＋ ）x＋ ＝ ．13．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（－3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．14．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DEa于点E，BFa于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝ ．15．如图，RtABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B＇重合，AE为折痕，则E B＇＝ ． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分）16．（每小题4分 共8分）计算：（1） ； （2）a2 ．17．(8分) 如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么要使式子 有意义， x的取值范围是什么？ 18．（9分）如图，每个小正方形的边长都是1，（1）求四边形ABCD的周长和面积（2）∠BCD是直角吗？

19．(9分)如图所示，在ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且CE＝AF，（1）求证：ABE ≌ CDF；（2）求证：四边形AECF是平行四边形． 20．(10分) 如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD的中点，（1）求证：ABE ≌ CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．

21．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）OD＝CF；（2）四边形ODFC是菱形．22．（10分）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OFAD于点F，OF＝2cm，AEBD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长． 23．（11分）在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于M，求证：（1）BH＝DE； （2）BHDE． 一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C C B D B C D二、填空题题号 9 10 11 12 13 14 15答案 1 1 b 2＋ （5，4） 7 三、 解答题16．（1） （4分） （2） （4分）17．a＝5； ……………………3分 5≤x≤10 ……………………8分18．（1）周长 ……………………3分 面积14.5 ……………………6分（2）是……………………7分，证明：略．……………………9分19．（1）略 5分 （2）略 9分20．（1）略 5分 （2）证出AE是高 8分，AE ＝ 2 10分 21．证明：（1）CF∥BD ∠DOE＝∠CFE，E是CD的中点，CE＝DE在ODE和FCE中， ，ODE≌FCE（ASA）OD＝CF．……………………6分（2）由（1）知OD＝CF ，CF∥BD ，四边形ODFC是平行四边形在矩形ABCD中，OC＝OD，四边形ODFC是菱形．……………………10分22．解法一：四边形ABCD为矩形，∠BAD＝90°， OB＝OD，AC＝BD，又OFAD，OF∥AB，又OB＝OD ， AB＝2OF＝4cm，BE︰BD＝1︰4，BE︰ED＝1︰3 ……………………3分设BE＝x，ED＝3 x ，则BD＝4 x ，AEBD于点E ，16－x2＝AD2－9x2……… ………6分又AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，16－x2＝16 x2－16－9x2，8 x2＝32x2＝4，x＝2 ……………………9分BD＝2×4 ＝8（cm），AC＝8 cm ． ……………………10分解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝ BD，BE︰BD＝1︰4，BE︰BO＝1︰2，即E是BO的中点 ……………………3分又AEBO，AB＝A O，由矩形的对角线互相平分且相等，AO＝BO ……………………5分ABO是正三角形，∠BAO＝60°，∠OAD＝90°－60°＝30° ……………………8分在RtAOF中，AO＝2OF＝4，AC＝2AO＝8 ……………………10分23．（1）提示：证明：BCH≌DCE（SAS） ……………………6分 （2）由（1）知　BCH≌DCE　∠CBH＝∠EDC 设BH，CD交于点N，则∠BNC＝∠ DNH 　∠CBH＋∠BNC＝∠EDC＋∠DNH＝90°∠DMN=180°-90°＝90° BHDE．……………………11分

九年级数学下册例6

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.下列四个数中，在-2到0之间的数是（ ）A. 1 B. -1 C. 3 D. -32. 下列计算正确的是（ ）A.（a5）2=a10 B. x16÷x4=x4 C. 2a2+3a2=6a4 D. b3•b3=2b33. 已知∠α＝32°，则∠α的补角为（ ） A．58° B．68° C．148° D．168°4. 若分式 的值为0，则 的值为（ ）A．2或－1 B．0 C．－1 D． 25. 如图，已知AB∥CD，直线 分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是 （ ）A.60° B.70° C.80° D.90°6. 在ABC中，∠A，∠B都是锐角，且 ,则此三角形形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不能确定7. 如图， 内接于 ，若∠OAB=30°， 则∠C的大小为 （ ）A.30° B.45° C.60° D.90°8. 甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：选 手 甲 乙 丙 丁平均数 (环) 9.2 9.2 9.2 9.2方差(环2) 0.035 0.015 0.025 0.027则这四人中成绩发挥最稳定的是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 9. 如图，在ABC中，DE∥BC，AD =2DB，ABC的面积为36，则ADE的面积为（ ）A.81 B.54 C.24 D.1610. 地铁1号线是重庆轨道交通线网东西方向的主干线，也是贯穿渝中区和沙坪坝区的重要交通通道，它的开通极大地方便了市民的出行。现某同学要从沙坪坝南开中学到两路口，他先匀速步行至沙坪坝地铁站，等了一会，然后搭乘一号线地铁直达两路口（忽略途中停靠站的时间）。在此过程中，他离南开中学的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）11．观察下列一组图形，其中图1中共有6个小黑点，图2中共有16个小黑点，图3中共有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是（　 　）A．76 B．61 C．51 D．4612. 如图，在平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点D在第四象限内，且该图象与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣1和3．若反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象经过点D．则下列说法不正确的是（）A．b=﹣2a B．a+b+c＜0 C．c=a+k D．a+2b+4c＜8k二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13. 实数﹣ 的相反数是 。14. 我国的北斗卫星导航系统与美国的GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达36000公里，将36000用科学记数法表示为 。15. 摩托车生产是我市的支柱产业之一，不少品牌的摩托车畅销国内外，下表是摩托车厂今年1至5月份摩托车销售量的统计表：（单位：辆） 月 份 1 2 3 4 5销售量（辆） 1700 2100 1250 1400 1680则这5个月销售量的中位数是 辆。16. 如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则阴影部分面积为 (结果保留π) 17. 有正面分别标有数字 、 、 、 、 的五张不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为 ，则使关于 的方程 +x－m=0有实数解且关于 的不等式组 有整数解的的概率为 。18. 如图，A、B是双曲线 上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若SAOC=9．则k的值是 。 三、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上。19．解方程20．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F。求证：AE=CF四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）21.先化简，再求值： ，其中x是不等式组的整数解。

22.我区实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图回答下列问题：

（1）本次调查中，张老师一共调査了　 　名同学，其中C类女生有名， D类男生有名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．23. 随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2010年底拥有家庭轿车256辆，2012年底家庭轿车的拥有量达到400辆． （1）若该小区2010年底到2012年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2013年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．24. 正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BFAE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AHGD交GD于H点．（1）求证：ABE≌BCF；（2）若正方形边长为4，AH= ，求AGD的面积．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）25. 对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）令P0（2，﹣3），O为坐标原点，则d（O，P0）=　 　；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离． 若P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，求a的值．26. 如图，已知直线y=﹣ x+2与抛物线y=a(x+2)2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为 ，点P的横坐标为x，请求出 与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C D B C C B D C A D二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 14. 15. 1680 16. 6—π 17. 18. 6三、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）19. 解:去分母,得: •••••••••2分 去括号,得: ••••••••••••4分 移项,合并,得: ••••••••••••7分20. 证明:四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，∠ABC=∠CDA ，AB∥CD∠BAC=∠DCA •••••••••3分BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC∠ABE=∠CDF ••••••••5分ABE≌CDF (ASA) ••••••••6分AE=CF ••••••••7分四、解答题21解： •••••••••••••••3分 ••••••••••••••••6分又解 ，得：—4

