数学研究的问题例1

近年来，据大学低年级数学老师反映，入学新生学习高等数学普遍感到困难。目前我国的新一轮基础教学数学课程改革顺利进行，新课改下的高中毕业生也已进入大学学习，由于新课改对课程内容及其处理方式有了新的变动，大学数学课程内容显得较为陈旧。在实际教学中，存在大学、中学教学各自为政的现象，使之出现了衔接问题。本文将从我国高中、大学数学的实际出发，在已有的研究基础上，对学习衔接问题作系统的进一步的研究。

一、问卷调查结果分析

本次调查问卷于浙江师范大学发放，共回收有效问卷1328份，主要研究以下内容：大一数学成绩的分化程度及与入学数学成绩的相关性研究；大学适应性研究；大学数学与高中数学的衔接程度研究。

主要采用SPSS软件对数据进行处理。用相关性分析法分析大一数学成绩的分化程度及与入学成绩的相关性。用频数分布分析法描述了数学学习适应性的平均值、标准差及偏度系数。

1.数学成绩与入学高考成绩相关性分析

利用SPSS软件对大一新生数学成绩（高等数学或数学分析成绩）的分化程度与其入学高考成绩作相关性分析，以期发现高中的数学成绩经过一个学年大学数学学习后，各学生成绩有何变化。为计算方便，我们将高考数学成绩折合成百分制进行统计，得到结果如下表：

表1 大一新生数学成绩与入学高考成绩概况

表2 大一新生数学成绩与入学高考成绩相关性

从上述图表分析我们可以得出结论：

（1）新生的高考入学成绩标准差约为2.99，在2.0～4.0之间，差距并不大，符合高考选报规律。但经过大学一学年的学习，数学成绩的标准差扩大至11.25，可见两极分化十分明显。

（2）高考数学成绩与大一数学成绩相关性很小，仅为0.098，入学成绩差的学生未必在大学没有好的成绩，而高考高分的学生也有退步的可能。由此可说明学生在大学阶段的可塑性很大，一场高考并不能代表什么，高考数学成绩的差别对学生在大学学习的影响并不明显。学生完全可以在大学这个新的起跑线上努力补足，奋力追赶，减少差距。

2.大学适应性研究

在问卷中，主要设计了7、8两个问题了解新生对大学的适应性。

对于问题7：您刚开始学学数学时是否适应？整理调查数据得，有324名学生觉得很不适应，占总数的24.39%；401名学生选择不适应，占总数30.18%；有267人选择有点适应，占总数的20.12%；仅25.00%的同学觉得适应大学生活，利用SPSS软件分别统计了反映数据离散程度、集中趋势、数值分布特征的统计量，并得到相应的频率分布直方图及正态曲线。

运行结果如下图，其中1表示很不适应，2表示不适应，3表示有点适应，4表示适应。

图 适应性频率分析

从上图可看出，适应性总体均值为2.46，分值不高，介于不适应与有点适应水平之间；标准差为1.116，差距较大；偏度系数为0.112>0，为正偏，即向左偏，表明总体得分偏低；峰度系数为-1.344

对于多选题问题8：你不适应的主要原因是什么？整理数据结果如下：有688位学生认为学习内容太过深奥，难以理解，占总数51.83%；603位学生认为大学老师上课方法与高中差距太大，有522人认为高中思维模式在大学不再适用，分别占总数45.43%和39.33%。

由上述统计数据可看出，对大部分同学而言，大学数学与高中数学学习思维模式、学习内容的深度、广度都发生了改变，对数学适应性造成影响，由此也可间接发现高中数学与大学数学存在衔接问题。

3.大学数学与高中数学衔接程度及原因分析

根据问卷分析，仅10.37%的人认为衔接紧密且承上启下；有64.33%的学生认为高中数学基础与大学数学某些内容有关联，但衔接并不紧密；另外有23.48%的学生认为几乎无衔接，断层严重。

经过统计分析，学生认为衔接不紧密的最大原因为侧重点不同，占47.26%，高中数学侧重于计算，大学数学侧重逻辑推导。其次，是内容差别悬殊，占39.02%，高中数学内容直观、形象、易懂，大学数学内容深奥、抽象，然后是老师上课方法不同和理论推导方法差别大，分别占32.32%和30.18%。另外访谈中，还有同学表示若高中数学基础不扎实，大学数学也学不好。

二、总结

最后，笔者走访了浙江省各高校数学教师，了解近年高考改革内容，结合以往学习经验就访谈结果，就学习函数和三角函数内容总结整理了大学数学与高中数学出现的衔接问题。

数学研究的问题例2

DOI：

10.16657/ki.issn1673-9132.2016.04.035

在中职数学课堂上，数学教师要培养学生的创新能力和探索意识，要以教材为依托，以互助合作和独立思考为手段，实现学生数学成绩的提高和数学兴趣的养成。因此，在数学课堂上实施探究式教学非常有意义。探究式教学会极大地提高中职学生的数学探究能力，进而提升整体的探究意识，还会帮助学生开发智力，拓展学习思路。所以，中职数学教师在教学时必须不断完善教学理念，采用现代化的教学方式，注重人才培养，在课堂教学中运用多种教学方式，提高课堂评价和课堂练习质量，最终达到探究式教学的目的。但是，在实际教学中，数学探究式教学还存在着一些问题需要解决，比如如何让学生有效地进行合作互助，如何达到探究的目的，如何激励学生的探究意识等，这些问题的出现严重阻碍了中职数学教学质量，需要教师及时的改进，为学生营造愉悦开放的数学课堂。下面我将通过自己的实际数学教学经验，谈谈中职数学探究式教学有效开展的策略。

一、注重和实际生活的联系，锻炼学生自主探究能力

人们在生活中和工作中都离不开数学的帮助，数学的作用是非常巨大的。在中职学校的数学教学中，要更加提高对数学的重视，因为学好数学是学好其他课程的基础。但是数学知识的抽象性决定了学习数学是枯燥乏味的，很多题型的解答都有固定的技巧，需要学生掌握数学规律。传统的中职数学教学都是通过黑板实现的，教师不愿意写板书，学生观看起来还费劲，极大地限制了数学教学的质量。在我的数学课堂上，我不会沿用传统的教学方式，而是以探究式的教学方式与学生互动，在讲课时以实际例子来引入学习内容，展现数学的应用性和多样性。同时，为了锻炼学生的自主探究能力，我会应用多媒体技术，设计数学课件，在大屏幕上展示，以此吸引学生的学习兴趣。在数学教学中增加与实际生活的联系，可以让学生在具体的情境中不断探索，将数学知识简单化和生活化，便于学生理解。中职数学教师在选择实例时要尽量结合本地、本校及本专业学生的生活经验，并且要切合学习内容，让学生能够进行积极的探索研究。

二、深化数学知识的引申探究，培养学生合作探究能力

中职学生学习数学对于以后的求职就业有很大的帮助，数学锻炼人的逻辑思维能力和创新能力，因此，数学教师要改变传统应试教育的观念，积极开发学生的潜力。教材中的数学知识有限，要想锻炼学生的学习能力就要对学生进行知识拓展训练，也就是向更深入的方向去探究。比如，我在讲完一个数学题以后，我会继续给学生改编这道数学题，加大题的难度，让学生分成小组进行讨论，最终做出解答。在中职学校里，分组教学、合作探究能够激发学生的学习意识，因为小组内的学习气氛和学习态度都会相互影响，当差等生看到小组内优等生在认真思考的时候，就会自然而然地加入到探讨的行列。学生合作探究也是团队协作的表现，其实数学课堂就类似于一个小的社会，学生在数学课堂上可以有效地进行合作探究，以后在工作中同样可以和同事很好的配合。但是，在拓展数学知识的时候，中职数学教师一定要从学生的实际水平出发，不能够选择难度过大的数学知识，那样很容易使学生对数学失去兴趣。

三、创设探究的教学情境和氛围，激发学生的学习兴趣

中职学校的学生有其自己的学习方法和思维方式，数学教师在教学时要引导学生养成良好的数学学习习惯。因此，数学教师要敢于创新，打破传统观念束缚，为学生营造有利的学习环境，创设各种教学情境，极大地激发学生学习数学的兴趣。比如，在将数学概念或者定理的时候，我会利用多媒体投影技术，变枯燥为生动，变静止为运动，让学生很容易就学会了数学的知识。在创设教学情境的时候，还可以设计一些有悬念的课堂情境，可以唤起中职学生的强烈心理效应，让他们乐于参与到数学学习活动中，同时也会渐渐的对数学的解题方法有强烈的征服欲望，使学生能够在数学的学习中充分发挥主观能动性。我在教学中严格按照教学大纲的要求进行授课，注重学生的个性化培养，巧妙运用激励手段进行课堂评价，锻炼学生的解题能力和研究能力，做学生的良师益友，重视师生关系朝着和谐、平等的方向发展。同时，我也会给学生留出足够的学习空间，把课堂教学的主人还给他们，让他们有施展才华的机会。

四、结合数学教材中的内容，采用开放式教学模式

数学教材是学习数学的基础，学生要想在数学方面有发展和突破，首先要把教材吃透，能够将教材上的知识点运用自如。中职数学教材内容有许多需要深入探究的，这时数学教师要和学生一起进行研究探索，找到解题的思路。数学教材是对数学知识的总结和概括，学生必须高度重视。在进行数学课堂探究教学的时候要以数学教材为依托，但并不是说要机械地使用数学教材，要对数学教材有所开发和创新。我在数学课堂上，会给学生设计许多开放性的试题，以此锻炼他们的创新能力和思维能力。比如一题多解，一题多变，一题多问等，通过不同的形式能够让学生对数学更加感兴趣，当学生享受到成功的喜悦时就会更加坚定学好数学的信心。其实生活中处处有数学，只要学生能够用心观察，就可以用数学去解决实际问题。数学来源于生活，又高于生活。中职数学教师要提高开放式教学的力度，为学生进行探究提供帮助，减少学生因为学习方法不对而自暴自弃的现象，在教学时面向全体学生，不搞特殊化，不分等对待，减少两极分化。

五、带领学生进行积极的反思，形成良好的学习习惯

教学反思是中职数学教学中经常用到的方法，通过反思教学过程和学习过程，可以有效检验教师和学生出现的问题，能够及时解决。数学教师要善于引导学生把反思当成一种习惯，这样才能在数学的学习中有更长远的发展。比如解答完一个数学题以后，要从头再仔细地检查一遍，发现做题过程中的错误及时改正。数学教师的探究式教学完成以后，也要带领学生进行积极的反思，对课堂上的学习过程进行回顾和总结，让学生能够将新旧知识更顺畅地联系到一起，也使数学课堂变得更加活跃。当学生在学习数学时遇到障碍，我会尽自己最大的努力帮助学生，激励他们不要放弃，要继续努力，总有一天会实现自己的梦想。同时，还可以让学生在课堂上进行互相评价，也可以让家长参与到评价当中，对学生的表现进行正确的评价，从而找到提高的空间和方法。总之，中职数学教学要帮助学生找到适合自己的学习方法，把学习数学当成一种乐趣，极大地开发学生的创新意识和探究能力。