九年级数学下册例7

A、2x+y=2xy　 　B、

C、(2ab)2=4a2b2　D、(-x-y)(x+y)=x2-y2

2、下列几何体的主视图与众不同的是()

3、下面四个标志属于中心对称的是()

4、下列命题正确的是()

A、垂直于半径的直线一定是圆的切线

B、正三角形绕其中心旋转180°后能与原图形重合是必然事件

C、有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

D 、四个角都是直角的四边形是正方形

5、如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是()

A、a+b>0 B、ab>0 C、a-b>0 D、|a|-|b|>0

6、为创建园林城市,盐城市将对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔6米栽1棵,则树苗缺22棵;如果每隔7米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是()

A、6(x+22)=7(x-1) B、6(x+22-1)=7(x-1)

C、6(x+22-1)=7x D、6(x+22)=7x

7、如图，点A的坐标为(6，0)，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰RtOBF，等腰RtABE，连接EF交y轴于P点， 当点B在y轴上移动时，PB的长度为()

A、2　B、3C、4　D、PB的长度随点B的运动而变化

二、填空题((每小题3分，共30分)

1、震惊世界的M H370失联事件发生后第30天，中国“海巡01”轮在南印度洋海域搜索过程中首次侦听到疑是飞机黑匣子的脉冲信号，探测到的信号所在海域水深4500米左右，其中4500用科学记数法表示为_____

2、单项式-4x2y5的次数是_______

3、分解因式2x3-8x=______

4、函数 的自变量x的取值范围是______

5、用一张面积为60π的扇形铁皮，做成一个圆锥容器的侧面(接缝处不计)，若这个圆锥的底面半径为5，则这个圆锥的母线长为_____

6、如图，半径为 的O是ABC的外接圆，∠CAB=60°，

则BC=_____.

7、如图，边长为2正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形 ，则在旋转过程中点D到D’的路径长是____

8、已知 ，则 =____

9、某菱形的两条对角线长都是方程x2-6x+8=0的根，则该菱形的周长为___

10、如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC上的点，且线段EF过矩形对角线AC的中点O，且EFAC，P F∥AC，则EF：PE的值是____

九年级数学下册例8

一、选择题（每小题3分，共36分）1.若函数 的图象经过点（ ， ，则函数 的图象不经过第（ ）象限.A .一 B.二 C.三 D.四2.（2013•广东中考）已知 ，则函数 和 的图象大致是（ ） 3.当 ＞0， ＜0时，反比例函数 的图象在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若函数 的图象经过点（3，-7），那么它一定还经过点（ ）X kB1.cOMA.（3，7） B.（-3，-7） C.（-3，7） D.（-7，-3）5.(2013•沈阳中考)如图所示，ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于（ ）A. B. C. D. 6.(2013•山东东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及 那么 的值（ ）A.只有1个 B.可以有2个C.可以有3个 D.有无数个7.(2013•山东聊城中考)如图所示，D是ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若ABD的面积为 则ACD的面积为（ ）A. B. C. D.8.购买 只茶杯需15元，则购买茶杯的单价 与 的关系式为（ ）A. （ 取实数） B. （ 取整数）C. （ 取自然数） D. （ 取正整数） 9.在下列四组三角形中，一定相似的是（） A.两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形C.两个直角三角形 D.两个锐角三角形10.若 = = 且3 =3，则2 的值是（）A．14 B．42 C．7 D． 11. 若 = 则 （）A． B． C． D． 12.若 ∽ 且相似比为 ∽ 且相似比为 则 与 的相似比为（）A． B． C． 或 D． 二、填空题（每小题3分，共24分）13.已知 y 与 2x+1 成反比例，且当 x=1 时，y=2，那么当 x=0 时，y= .14.（2013•陕西中考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，那么 的值为________.15.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 ，高为y，面积为60，则y与x的函数解析式为__________.（不考虑x的取值范围）16.反比例函数 （k>0）的图象与经过原点的直线 相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 .17.在比例尺为1∶500 000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为46厘米，则A地到B地的实际距离约为 千米.18.如图是一个边长为1的正方形组成的网格， 与 都是格点三角形（顶点在网格交点处）,并且 ∽ 则 的相似比是 . 19.如图所示，EF是ABC的中位线，将 沿AB方向平移到EBD的位置，点D在BC上，已知AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 .20.如图所示，在平行四边形 中 是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB=2∶3，EF=4，则CD的长为 .三、解答题（共60分） 21.（10分）(2013•湖北宜昌中考)如图①所示,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AOBC于点O,F是线段AO上的点(与 不重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接FE,FC,BE,BF. ① ②第21题图 (1)求证:BE=BF.(2)如图②所示,若将AEF绕点 旋转,使边AF在∠BAC的内部,延长CF交AB于点 交BE于点 .①求证:AGC∽KGB;②当BEF为等腰直角三角形时,请你直接写出AB∶BF的值.22.（8分）（2013•兰州中考）如图所示，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A（1，4）和点B（m，－2）.（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当x>0时，直接写出 时自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求ABC的面积.23.（8分）如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数 的图象经过点A（2，m），过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 .（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线与反比例函数 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.