参考文献：

数学研究的问题例3

一

问题解决是个体在学习、生活中思维活动最普遍的形式，也是数学学习中相当重要的一个方面。但是，随着对问题解决的深入研究，有大量的研究发现，从培养学生创新意识和创新能力来看，仅仅强调问题解决是远远不够的，还要关注“问题提出”的研究。发现、提出数学问题，既是问题解决的起点，也是问题解决的延续。问题提出与问题解决同等重要。数学正是在不断提出新问题和问题解决的活动中得以生存和发展的。因此，研究学生的问题提出具有重要的教育价值。李政道曾经说过，我们要学生“学问”，而不是“学答”。

与西方国家的学生相比，中国学生比较“听话”，习惯顺从于、听从于“权威”，不敢表现自己，总体上缺乏一种质疑精神，以及发现问题、提出问题的能力。来中国讲学的西方学者经常产生这样的疑惑:中国的学生怎么不问问题?是对我所讲的内容不感兴趣吗?其实，我们的学生大都不关注发现问题和提出问题。他们习惯的数学活动是解题，而这些数学问题均由教材或教师直接呈现。学生对问题提出存在着一种错误的信念：数学问题都来自于数学教师和课本。

分析其原因，中国文化传统的影响是一方面，但我认为主要原因还在于我们的数学教育自身。我国历来重视学生解决问题能力的培养，甚至还有将解决问题等同于“解题”的趋势，提出的问题很少得到足够重视。袁振国先生曾说过:“中国衡量教育成功的标准是，将有问题的学生教育得没问题，全都懂了，所以中国的学生年龄越大，年级越高，问题越少。”

教育部基础教育司1997年的调查表明：在回答“课上，学生们有无发表与老师不同意见和想法的机会”时，45％的小学生和57％的初中生回答“没有”或“很少有”。上海某区教育学院就课堂提问的专题随机抽取6所学生，调查了语文、数学课各9节，发现在目前课堂教学学生不敢提问和教师不善于提出问题的现象相当突出。在被调查的18堂课中，经统计只有一名学生在语文课上向老师提出一个问题。以上数据都清楚地说明了，我国学生的问题意识和提出问题的能力都十分薄弱。因此，不论从我国学生从事数学问题提出活动的现状看，还是从社会对创新型人才的渴求出发考虑，研究学生提出问题都有着特别重要的现实意义。

二

对于问题提出能力的培养，国内外学者均进行了深入的研究。《美国学校课程和评价标准》（1991）中明确提到，学生应该“有一些认可和明确地叙述自己的问题的经验，这种活动是做数学的核心”。另外，《美国数学教学专业标准》（1991）强调教师应该给予学生去提出自己问题的机会：学生应该得到机会，从给出的情境里形成问题和通过修改所给问题的条件设置新问题。

近几年，我国随着教育改革的推进，学生的问题提出逐渐得到教师、教育研究者的关注。与国外研究者不同的是，国内的研究者对问题意识更加重视(王真东，2001；杨跃鸣，2002；俞国良，2003)，认为问题意识的培养是促进学生提出问题的前提。问题提出的技能、方法训练方面，有学者提出教会学生对问题进行分类，分析问题的结构，等等。但这些方法、策略的研究比较零碎，还显得不是很完备，多停留在描述经验的水平上，有的缺乏可操作性，有的容易流于形式。

在中国，将问题提出视为一种有价值的思维活动的思想早已有之，如孔子的“不耻下问”，“善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣”。又如，“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之”。可见，中国文化是很重视和提倡“问”的。但是从数学学习的角度研究问题提出的较为少见。

近几年随着教育改革的深入，学生的问题提出逐渐受到学者、教师等多方面的关注。

1.汪秉彝、吕传汉教授认为更应重视让学生面对数学情境，通过观察与分析，去发现和提出问题，并提出培养学生生创新意识的数学教与学的基本模式。此项数学教学实验成效显著，值得借鉴。他们还指出问题提出能力的研究包括了以下三个方面。（1）将问题提出仅视为有效或更好地解决问题的一种手段；（2）探讨问题提出与问题解决的相互关系；（3）将问题提出看作一种相对独立的数学活动。

2.朱福根认为，培养学生问题提出的能力，首先，要让学生了解提出问题的重要性和必要性，并从数学或其他学科认识提出问题的可行性；其次，要引导学生提出问题，例如可对一些定义、概念、定理和公式的提设及结论提问，利用“逆向思维”对定理、公式、法则及解题思路提问等；再次，要重视学生提出问题的情感因素，鼓励学生积极提出问题，培养他们提出问题的自信心。

3.严定璧提出“布点教学法”，其教学过程是在教师引导下的一种优化的自学过程，在“阅读材料、合书布点、分层推进、贯通回顾”中培养学生提出问题的能力。

4.国内还有学者认为“研究性学习”的核心是问题的提出，而目前较受关注的所谓“对话式教学”也强调教学通过师生相互提问（特别是激发学生发问）、平等对话来进行。另外，在培养学生问题提出能力方面做了一些尝试和努力。

5.当代西方数学教育界对于数学问题提出的研究也有独到之处。波利亚在其著作《怎样解题》中提出了著名的“解题四步骤”，而其中的“回顾”这一步骤实际上包含了“问题提出”――“你还能提出一些新的观点，新的问题吗？”意味着在反思回顾中对原问题进行拓展。对于如何提出问题，波利亚提出，合情推理（归纳和类比）可以用来为猜想提供依据。但真正对数学问题提出本身进行研究的始于上世纪六十年代。

6.Keil等人研究如何使用适当的方法将问题提出整合到数学教学之中，他们还对以下两个可能影响学生问题提出的因素进行了研究：（1）学生已有的经验；（2）重视数学问题提出的活动。

7.Kilpartrick（1987）指出形成问题的过程一般有如下四个方面：（1）关联；（2）类比和一般化；（3）反驳；（4）其它过程，如“某人是因为什么想到这个问题”。

8.L.D.English在澳大利亚对经过选拔的20名五年级的学生进行了为期一年的训练及研究，使学生问题提出的能力有了明显的提高。他提出的让学生对问题进行分类、分析问题的结构等，都是富有成效的培养方法。

9.在课程设计上进行了一些尝试的要首推荷兰的“现实数学教育”（realistic mathematics education），这一课程思想特别强调在所有数学活动中根据自己的建构和自由发挥提出问题。

总之，随着教育改革的推进，学生的问题提出逐渐得到教师、教育研究者的关注。

参考文献：

［1］张国栋.数学解题过程与解题教学［M］.北京教育出版社，1996：14.

［2］反思科学教育［J］.教育参考，1999，（1）.

［3］康武.数学问题提出研究概况及其启示.

［4］吕传汉，汪秉彝.论学生“数学情境与提出问题”的数学学习［J］.数学教育学报，2001.11.

［5］聂必凯，汪秉彝，吕传汉.关于数学问题提出的若干思考［J］ 数学教育学报，2003.5.

［6］朱福根.培养学生“提出问题”能力的探索［J］.数学教学，1998，（6）.

数学研究的问题例4

引言

高中数学一直是高中学生公认的学习难点，它在高考中占有无比重要的地位，而高中数学中的数列问题一直是教学的难点。新课标实行以来，高中数学数列学习仍然是数学教学的关键，因为数列与我们的生活有着十分密切的关系，能够很好地解决实际生活中产生的问题。为了促进学生正确认识数列在数学学习中的重要性，新课标对教师数列的教学任务有了更严格的要求，促使教师重新树立教学理念，认真抓住数列的教学重点，不断提高高中数学教学效率，确保学生在学习过程中能更牢固地掌握数列知识[1]。

1.新课标中数列的教学地位

新课标要求将关于数列的教学内容作为高中数学的教学重点，并要求教师在教学过程中对数列的基本识进行详细讲解分析。由于学生在高中阶段初次接触数列知识，那么教师在数列教学中就要从基础知识入手。人教版高中新课程标准中将数列安排在了第二章，共占12课时，作为数学学习的独立章节，足可以看出数列在高中数学中的教学地位。数列的重要性源于它与很多数学知识存在联系，例如高中数学中函数、不等式、方程式的学习都离不开数列，数列是学生学习其他数学知识的重要桥梁和纽带，具有重要的连接作用。学习数列可以锻炼学生独特的思维方法，譬如函数和方程式、分类讨论、类比归纳、整体带入等数学中重要的思想和学习方法。数列还普遍应用于实际生活中，例如，储蓄、分期付款、人口增长等问题的解决都依赖于数列学习，所以数列并非遥不可及，它与我们的生活有着千丝万缕的联系。

2.数列的学习重点和难点

数列与函数有着密不可分的关系，因为它具有函数的一般性质，是一种特殊的函数，学生在学习时需要用函数的观点对数列进行探讨。数列中的属性和项数是高中数学学习的重点，学好数列的前提是必须熟练掌握数列求和的基本方法和递进关系[2]。数列中的教学难点是关于不等式和函数及递推数列的解决方法。数列中的函数性质常常是考点，教师应注重数列与函数相关的教学内容，学好高中数学中的数列问题有益于提高学生的综合数学能力，促进学生成绩的提高。

3.新课标下数列问题的解题策略

学生要学好数列问题首先必须牢记数列中的各种公式，并能够熟练运用，解决数列问题是没有捷径可以走的，只能根据具体的对题目的分析直接将公式带入运算。在一些题目中，灵活利用数列的常见性质不仅可以快速对数列题目进行解答，还能在答题过程中增强学生自信心，提高学生学习兴趣。高考中常常会考查学生等差数列和等比数列的解法，这时运用累加法和累乘法推导数列问题是不错的解题方法。

4.学习数列可以培养学生的综合学习能力

4.1培养学生的创新思维和推理能力

数列具有一定的推理性，要想学好数列就必须重视对其中数据的总结和归纳。数列的学习可以有效锻炼学生的推理能力，使其在学习过程中不断对问题进行推导和假设，促进学生思维能力的提高。对于在题目中没有发现一定等差或等和规律的问题，学生可以充分发挥想象力，大胆作出假设，在此基础上进行归纳判断，并在此基础上对自己的想法加以论证。合理的假设可以为问题的解决方法提供线索，为学生得出正确的结论提供帮助，有利于促进学生创新意识的提高。