24.(8分)已知反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）.（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上；（3）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围.25.(8分)在比例尺为1∶50 0 00的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点 、 之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和 、 两地之间的实际距离.26.(8分)已知：如图所示，在 中 ∥ 点 在边 上 与 相交于点 且∠ ．求证：（1） ∽ ；（2） 27.(10分)制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 期中检测题参考答案1.A 解析：因为函数 的图象经过点（1，-1），所以k=-1，所以y=kx-2=-x-2，根据一次函数的图象可知不经过第一象限.2.A 解析：由 ，知函数 的图象分别位于第一、三象限；由 ，知函数 的图象经过第二、三、四象限，故选A.3.C 解析：当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，当x＜0时，反比例 函数的图象在第三象限，所以选C.4.C 解析：因为函数图象经过点（3，-7），所以k=-21.将各选项分别代入检验可知只有C项符合. 5.B 解析： BC＝BD+DC＝8，BD∶DC ＝5∶3， BD＝5，DC＝3. ∠ =∠ ∠ADC=∠BDE,ACD∽BED, 即 DE= .6.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的直角三角形的两直角边长为3,4时 的值为5；当一个直角 三角形的一直角边长为6,斜边长为8，另一直角边长为2 且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3,斜边长为4时 的值为 故 的值可以为5或 .7.C 解析： ∠DAC=∠ ∠ACD=∠BCA， ABC∽DAC， = =4，即 .点拨：相似三角形的面积比等于对应边的比的平方.不要错误地认为相似三角形的面积比等于对应边的比.8. D 解析：由题意知 9.B 解析:根据相似图形的定义对各选项分析判断后再利用排除法进行求解. A.两个等腰三角形,两腰对应成比例, 夹角不一定相等,所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误；B. 两个等腰直角三角形，两腰对应成比例，夹角都是直角.一定相等，所以两个等腰直角三角形一定相似，故本选项正确；C. 两个直角三角形，只有一直角相等，其余两锐角不一定对应相等，所以两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D. 两个锐角三角形，不具备相似的条件，所以不一定相似，故本选项错误．故选B．10. D 解析：设 则 又 =3，则15 =3，得 = 即 = = = 所以 = ．故选D．11. D 解析： = 故选D．12. A 解析： ∽ 相似比为 又 ∽ 相似比为 ABC与 的相似比为 ．故选A．13.6 解析：因为y 与 2x+1 成反比例，所以设 ，将x=1 ，y=2代入得k=6，所以 ，再将x=0代入得y=6.14.24 解析：由反比例函数图象的对称性知点A和点B关于原点对称，所以有 , .又因为点 在反比例函数 的图象上，所以 ,故 .15. 解析：由梯形的面积公式得 ，整理得 ，所以 .16.（-2，-1） 解析：设直线l的解析式为y=ax，因为直线l和反比例函数的图象都经过A（2，1），将A点坐标代入可得a＝ ，k＝2，故直线l的解析式为y＝ x，反比例函数的解析式为 ，联立可解得B点的坐标为（-2，-1）.17.230 解析:根据比例尺=图上距离︰实际距离，列比例式直接求得实际距离．设 地到 地实际距离约为 则 解得 厘米=230千米． 地到 地实际距离约为230千米．18. 解析: 先利用勾股定理求出 那么 即是相似比.由图可知 与 的相似比是 .19.10 解析： 是 的中位线， ∥ ∽ . 的面积为5， . 将 沿 方向平移到 的位置， . 图中阴影部分的面积为： ．20. 10 解析： ∥ ∽ 0.又 四边形 是平行四边形， ．21.分析：（1）根据“SAS”可证EAB≌FAB.（2）①先证出AEB≌AFC,可得∠EBA=∠FCA.又∠KGB=∠AGC,从而证出AGC∽KGB.②应分两种情况进行讨论：当∠EFB=90°时，有AB= AF，BF= AF,可得AB∶BF= ∶ ；当∠FEB=90°时，有AB= AF，BF=2AF,可得AB∶BF= ∶2.(1)证明: AOBC且AB=AC, ∠OAC=∠OAB=45°. ∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°, ∠EAB=∠FAB. AE=AF,且AB=AB, EAB≌FAB. BE=BF.(2)①证明: ∠BAC=90°,∠EAF=90°, ∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°, ∠EAB=∠FAC. AE=AF,且AB=AC, AEB≌AFC , ∠EBA=∠FCA.又 ∠KGB=∠AGC, AGC∽KGB.5ykj.com②解： AGC∽KGB, ∠GKB=∠GAC=90°. ∠EBF＜90°.Ⅰ当∠EFB=90°时,AB∶BF= ∶ .Ⅱ当∠FEB=90°时,AB∶BF= ∶2.点拨：（1）证两条线段相等一般借助三角形全等；（2）在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似；（3）图形旋转前后，对应角相等，对应线段相等.22.分析：（1）先把点A（1,4）的坐标代入 ，求出k的值；再把点B（m，-2）的坐标代入 中，求出m的值；最后把A,B两点的坐标分别代入 ，组成关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b即可.（2）由图象可以看出，当0＜x＜1时，y1所对应的图象在y2所对应图象的上方.（3）由题意，得AC=8,点B到AC的距离是点B的横坐标与点A的横坐标之差的绝对值，即等于3，所以 . 解：（1） 点A（1，4）在 的图象上， k＝1×4＝4,故 . 点B在 的图象上， , 故点B（-2，-2）.又 点A、B在一次函数 的图象上， 解得 . 这两个函数的表达式分别为： ， .（2）由图象可知，当 时，自变量x的取值范围为0＜x＜1.（3） 点C与点A关于x轴对称， 点C（1，-4）.如图，过点B作BDAC，垂足为D，则D（1，-2）,于是ABC的高BD＝|1-（-2）|＝3,AC＝|4-（-4）|＝8.23.解：（1）因为A（2，m），所以 ， . 所以 ，所以 .所以点A的坐标为 . 把A 代入 ，得 = ，所以k=1. （2）因为当 时， ；当 时， ， 又反比例函数 在 时， 随 的增大而减小，所以当 时， 的取值范围为 .（3）如图，当直线过点（0,0）和（1,1）时线段PQ的长度最小，为2 . 24. 解：（1） 反比例函数 的 图象经过点A（2，3），把点A的坐标（2，3）代入解析式，得 ,解得k=6， 这个函数的解析式为 .（2）分别把点B，C的坐标代入 ，可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式， 点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上.（3） 当x=-3时，y=-2,当x=-1时，y=-6，又由k＞0知，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当-3＜x＜-1时，-6＜y＜ -2.25.解： 实际距离=图上距离÷比例尺， 、 两地之间的实际距离 这个地区的实际边界长 26. 证明：（1） ∠ ． ∥ ． ． ∽ ． （ 2）由 ∽ 得 ． ． 由 ∽ 得 ．∠ ∠ ∽ ． . . ．27. 解：（1）当 时，为一次函数，设一次函数关系式为 ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以 解得 所以 .当 时，为反比例函数，设函数关系式为 ，由于图象过点（5，60），所以 =300. 综上可知y 与x的函数关系式为 （2）当 时， ，所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟.

九年级数学下册例9

一、选择题（每小题3分，共36分）1.若函数 的图象经过点（ ， ，则函数 的图象不经过第（ ）象限.A .一 B.二 C.三 D.四2.（2013•广东中考）已知 ，则函数 和 的图象大致是（ ） 3.当 ＞0， ＜0时，反比例函数 的图象在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若函数 的图象经过点（3，-7），那么它一定还经过点（ ）X kB1.cOMA.（3，7） B.（-3，-7） C.（-3，7） D.（-7，-3）5.(2013•沈阳中考)如图所示，ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于（ ）A. B. C. D. 6.(2013•山东东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及 那么 的值（ ）A.只有1个 B.可以有2个C.可以有3个 D.有无数个7.(2013•山东聊城中考)如图所示，D是ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若ABD的面积为 则ACD的面积为（ ）A. B. C. D.8.购买 只茶杯需15元，则购买茶杯的单价 与 的关系式为（ ）A. （ 取实数） B. （ 取整数）C. （ 取自然数） D. （ 取正整数） 9.在下列四组三角形中，一定相似的是（） A.两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形C.两个直角三角形 D.两个锐角三角形10.若 = = 且3 =3，则2 的值是（）A．14 B．42 C．7 D． 11. 若 = 则 （）A． B． C． D． 12.若 ∽ 且相似比为 ∽ 且相似比为 则 与 的相似比为（）A． B． C． 或 D． 二、填空题（每小题3分，共24分）13.已知 y 与 2x+1 成反比例，且当 x=1 时，y=2，那么当 x=0 时，y= .14.（2013•陕西中考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，那么 的值为________.15.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 ，高为y，面积为60，则y与x的函数解析式为__________.（不考虑x的取值范围）16.反比例函数 （k>0）的图象与经过原点的直线 相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 .17.在比例尺为1∶500 000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为46厘米，则A地到B地的实际距离约为 千米.18.如图是一个边长为1的正方形组成的网格， 与 都是格点三角形（顶点在网格交点处）,并且 ∽ 则 的相似比是 . 19.如图所示，EF是ABC的中位线，将 沿AB方向平移到EBD的位置，点D在BC上，已知AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 .20.如图所示，在平行四边形 中 是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB=2∶3，EF=4，则CD的长为 .三、解答题（共60分） 21.（10分）(2013•湖北宜昌中考)如图①所示,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AOBC于点O,F是线段AO上的点(与 不重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接FE,FC,BE,BF. ① ②第21题图 (1)求证:BE=BF.(2)如图②所示,若将AEF绕点 旋转,使边AF在∠BAC的内部,延长CF交AB于点 交BE于点 .①求证:AGC∽KGB;②当BEF为等腰直角三角形时,请你直接写出AB∶BF的值.22.（8分）（2013•兰州中考）如图所示，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A（1，4）和点B（m，－2）.（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当x>0时，直接写出 时自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求ABC的面积.23.（8分）如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数 的图象经过点A（2，m），过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 .（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线与反比例函数 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.

24.(8分)已知反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）.（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上；（3）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围.25.(8分)在比例尺为1∶50 0 00的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点 、 之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和 、 两地之间的实际距离.26.(8分)已知：如图所示，在 中 ∥ 点 在边 上 与 相交于点 且∠ ．求证：（1） ∽ ；（2） 27.(10分)制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 期中检测题参考答案1.A 解析：因为函数 的图象经过点（1，-1），所以k=-1，所以y=kx-2=-x-2，根据一次函数的图象可知不经过第一象限.2.A 解析：由 ，知函数 的图象分别位于第一、三象限；由 ，知函数 的图象经过第二、三、四象限，故选A.3.C 解析：当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，当x＜0时，反比例 函数的图象在第三象限，所以选C.4.C 解析：因为函数图象经过点（3，-7），所以k=-21.将各选项分别代入检验可知只有C项符合. 5.B 解析： BC＝BD+DC＝8，BD∶DC ＝5∶3， BD＝5，DC＝3. ∠ =∠ ∠ADC=∠BDE,ACD∽BED, 即 DE= .6.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的直角三角形的两直角边长为3,4时 的值为5；当一个直角 三角形的一直角边长为6,斜边长为8，另一直角边长为2 且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3,斜边长为4时 的值为 故 的值可以为5或 .7.C 解析： ∠DAC=∠ ∠ACD=∠BCA， ABC∽DAC， = =4，即 .点拨：相似三角形的面积比等于对应边的比的平方.不要错误地认为相似三角形的面积比等于对应边的比.8. D 解析：由题意知 9.B 解析:根据相似图形的定义对各选项分析判断后再利用排除法进行求解. A.两个等腰三角形,两腰对应成比例, 夹角不一定相等,所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误；B. 两个等腰直角三角形，两腰对应成比例，夹角都是直角.一定相等，所以两个等腰直角三角形一定相似，故本选项正确；C. 两个直角三角形，只有一直角相等，其余两锐角不一定对应相等，所以两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D. 两个锐角三角形，不具备相似的条件，所以不一定相似，故本选项错误．故选B．10. D 解析：设 则 又 =3，则15 =3，得 = 即 = = = 所以 = ．故选D．11. D 解析： = 故选D．12. A 解析： ∽ 相似比为 又 ∽ 相似比为 ABC与 的相似比为 ．故选A．13.6 解析：因为y 与 2x+1 成反比例，所以设 ，将x=1 ，y=2代入得k=6，所以 ，再将x=0代入得y=6.14.24 解析：由反比例函数图象的对称性知点A和点B关于原点对称，所以有 , .又因为点 在反比例函数 的图象上，所以 ,故 .15. 解析：由梯形的面积公式得 ，整理得 ，所以 .16.（-2，-1） 解析：设直线l的解析式为y=ax，因为直线l和反比例函数的图象都经过A（2，1），将A点坐标代入可得a＝ ，k＝2，故直线l的解析式为y＝ x，反比例函数的解析式为 ，联立可解得B点的坐标为（-2，-1）.17.230 解析:根据比例尺=图上距离︰实际距离，列比例式直接求得实际距离．设 地到 地实际距离约为 则 解得 厘米=230千米． 地到 地实际距离约为230千米．18. 解析: 先利用勾股定理求出 那么 即是相似比.由图可知 与 的相似比是 .19.10 解析： 是 的中位线， ∥ ∽ . 的面积为5， . 将 沿 方向平移到 的位置， . 图中阴影部分的面积为： ．20. 10 解析： ∥ ∽ 0.又 四边形 是平行四边形， ．21.分析：（1）根据“SAS”可证EAB≌FAB.（2）①先证出AEB≌AFC,可得∠EBA=∠FCA.又∠KGB=∠AGC,从而证出AGC∽KGB.②应分两种情况进行讨论：当∠EFB=90°时，有AB= AF，BF= AF,可得AB∶BF= ∶ ；当∠FEB=90°时，有AB= AF，BF=2AF,可得AB∶BF= ∶2.(1)证明: AOBC且AB=AC, ∠OAC=∠OAB=45°. ∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°, ∠EAB=∠FAB. AE=AF,且AB=AB, EAB≌FAB. BE=BF.(2)①证明: ∠BAC=90°,∠EAF=90°, ∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°, ∠EAB=∠FAC. AE=AF,且AB=AC, AEB≌AFC , ∠EBA=∠FCA.又 ∠KGB=∠AGC, AGC∽KGB.5ykj.com②解： AGC∽KGB, ∠GKB=∠GAC=90°. ∠EBF＜90°.Ⅰ当∠EFB=90°时,AB∶BF= ∶ .Ⅱ当∠FEB=90°时,AB∶BF= ∶2.点拨：（1）证两条线段相等一般借助三角形全等；（2）在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似；（3）图形旋转前后，对应角相等，对应线段相等.22.分析：（1）先把点A（1,4）的坐标代入 ，求出k的值；再把点B（m，-2）的坐标代入 中，求出m的值；最后把A,B两点的坐标分别代入 ，组成关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b即可.（2）由图象可以看出，当0＜x＜1时，y1所对应的图象在y2所对应图象的上方.（3）由题意，得AC=8,点B到AC的距离是点B的横坐标与点A的横坐标之差的绝对值，即等于3，所以 . 解：（1） 点A（1，4）在 的图象上， k＝1×4＝4,故 . 点B在 的图象上， , 故点B（-2，-2）.又 点A、B在一次函数 的图象上， 解得 . 这两个函数的表达式分别为： ， .（2）由图象可知，当 时，自变量x的取值范围为0＜x＜1.（3） 点C与点A关于x轴对称， 点C（1，-4）.如图，过点B作BDAC，垂足为D，则D（1，-2）,于是ABC的高BD＝|1-（-2）|＝3,AC＝|4-（-4）|＝8.23.解：（1）因为A（2，m），所以 ， . 所以 ，所以 .所以点A的坐标为 . 把A 代入 ，得 = ，所以k=1. （2）因为当 时， ；当 时， ， 又反比例函数 在 时， 随 的增大而减小，所以当 时， 的取值范围为 .（3）如图，当直线过点（0,0）和（1,1）时线段PQ的长度最小，为2 . 24. 解：（1） 反比例函数 的 图象经过点A（2，3），把点A的坐标（2，3）代入解析式，得 ,解得k=6， 这个函数的解析式为 .（2）分别把点B，C的坐标代入 ，可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式， 点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上.（3） 当x=-3时，y=-2,当x=-1时，y=-6，又由k＞0知，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当-3＜x＜-1时，-6＜y＜ -2.25.解： 实际距离=图上距离÷比例尺， 、 两地之间的实际距离 这个地区的实际边界长 26. 证明：（1） ∠ ． ∥ ． ． ∽ ． （ 2）由 ∽ 得 ． ． 由 ∽ 得 ．∠ ∠ ∽ ． . . ．27. 解：（1）当 时，为一次函数，设一次函数关系式为 ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以 解得 所以 .当 时，为反比例函数，设函数关系式为 ，由于图象过点（5，60），所以 =300. 综上可知y 与x的函数关系式为 （2）当 时， ，所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟.