4.2培养学生的推理论证能力和数学应用能力

对数学结论的合理论证是高中数学的教学重点，其在解决数学难题方面发挥着重要作用，教师在教学过程中应注意培养学生对于数学定理及公式的推理论证能力。学生在解答数列过程中应注意培养自己严密的数学逻辑思维能力，这不仅是学习数列的基本条件，而且是整个高中数学学习必备的基本能力之一。数列问题其实就是实际应用问题，数列学习离不开实际应用，学生只有熟练应用才能有把握解决高考中的类似问题。因此，学生在日常生活中必须增强应用意识，以数列显示数学与生活的紧密联系，只有增强数列的实际应用能力，才能在高考中得心应手地解决以数列为背景的实际问题。

5.高中数学数列教学的方法探究

5.1优化数列教学方案

数列、一般数列、等差数列、等比数列是高中数学数列主要的教学内容，而其中以等差数列和等比数列是数列教学内容中的重点。在新课标要求下，教师通过优化教学方案设计解决教学问题，形成新的教学方案，并在其实施后及时对教学效果及质量进行分析，判断其实施的价值，并对操作过程进行优化。这种优化教学方案的过程，能够提高教学成果，创造出更合理高效的教学方案[3]。

5.2注重学生学习需求

学生是学习的主体，为学生服务是课堂教学的最终目的。在新课标下，教师应充分认识到，学生才是教育的主体，课堂教学应该重视学生的学习需求，对他们进行差别化教育。由于学生在学习时存在接受能力、对数列的认知能力及知识结构等方面的差异，因此以老师在教学时不能一概而论，对于那些接受能力较弱的学生，老师要尽量使用传统的教学方法引导他们发现数列的运用规律及特点，对于一些学习优秀的学生老师可以放手让他们练习一些有一定难度的题目。这样不但可以因材施教，让他们根据自己的情况进行不同的训练，还可以避免成绩不好的学生对学习数列产生畏惧心理。只有从学生的具体需要出发对教学方式进行创新，才能够取得良好的教学效果。

结语

高中数学数列的学习非常重要，教师只有不断在新课程理念下对数列的教学方法和教学手段进行创新和改进，始终以提高学生的数学素养为目标，并根据实际情况的需要，选用合适的教学模式，积极探究创新高中数学数列的教学方法，才能从根本上提高学生的学习效率。

参考文献：

数学研究的问题例5

课程改革的核心之一是培养学生的创新和实践能力，创新源于问题，因而，关注学生提出问题的能力是十分重要的。在初中数学教学中，教师如何做到有效设问，培养学生的问题意识，是值得研究的课题。

二、研究方法

（一）研究对象

研究对象为我校八年级两个班的学生。这两个班学生各条件平均，属于平行班。实验前，对实验班与对比班进行数学试题的测试，并对数据进行分析（表1）。

从表1可以看出，实验班与对比班平均分相差1.2分，计算Z=-1.48

（二）统计工具

用SPSS12.0进行数据统计分析。

（三）实验过程

1. 实验自变量：数学问题的情境设计；数学问题的多层次分解；数学问题的媒体辅助讲解；数学问题的变式。

2. 实验因变量：学生成绩的变化。

3. 问题式教学的几个过程

（1）数学问题的多层次分解

依据初中学生的数学基础，从学生具备的知识开始，设置一连串的问题，带领一连串的思考，达到对未知的认识。 “问题串”可以有“串联”和“并联”两种模式，如下图。

（2）数学问题的媒体辅助讲解

在传统数学教学中，由于较难提供生动、丰富的真实情境，造成学生对知识意义建构存在一定的困难。而信息技术在教学中的运用，为情境创设提供了有效工具。以计算机为中心的信息传输手段，利用生动的画面、声像、视听等，充分调动学生的多种感官，为学生创设了良好的问题情境。

运用信息技术创设情境，不是简单的根据数学问题增添一个生活化的情境，而是“要建立能揭示知识的起源、形成的经历及其发展逻辑的问题情境”。因此，教师在运用信息技术创设情境时，要尽可能减少一些干扰元素，增加能突出数学本质的东西，以促进学生数学探究。

（3）数学问题的变式

在进行数学问题变式教学过程中，通过对数学问题进行弱化变式、结构变式、类比变式、逆向变式等，将数学知识串成一条线，使得杂乱无章的知识形成一个体系，整个过程是逐渐增加学生的认知负荷、逐步提高学生的数学能力的过程。不要为了追求新颖题型、难题的教学而忽视数学知识的连续性和学生能力的递进性，不能只是让学生感受“眼花缭乱”的变化，应该要在学生已有认知水平的基础上，使学生的数学知识结构和数学能力都能循序渐进，呈螺旋上升式的发展。

4. 学生提出问题的能力评价

通过问题式教学，学生的问题意识有所增长，但如何评价学生“提出问题”的能力，是值得研究的问题。事实上，研究者已从托伦斯创造性思维测验中得到启发，对提出问题能力有新的认识，即用以表征提出问题能力的三要素：（1）问题的数量，体现学生思维的流畅性；（2）问题的种类，体现学生思维的灵活性；（3）问题的新颖性，体现学生思维的创造性。

一个学生所提出的问题数量较多，表明他在收集和处理问题信息时能产生大量有价值和意义的联想。当然，关注学生能否从不同角度提出不问题，对提高学生思维的灵活性是十分必要的。对问题的新颖性判断，要注重问题的原创性和合理性，作为检测学生的思维创造性的依据。