九年级数学下册例10

第一单元

数与式

第1讲

实

数

知识点一：实数的概念及分类

关键点拨及对应举例

1.实数

（1）按定义分

（2）按正、负性分

正有理数

有理数

有限小数或

正实数

负有理数

无限循环小数

实数

实数

正无理数

负实数

无理数

无限不循环小数

负无理数

（1）0既不属于正数，也不属于负数.

（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.

（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.

知识点二

：实数的相关概念

2.数轴

（1）三要素：原点、正方向、单位长度

（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

例：

数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.

3.相反数

（1）概念：只有符号不同的两个数

（2）代数意义：a、b互为相反数ó

a+b=0

（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等

a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.

例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.

4.绝对值

（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

（2）运算性质：|a|=

a

(a≥0)；

|a-b|=

a-b(a≥b)

-a(a＜0).

b-a(a＜b)

（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.

（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.

（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.

例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.

5.倒数

（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)

（2）代数意义：ab=1óa,b互为倒数

例：

-2的倒数是-1/2

；倒数等于它本身的数有±1.

知识点三

：科学记数法、近似数

6.科学记数法

（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数

（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）

例：

21000用科学记数法表示为2.1×104；

19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.

7.近似数

（1）定义：一个与实际数值很接近的数.

（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

例：

3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.

知识点四

：实数的大小比较

8.实数的大小比较

（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.

（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而

小.

（3）作差比较法：a-b＞0óa＞b；a-b=0óa=b；a-b＜0óa＜b.

（4）平方法：a＞b≥0óa2＞b2.

例：

把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.

知识点五

：实数的运算

9.

常见运算

乘

方

几个相同因数的积;

负数的偶（奇）次方为正（负）

例：

（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;

3-1=_1/3_;π0=__1__;

(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.

失分点警示：类似

“的算术平方根”计算错误.

例：相互对比填一填：16的算术平方根是

4___,的算术平方根是___2__.

零次幂

a0=_1_(a≠0)

负指数幂

a-p=1/ap（a≠0，p为整数）

平方根、

算术平方根

若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.

立方根

若x3=a,则x=.

10.混合运算

先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左

向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、

中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，

使问题简单化

第2讲

整式与因式分解

一、知识清单梳理

知识点一：代数式及相关概念

关键点拨及对应举例

1.代数式

（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．

（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．

求代数式的值常运用整体代入法计算.

例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.

2.整式

（单项式、多项式）

（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.

（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.

（3）整式：单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.

例：

（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.

（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是

__1

.

知识点二：整式的运算

3.整式的加减运算

(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

(2)去括号法则:

若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.

(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.

失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.

例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.

4.幂运算法则

(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；

(2)幂的乘方：(am)n＝amn；

(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；

(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n

(a≠0).

其中m,n都在整数

(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.

（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.

5.整式的乘除运算

(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．

(2)单项式×多项式：

m(a+b)=ma+mb.

(3)多项式×多项式:

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.

(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.

(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.

例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.

（6）乘法

公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

变形公式：

a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】

/2

6.混合运算

注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．

例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.

知识点五：因式分解

7.因式分解

(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．

(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).

②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.

(1)

因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；

(2)

因式分解与整式的乘法互为逆运算．

第3讲

分

式

二、知识清单梳理

知识点一：分式的相关概念

关键点拨及对应举例

1.

分式的概念

（1）分式：形如

(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.

（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.

在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.

例：下列分式：①;②;

③;④，其中是分式是②③④；最简分式

③.

2.分式的意义

(1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；

(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；

(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.

失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.

例：

当的值为0时，则x＝-1.

3.基本性质

(

1

)

基本性质：(C≠0)．

（2）由基本性质可推理出变号法则为：

；

.

由分式的基本性质可将分式进行化简：

例：化简：=.

知识点三

：分式的运算

4.分式的约分和通分

(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，

即；

(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即

分式通分的关键步骤是找出分式的最

简公分母，然后根据分式的性质通分.

例：分式和的最简公分母为.

5.分式的加减法

(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝；

(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝.

例：

＝－1.

6.分式的乘除法

(1)乘法：·＝；

(2)除法：＝；

(3)乘方：＝

(n为正整数).

例：＝；＝2y；

＝.

7.分式的混合运算

(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.

(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．

失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.

第4讲

二次根式

三、知识清单梳理

知识点一：二次根式

关键点拨及对应举例

1.有关概念

（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.

（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.

（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.

2.二次根式的性质

（1）双重非负性：

①被开方数是非负数，即a≥0；

②二次根式的值是非负数，即≥0.

注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.

利用二次根式的双重非负性解题：

（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1.

（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.

(2)两个重要性质：

①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；

(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；

(4)商的算术平方根：

(a≥0，b＞0)．

例：计算：

＝3.14；＝2；

=；=2

；

知识点二

：二次根式的运算

3.二次根式的加减法

先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．

例：计算：＝.

4.二次根式的乘除法

（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；

（2）除法：

=

(a≥0，b＞0)．

注意：将运算结果化为最简二次根式.

例：计算：＝1；4.

5.二次根式的混合运算

运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．

运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.

例：计算：(+1)(

-1)=

1

.

第二单元

方程(组)与不等式(组)

第5讲

一次方程(组)

四、知识清单梳理

知识点一：方程及其相关概念

关键点拨及对应举例

1.等式的基本性质

(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c

.

(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．

(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.

(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.

失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.

例：判断正误.

(1)若a=b,则a/c=b/c.

(×)

(2)若a/c=b/c，则a=b.

(√)

2.关于方程

的基本概念

(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．

(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．

(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．

(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．

在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.

例：若(a-2)是关于x的一元一次方程，则a的值为0.

知识点二

：解一元一次方程和二元一次方程组

3.解一元一次方程的步骤

(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；

(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；

(3)移项：移项要变号；

(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；

(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.

失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.

4.二元一次

方程组的解法

思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.

已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.

例：

已知则x-y的值为x-y=4.

方法：

(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；

(2)

加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.

知识点三

：一次方程(组)的实际应用

5.列方程(组)

解应用题的一般步骤

(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；

(2)设未知数；

(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；

(4)解方程(组)；

(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；

(6)作答：规范作答，注意单位名称．

（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.

（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.

6.常见题型及关系式

（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.

（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.

（4）行程问题：路程=速度×时间.

①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

第6讲

一元二次方程

五、知识清单梳理

知识点一：一元二次方程及其解法

关键点拨及对应举例

1.

一元二次方程的相关概念

(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2

的整式方程．

(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.

2.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.

(

2

)因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.

(

3

)公式法:一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.

(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．

解一元二次方程时，注意观察，

先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.

例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.

知识点二

：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

3.根的判别式

(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．

(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．

(3)当Δ＝

例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.

*4.根与系数的关系

（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是≥0.

（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.

与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：

(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.

失分点警示

在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时=b2-4ac≥0.

知识点三

：一元二次方程的应用

4.列一元二次方程解应用题

（1）解题步骤：①审题；②

设未知数；③

列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.

（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.

①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；

②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；

③传播、比赛问题：

④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

第8讲

一元一次不等式(组)

六、知识清单梳理

知识点一：不等式及其基本性质

关键点拨及对应举例

1.不等式的相关概念

（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.

（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.

（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.

例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.

2.不等式的基本性质

性质1：若a＞b,则

a±c>b±c；

性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；

性质3：若a＞b,c

牢记不等式性质3，注意变号.

如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.

知识点二

：一元一次不等式

3.定义

用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.

例：若是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.

4.解法

（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.

失分点警示

系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.

（2）解集在数轴上表示:

x≥a

x＞a

x≤a

x＜a

知识点三

：一元一次不等式组的定义及其解法

5.定义

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．

（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.

如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.

6.解法

先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

7.不等式组解集的类型

假设a＜b

解集

数轴表示

口诀

x≥b

大大取大

x≤a

小小取小

a≤x≤b

大小，小大中间找

无解

大大，小小取不了

知识点四

：列不等式解决简单的实际问题

8.列不等式解应用题

（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.

（2）应用不等式解决问题的情况：

a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

注意：

列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.

第9讲

平面直角坐标系与函数

七、知识清单梳理

知识点一：平面直角坐标系

关键点拨及对应举例

1.相关概念

（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．

（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．

点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).

2.点的坐标特征

(

1

)各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：

点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；

点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；

点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；

点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.

（2）

坐标轴上点的坐标特征：

①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.

（3）各象限角平分线上点的坐标

①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；

②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数

（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：

①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；

③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．

（5）点M（x,y）平移的坐标特征：

M（x,y）

M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐标轴上的点不属于任何象限.

（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.

（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.

3.坐标点的距离问题

（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．

（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：

点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；

点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．

平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.

知识点二：函

数

4.函数的相关概念

（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．

（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.

（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．

失分点警示

函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.

例：函数y=中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.

5.函数的图象

（1）分析实际问题判断函数图象的方法：

①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；

③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.

（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：

①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，

再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.

读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.

第10讲

一次函数

八、知识清单梳理

知识点一

：一次函数的概念及其图象、性质

关键点拨与对应举例

1.一次函数的相关概念

（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b

＝0时，称为正比例函数．

（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.

例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,

2.一次函数的性质

k，b

符号

K＞0，

b＞0

K＞0，

b＜0

K＞0，b=0

k

b>0

k

b

k

b＝0

（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.

（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.

例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．

大致

图象

经过象限

一、二、三

一、三、四

一、三

一、二、四

二、三、四

二、四

图象性质

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

3.一次函数与坐标轴交点坐标

(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；

(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．

例：

一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.

知识点二

：确定一次函数的表达式

4.确定一次函数表达式的条件

（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：

①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

③解：求出k与b的值，得到函数表达式．

（2）常见类型：

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.

(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.

(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.

如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.

5.一次函数图象的平移

规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.

②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.

例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．

知识点三

：一次函数与方程（组）、不等式的关系

6.一次函数与方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.

例：

（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.

（2）一次函数y=-3x+12中，当x

＞4时，y的值为负数．

7.一次函数与方程组

y=k2x+b

y=k1x+b

二元一次方程组

的解两个一次函数y=k1x+b

和y=k2x+b图象的交点坐标.

8.一次函数与不等式

（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集

知识点四

：一次函数的实际应用

9.一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答.

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式确定函数增减性根据自变量的取值范围确定最值.

10.常见题型

（1）求一次函数的解析式.

（2）利用一次函数的性质解决方案问题.

第11讲

反比例函数的图象和性质

九、知识清单梳理

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质

关键点拨与对应举例

1.反比例函数的概念

（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．

（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：

①y＝；②y=kx-1;

③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)

例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质

k的符号

图象

经过象限

y随x变化的情况

（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.

失分点警示

（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.

k>0

图象经过第一、三象限

（x、y同号）

每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.

k

图象经过第二、四象限

（x、y异号）

每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.

3.反比例函数的图象特征

（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在“、“不在“)

4.待定系数法

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.

例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.

知识点二

：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

5.系数k的几何意义

（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.

（2）常见的面积类型：

失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.

例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.

6.与一次函数的综合

（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.