三、数据分析

在实验过程中,对学生提问题的能力进行中测和后测,并进行平均数显著性水平检验分析,结果如表2、表3所示。

由表2、表3可以看出：从总体上看，在实验中期，实验班学生的数学测试成绩高于对比班，且在?琢=0.05的水平上有显著性的差异。

四、结论

（一）多媒体辅助，有利于问题的解决

传统教学中，由于受到教学媒体的限制，教学内容只能静态地传授，缺乏运动变化思想的渗透，这不利于学生对问题的理解和记忆。在问题式教学时，运用信息技术有利于问题的解决。教师应该结合信息技术，充分挖掘问题的动态元素，对学生进行问题式教学。

信息技术在图形变换、动画等方面有很大的优势，教师如果能充分利用这一点，在解题教学中，让问题中某些变量动起来，将会使学生触及问题的实质，解决问题时，体会到数学蕴含的精神、思想和方法。例如，探索点的运动规律，既是几何教学的重点，又是中考考查的热点。传统的“粉笔+黑板”的教学手段，难于进行“动态处理”，“动点”只能用黑板上的一个静态的“定点”演示，导致学生难于形成运动观。而运用信息技术，能使动点真正运动起来。

（二）问题情境化，激发学生兴趣

问题的提出是人们基于一定的情境，通过对情境中已有数学信息的观察、分析，产生质问、困惑，进而发现和产生新的数学任务或数学问题的过程。国内有贵州师范大学吕传汉教授在问题情境设置方面做了大量研究，情境是问题的根，问题是情境的心。学生的探究学习中的情境与问题是相辅相成的，是一个因果联系的有机体。创设情境的目的是为了让学生提出问题，情境是手段，问题是目的。

情境创设要联系的是“生活现实”。创设日常生活情景进行教学，已经形成一种风气，这对提高学生学习数学的兴趣，掌握数学的来源，理解数学抽象模型，很有好处。但是，过度强调数学的生活化，以为一切数学都是从日常生活来的，则是一种片面认识，因为情境创设还包含一种纯数学情境创设。

（三）问题的变式，培养思维的灵活性

变式教学是我国数学教育的一个特色。“变式”是在保持一事物本质属性不变的前提下，通过变换它的非本质属性，来突出它的本质属性的一种思维方式。问题变式教学的特征是：通过问题各种变式之间，或改条件，或改结论等方式，掌握问题之间的差异与联系，来认识问题的内涵与外延，实现对问题多角度的理解。在数学活动过程中，通过多层次的推进，使学生渐进形成解决问题的能力，从而形成多层次的活动经验系统。

教学中常常运用反例或辨析题制造认识冲突，以帮助学生把握数学本质属性，利用反例、辨析题和变式题进行教学属于变式教学的范畴，反例的特点是改变对象的本质属性而保持非本质属性不变，辨析题的特点是改变对象的非本质属性而保持本质属性不变。

数学研究的问题例6

在当前新课标背景下，笔者认为要想提高教学质量和效率，可从以下几个方面着手。

一、创设合理的教学情境

对于小学生而言，他们的学习欲望、热情关系着学习的动力，实践证明只有他们具有较强的欲望，才能主动去学习，才会自主学习。在此过程中，广大小学数学教师，一定要立足实际，采取有效的教学措施去激发学生的学习欲望，创设合理的学习情境。在日常教育教学过程中，教师一定要针对课堂教学内容，创设有效的问题情境，积极引导学生向着所设问题靠拢，只有这样才能激发他们自主学习的热情。在情境创设过程中，教师应当对学生的意识、能力进行全面的分析和判断，并在此基础上设计合理的情境，不能过于简单，以免影响学生的探究欲。同时，也不能设计得太难，这样会阻止学生前进的脚步。合理的情境是稍微比学生的能力高出一点，这样可以使其通过简易探究即可触碰得到想要实现的目标。

二、建立良好的师生关系

在小学数学教学过程中，应当建立交往式教学模式，老师与学生之间应当建立良好的师生关系，这是一种可以充分体现师生和谐、融洽关系的课堂氛围。在课题实际教学过程中，应当重视学生的体验、经历，使他们能够积极主动地去参与教学实践，并在此过程中积极地交流、推理以及实验和验证，只有这样才能强化学生对公式、定理以及概念的深入认知和了解，才能准确把握问题应对策略，感悟具体的教学思想和方法。

三、注重挖掘生活中的教育教学资源

小学数学教学实践中，教材的例题、课后习题，与我们的日常生活之间存在着非常密切的关系，而教材插图也在某种程度上反映出生活实际。教师在分析教材的基础上，建议结合课堂表演、游戏等，对教材内容、情境进行再现，从而实现教学情景化、动作化，进而创设一个真实、生动的教育教学环境，以此来强化学生的体验，使之能够更好地感受数学、生活之间的密切关系，引导学生形成良好的数学情感和学习习惯，调动其学习的积极性。

数学研究的问题例7

教学实践能够为教师正确选择和应用教学模式提供经验，能够生成教学模式，而数学教学模式就是在一定教育思想指导下以实践为基础生成的。长期以来，传统的数学教学方法阻碍了数学教学模式的正常发展，数学教学模式僵化，人们缺少对数学教学模式的研究和学习。首先，和文科类课程相比较，数学教学一直相对稳定，通常情况下不会有所变化，从而导致教师放弃了对教学模式的反思和改进，很容易形成一种“定势”。其次，由于评价体系上的局限性，导致教师潜意识中对改进教学模式的漠视，忽视了教学的科学性和艺术性。最后，由于“应试教育”的束缚和限制，致使一些教师总是摆脱不了旧有观念的束缚，导致对数学教学模式的探讨只能是“带着锁链跳舞”，教学模式在较低层次上徘徊[1]。

一、新型数学教学模式构建中存在的问题

1.不重视实践与理论结合的“综合法”

在构建数学教学模式中，常用的方法是理论演绎法与总结归纳法。采用理论演绎法的数学教学模式缺乏针对性和有效性，是研究者参照已有的模式，凭借着主观理解“创造”出来的，在解决实际问题的时候，通过这种方法得出的模式比实践与理论结合的“综合法”逊色很多。

从理论、实践验证出发，根据现实情况，研究数学教学模式的适用性，对数学教学模式的构建提供科学指导，并对传统数学教学模式进行“重建”和“解构”，不但意味着数学教学模式的改革已经逐渐深入，还意味着新型模式将会在与实际磨合中更具针对性和可行性，意味着新型教学模式的创新接“地气”。由此可见，在构建新型数学教学模式的过程中，现实依据、理论指导与实践验证缺失任何环节都会对新模式的实效产生很大的影响。但很多研究者忽视了这一点，所构建的新型数学模式难以发挥其有力的指导作用，在与亟待解决的实际问题之间存在着空场，很多数学教学模式实验就像流星一样瞬间消失。目前在数学教学中发挥作用的笛Ы萄模式，只有“MM教育模式”和相关子课题还发挥着作用。

2.不重视数学教学思想层面的革新

在数学教学模式的革新与创造中，数学教学思想处于指导地位。而在构建数学教学模式的过程中，教学模式的革新停留在数学教学方法与手段的革新上，很多研究者只重视形式层面的变动，不重视数学教学思想层面的革新。如果不转变保守陈旧的数学教学观念，不重视教学过程中的动态生成，那么就不能确保学生的主体地位，任何“模式”都不可能达到改革的目的。目前，受初期思想革新缺乏的影响，新型数学教学模式运用比较形式化，尤其是缺少相关数学教学理念的说明和阐述。因此，为了动态创造与生成最适宜的教学程式，要树立科学的教育思想和理念，重要的并不是采用何种教学程序、运用哪种教学模式[2]。

3.新型数学教学模式改革不够大胆

近些年来，新型数学教学模式研究成果没有突破传统意义上的“五段论”，“创设情境-引入新知-学习新知-归纳总结-练习反馈”组成了数学课堂教学环节，没有突破原有框架。如：将“问题引入法”运用到“创设情境”环节中，就当成“以问题解决为中心的教学模式”；把“合作学习法”运用到引入新知环节中，就当成“合作学习模式”等，都是大框架下的小改造。

吴亚萍意识到了现有数学教学模式改革中的不足，提出了“三收三放”的过程结构，认为在历次改革中，数学教学过程的程序操作基本不变。并且她敢于打破常规，改变了传统数学教学中“复习-教授-练习-总结”的模式，提出了体现数学教学过程中互动生成展开的逻辑，虽然强调了对教学生成性资源的重视与应用，但是仍旧有些保守。而后现代大师怀特海的教育过程的节奏性思想又提供了一种思路，他认为教育过程分为循环出现的三个阶段：浪漫、精确和综合运用，这三个阶段呈现相互的交互作用，并不是一条直线，即：节奏性教育过程。由此，笔者认为真正的数学教学过程是交叉往复的网络式前进，并不只是三个“收”与“放”的过程。

4.具体案例支持少，难以体现教学特色

在构建的过程中，很多新型数学教学模式操作要求与细节强调少，程序步骤多，从而导致在实际推广时指导力不够，缺少支持教学的具体案例。因此，在创设数学教学模式时，对于一位想用教学模式来控制教学过程的教师来说，必须要注重理论与实践的结合，才能应用教学模式；要配备代表该模式的思想，弄清理论背景，才能把教学模式运用得当；要配备特定的各个层次典型案例，才能把数学模式推广开来。在改革中，必须要重视数学本身的特点，从数学学科特有的特征和培养创新人才的要求出发。不能将学科通用模式简单地移植到数学教学中，要构建具有数学学科特色的教学模式，避免养成学生被动依赖的习惯，要培养学生独立思考和坚持的品质。

二、数学教学模式实践研究中存在的问题

1.实践研究浅尝辄止

在数学教学模式实践研究中，很多研究者功利观念浓厚，往往缺少对实际情况的调查，构想完某一新模式就匆匆付诸实施，缺乏反复验证、不断修改的科学态度和耐心，样本选取不足，验证时间短，缺乏对模式继续研究与后继传播推广的恒心，实验看起来轰轰烈烈，但往往浅尝辄止，缺少踏实的态度与改进的耐心和恒心，很难判断是否真正为数学教学模式改革与完善起了多大的作用[3]。

2.缺少对教师相关培训与指导的研究

新型数学教学模式的传播与推广，对教师相关培训是关键，只有让数学教师真正了解新模式的真谛与具体操作，才能在实际教学中运用此模式；只有得到数学教师情感上的赞同和认可，才可能使其对新型数学教学模式进行创造。卢仲衡教授曾经说过：“开展教改实验，教师的培训要跟上”。如青浦实验为了培养大批数学教师，开展了三期推广辅导班，使这些教师掌握了教改经验的实质，同时，在各个学校中，形成了一种运用教改经验的氛围，通过他们的带头作用，不但提高了经验传播的效率，还扩大了教改经验的影响[4]。而顾泠沅和其实验小组将教师与教学作为最重要的主体，指出对于骨干的培训要超前，教改深入要和教师的培训同步进行。为了使青浦实验的研究成果不会消失，实验小组结合实际情况，将教改措施纳入常规之中。而由于“后继无人”等因素的影响，当初一些效果很好的数学教学模式早早地就退了人们的视野。