例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：SAOC=SOPE＞SBOD.

知识点三：反比例函数的实际应用

7

.一般步骤

（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

（2设出函数表达式；

（3）依题意求解函数表达式；

（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

第12讲

二次函数的图象与性质

十、知识清单梳理

知识点一：二次函数的概念及解析式

关键点拨与对应举例

1.一次函数的定义

形如y＝ax2＋bx＋c

(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.

例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.

2.解析式

（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;

③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.

（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.

知识点二

：二次函数的图象与性质

3.二次函数的图象和性质

图象

（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.

失分点警示

（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.

例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7

.

开口

向上

向下

对称轴

x＝

顶点坐标

增减性

当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.

当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.

最值

x=，y最小＝.

x=，y最大＝.

3.系数a、b、c

a

决定抛物线的开口方向及开口大小

当a＞0时，抛物线开口向上；

当a＜0时，抛物线开口向下.

某些特殊形式代数式的符号：

①

a±b+c即为x=±1时，y

的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.

③

2a+b的符号，需判断对称

轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.

a、

b

决定对称轴（x=-b/2a）的位置

当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；

当b＝0时，

-b/2a=0，对称轴为y轴；

当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．

c

决定抛物线与y轴的交点的位置

当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；

当c＝0时，抛物线经过原点；

当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.

b2－4ac

决定抛物线与x轴的交点个数

b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;

b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;

b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

知识点三

：二次函数的平移

4.平移与解析式的关系

注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式

失分点警示：

抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.

例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．

知识点四

：二次函数与一元二次方程以及不等式

5.二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＜0，无实根

例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.

6.二次函数与不等式

抛物线y=

ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.

第13讲

二次函数的应用

十一、知识清单梳理

知识点一：二次函数的应用

关键点拨

实物抛物线

一般步骤

若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.

①

据题意，结合函数图象求出函数解析式；

②确定自变量的取值范围；

③根据图象，结合所求解析式解决问题.

实际问题中

求最值

①

分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

②

研究自变量的取值范围；

③

确定所得的函数；

④

检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

⑤解决提出的实际问题.

解决最值应用题要注意两点：

①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.

结合几何图形

①

根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；

②

根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；

③

利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题

由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.

第四单元

图形的初步认识与三角形

第14讲

平面图形与相交线、平行线

十二、知识清单梳理

知识点一：直线、线段、射线

关键点拨

1.

基本事实

（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．

（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．

例：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.

知识点二

：角、角平分线

2.概念

（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．

（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线

例：

（1）15°25＇＝15.5°；

37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇.

（2）32°的余角是58°，32°的补角是148°.

3.角的度量

1°＝60′，1′＝60＇＇，1°＝3600＇＇

4.余角和补角

(

1

)

余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；

(

2

)

补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.

（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．

知识点三

：相交线、平行线

5.三线八角

（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.

一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察

6.对顶角、邻补角

（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.

（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.

例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角.

7.垂线

（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．

（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

例：如图所示，点

A到BC的距离为AB，点B到AC的距离为BD，点C到AB的距离为BC.

8.平行线

（1）平行线的性质与判定

①同位角相等两直线平行

②内错角相等两直线平行

③同旁内角互补两直线平行

（2）平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

②平行于同一条直线的两直线平行．

（1）如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线.

（2）在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用.

知识点四

：命题与证明

9.命题与证明

（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.

（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成“如果p，那么q“的形式，其中p是题设，q是结论.

（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.

例：下列命题是假命题的有(

③

)

①相等的角不一定是对顶角；

②同角的补角相等；

③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题；

④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题.

第15讲

一般三角形及其性质

十三、知识清单梳理

知识点一：三角形的分类及性质

关键点拨与对应举例

1.三角形的分类

（1）按角的关系分类

（2）按边的关系分类

失分点警示：

在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.

例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.

2.三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3.角的关系

（1）内角和定理：

①三角形的内角和等180°；

②推论：直角三角形的两锐角互余.

（2）外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.

②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.

利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.

4.三角形中的重要线段

四线

性

质

（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.

（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.

角平分线

（1）

角平线上的点到角两边的距离相等

（2）

三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）

中线

（1）

将三角形的面积等分

（2）

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

高

锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部

中位线

平行于第三边，且等于第三边的一半

5.

三角形中内、外角与角平分线的规律总结

如图①，AD平分∠BAC，AEBC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；

如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；

如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；

如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.

对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.

知识点二

：三角形全等的性质与判定

6.全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边、对应角相等．

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．

(3)全等三角形的周长等、面积等．

失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.

7.三角形全等的判定

一般三角形全等

SSS（三边对应相等）

SAS（两边和它们的夹角对应相等）

ASA（两角和它们的夹角对应相等）

AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

失分点警示

如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.

直角三角形全等

(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）

(2)证明两个直角三角形全等同样可以用

SAS,ASA和AAS.

8.全等三角形的运用

（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.

（2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得ACD≌EBD，则AC=BE.在ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.

③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.

例：

如图，在ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.

第16讲

等腰、等边及直角三角形

十四、知识清单梳理

知识点一：等腰和等边三角形

关键点拨与对应举例

1.等腰三角形

（1）性质

①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高

互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.

（2）判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；

②等角对等边：即若∠B＝∠C，则ABC是等腰三角形.

（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.

如：如左图，已知ADBC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.

失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.

如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.

2.等边三角形

（1）性质

①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.

即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.

（2）判定

①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则ABC是等边三角形.

（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.

（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.

例：ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则ABC的周长为9.

知识点二

：角平分线和垂直平分线

3.角平分线

（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若

∠1

＝∠2，PAOA，PBOB，则PA＝PB.

（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平

分线上．

例：如图，ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.

4.垂直平分线图形

（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.

（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

知识点三：直角三角形的判定与性质

5.直角三角形的性质

(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；

(2)

30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；

(3)

斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.

(4)

勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即

a2＋b2＝c2

.

（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.

（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.

（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.

6.直角三角形的判定

(1)

有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则ABC是Rt；

(2)

如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则ABC是Rt

(3)

勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则ABC是Rt.

第17讲

相似三角形

十五、知识清单梳理

知识点一：比例线段

关键点拨与对应举例

1.

比例

线段

在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.

2.比例

的基本性质

(1)基本性质：⇔

ad＝bc；（b、d≠0）

(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）

(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔

＝k.（b、d、···、n≠0）

已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中

的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.

例：若，则.

3.平行线分线段成比例定理

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线

段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.

利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.

例：如图，已知D，E分别是ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长

线)，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若AB∥CD，则.

（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．

如图所示，若DE∥BC，则ADE∽ABC.

4.黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．

例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．

知识点二

：相似三角形的性质与判定

5.相似三角形的判定

(1)

两角对应相等的两个三角形相似(AAA).

如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则ABC∽DEF.

判定三角形相似的思路：①条件中若有平行

线，可用平行线找出相等的角而判定；②条

件中若有一对等角，可再找一对等角或再找

夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中

若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件

中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证

明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有

等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等

或找底、腰对应成比例.

(2)

两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．

如图，若∠A＝∠D，，则ABC∽DEF.

(3)

三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则ABC∽DEF.

6.相似

三角形的性质

(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．

例：(1)已知ABC∽DEF，ABC的周长为3，DEF的周长为2，则ABC与DEF的面积之比为9：4.

(2)

如图，DE∥BC，

AFBC,已知SADE:SABC=1:4，则AF:AG=1：2.

7.相似三角形的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.

（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.

第18讲

解直角三角形

十六、

知识清单梳理

知识点一：锐角三角函数的定义

关键点拨与对应举例

1.锐角三角函数

正弦:

sinA＝＝

余弦:

cosA＝＝

正切:

tanA＝＝.

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.

2.特殊角的三角函数值

度数

三角函数

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

1

知识点二

：解直角三角形

3.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；

已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；

已知直边求斜边，用除还需正余弦.

例：在RtABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.

4.解直角三角形的常用关系

(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，

tanA＝.

知识点三

：解直角三角形的应用

5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）

(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.

（如图②）

(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）

解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

（1）

叠合式

（2）背靠式

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.

6.解直角三角形实际应用的一般步骤

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

第五单元

四边形

第19讲

多边形与平行四边形

十七、

知识清单梳理

知识点一：多边形

关键点拨与对应举例

1.多边形的相关概念

（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．

多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解.

例：

(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．

(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．

2.多边形的内角和、外角和

(

1

)

内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°

（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

3.正多边形

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.

(

3

)

正n边形有n条对称轴.

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.

知识点二

：平行四边形的性质

4.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.

利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.

（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.

（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.

例：

如图，ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.

5.平行四边形的性质

（1）

边：两组对边分别平行且相等.

即AB∥CD

且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.

（2）角：对角相等，邻角互补.

即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.

（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD

（4）对称性：中心对称但不是轴对称.

6.平行四边形中的几个解题模型

（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到ABF为等腰三角形，即AB=BF.

（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中ABD≌CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中AOD≌COB,AOB≌COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②AOE≌COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.

（3）

如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SBEC=SABE+SCDE.

（4）

根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.

知识点三

：平行四边形的判定

7.平行四边形的判定

（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是.

（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是.

（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是.

（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是.

（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是.

例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形.

第20讲

特殊的平行四边形

一、知识清单梳理

知识点一：特殊平行四边形的性质与判定

关键点拨及对应举例

1.性质

（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）

矩

形

菱

形

正方形

(1)矩形中,RtABD≌RtDCA≌RtCDB≌RtBAC;

_两

对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.

（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；RtABO≌RtADO≌RtCBO≌RtCDO;若∠ABC=60°，则ABC和ADC为

等边

三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.

（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.

（1）四个角都是直角

（2）对角线相等且互相平分.即

AO=CO=BO=DO.

（3）面积=长×宽

=2SABD=4SAOB.

（1）四边相等

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角

（3）面积=底×高

=对角线_乘积的一半

(1)四条边都相等，四个角都是直角

(2)对角线相等且互相垂直平分

(3)面积=边长×边长

=2SABD

=4SAOB

2.判定

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形

（2）有三个角是直角

（3）对角线相等的平行四边形

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形

（2）对角线互相垂直的平行四边形

（3）四条边都相等的四边形

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形

（2）一组邻边相等的矩形

（3）一个角是直角的菱形

（4）对角线相等且互相垂直、平分

例：判断正误.

邻边相等的四边形为菱形.（

）

有三个角是直角的四边形式矩形.

（

）

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

（

）

对边相等的矩形是正方形.（

）

3.联系

包含关系：

知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳

4.中点四边形

（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.

5.特殊四边形中的解题模型

（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则AOE≌COF,S1=S2.

（2）正方形:如图②，若EFMN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO.

（变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.）

图①

图②

图③

图④

第六单元

圆

第21讲

圆的基本性质

十八、

知识清单梳理

知识点一：圆的有关概念

关键点拨与对应举例

1.与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成

的图形．如图所示的圆记做O.

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过

圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的

弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个

交点的角叫做圆周角.

（6）弦心距：圆心到弦的距离.

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.

知识点二

：垂径定理及其推论

2.垂径定理及其推论

定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.

推论

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

延伸

根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①

弧AC=弧BC;

②弧AD=弧BD；

③AE=BE;

④ABCD;⑤CD是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

知识点三

：圆心角、弧、弦的关系

3.圆心角、弧、弦的关系

定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.

推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

知识点四

：圆周角定理及其推论

4.圆周角定理及其推论

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

如图a,

∠A=1/2∠O.

图a

图b

图c

(

2

)推论：

①

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.

②

直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.

③

圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.

在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

例：如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．

第22讲

与圆有关的位置关系

十九、

知识清单梳理

知识点一：与圆有关的位置关系

关键点拨及对应举例

1.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d.

(1)d

⇔点在O内；(2)d＝r

⇔点在O上；(3)d>r⇔点在O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.

2.直线和圆的位置关系

位置关系

相离

相切

相交

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.

例：已知：O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与O相切，则平移的距离是1或3.

图形

公共点个数

0个

1个

2个

数量关系

d＞r

d＝r

d＜r

知识点二

：切线的性质与判定

3.切线

的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

4.切线

的性质

（1）切线与圆只有一个公共点.

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.

（3）切线垂直于经过切点的半径.

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.

*5.切线长

（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

例：如图，AB、AC、DB是O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.

知识点四

：三角形与圆

5.三角形的外接圆

图形

相关概念

圆心的确定

内、外心的性质

内切圆半径与三角形边的关系：

（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则SABC=1/2Cr.

（2）直角三角形的内切圆（如图b）

①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.

例：已知ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.

经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形

三角形三条垂直平分线的交点

到三角形的三个顶点的距离相等

6.三角形的内切圆

与三角形各边都相

切的圆叫三角形的

内切圆，内切圆的

圆心叫做三角形的

内心，这个三角形叫

圆的外切三角形

到三角形三条角平分线的交点

到三角形的三条边的距离相等

第七单元

图形与变换

第24讲

平移、对称、旋转与位似

二十、

知识清单梳理

知识点一：图形变换

关键点拨与对应举例

1.图形的轴对称

（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．

②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.

常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.

2.图形的平移

（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；

③平移不改变图形的形状和大小，

只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．

画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

3.图形的旋转

（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．

（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．

4.图形的中心对称

（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．

（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.

5.图形的位似

（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

知识点二

：网格作图

2.坐标与图形的位置及运动

图形的平移变换

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.

例：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.

图形关于坐标轴成对称变换

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．

图形关于原点成中心对称