3.实践研究与传播推广缺少支持条件

开展教改实验，教育行政部门要给予关照，领导要重视，如教师外出学习考察、实验经费的划拨等。由于社会对学校教师的期望高，教师教学任务重、压力大，考试成了改变学生命运与前程最关键因素等的影响，阻碍了一些新型的数学教学模式的推广和运用。如“南京素质教育之痛”就是一个具有代表性的例子。

三、数学课堂教学中教学模式选用中存在的问题

1.数学教学模式的运用缺乏灵活性

在运用的过程中，数学教学模式存在着固化与机械化的问题，教师容易出现职业倦怠，缺乏对已有数学教学模式的反思与革新，容易抹杀自身的创造力和热情，往往只会套用单一模式，缺少对新模式的借鉴与吸收；对学生的主体性与活力也极容易造成压制，引起学生的厌学情绪，从而影响了教学效果。而数学教学活动不可能被规约在某个确定、封闭的模型中，其是一种动态的过程。因此，在选用与特殊教学目标相匹配的教学模式上，需要根据不同的教学内容和对象进行选用。

实际上，教学模式是否具有生成性、开放性以及动态性，是由数学教学过程的动态生成性决定的，因此，那种照搬照用某种教学模式的行为是缺乏主见的。在教学的时候，一旦原有的数学教学模式不适应，教师就要通过适当地“强化某些积极因素、抑制某些消极因素，对原有的数学教学模式进行变动，建立新的、更高一级的教与学的平衡，形成新的数学教学模式，打破不适应教学生成的教与学平衡系统。由此可见，只有积极反思、相机调整，才能真正发挥数学教学模式的积极作用，才能适应千变万化的数学课堂教学需要”[5]。

2.课堂教学讲授模式陈旧

目前，在数学课堂教学中，教师仍旧使用的是传统教授模式，虽然在短时间内，学生的考试能力比较强，能够掌握大量的数学知识，但是，学生创造性思维与灵活运用知识的能力不强，动手操作能力较弱。为了改变这一弊端，培养学生良好的数学素质，不少新型数学教学模式也强调师生、生生之间的互动和交流。而这样的模式并不好控制和把握，见效慢，时间花费得较长，使一些新的模式被排除在课堂教学之外。顾泠沅认为新型数学教W模式与传统的教学模式有望结合，他认为按照本国的传统，整合教师主导取向与学生自主取向的探究学习，才能取长补短。因此，教师要找到两者契合的有效方式，转变新老两种模式对立的保守观念。

3.缺少对已有数学教学模式的整合和超越

部分教师对现有教学模式缺少整合，认为数学教学模式已经存在了，不需要超越它，从而造成了模式运用中的形式化。因此，为了吸利除弊，为我所用，教师对每一种模式的具体操作和理念，要带着欣赏、整合、超越的眼光去分析，要借鉴已有的数学教学模式，从狭隘的观念中走出来，将其内化为自身的教学模式，进而向“无模式”的境界迈进。李炜曾经指出：“要采用‘扬弃’的办法来指导自己的数学教学实践”[5]。而曹一鸣也曾经说过：“数学教学模式运用的三重境界是‘借鉴、整合、超越’”，“为了摆脱‘模式’，达到‘无模式化’的教学境界，要弱化、超越模式，要合理选择、突破、建立新模式。”[4]因此，为了形成正确的“数学教学模式观”，教师要整合、改造模式，达到“无模式”的境界，才能真正理解数学教学模式。

四、反思与建议

在当前新课程改革的背景下，为了解决数学教学模式实践中的问题，一线数学教师要在数学课程标准理念的指导下，更新数学教学模式理念，要站在整体优化的角度上，正确看待数学教学模式的静态与动态、预设与生成、借鉴与超越等的辩证统一，超越已有的“教学模式”的狭隘意识，将教学模式视为一个整体体现数学教学活动的过程。同时，为了提升教学能力，教师要不断更新教学模式的主体意识，在选择、组合、优化和实践应用中，注重对多种预设方案的精心设计，逐渐提高数学教学质量，充分重视对学生特征的分析，提升教学模式的构建能力，只有这样才能为教学质量的精进奠定认识论基础。

为了适应教学实际的需求，教师在课堂教学过程中要增改、删减、调整已有的教学模式。长期以来受教师的教学观念、主体意识等的影响，在构建与执行教学模式的过程中，不同教师具有不同的风格，个体表现出较为稳定的特征，具有较强差异性。教学设计的动态性、差异性与教学现场的具体性、情境性等往往会产生机械模仿的效果，但是教学惯例具有较强的借鉴意义。因此，在更新教育观念、积累教学经验、自律自觉的反思中，数学教师要不断增强教学生成的智慧与经验。数学教师的教学模式实践已经逐渐向自觉、主动进行主体创新构建的发展，已经逐渐摒弃了原先个体被动、消极的依赖局面。当然，在数学教学模式的构建方面，数学教学理论研究者还应该进行更加深刻与系统的研究，建立起真正的支点，使数学教学模式真正成为数学课堂教学理论与教学实践有效沟通的桥梁，最终得到“无模式化”的至高境界。

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参考文献

[1] 张朝珍.数学教学决策论[M].北京：人民出版社，2011.

[2] 高春霞，王培光，娄建忠.关于工科数学教学的思考与探索[J].教育与职业，2010（12）.

[3] 曹一鸣.当代数学教学模式的发展趋势[J].中学数学教学参考，2001（11）.

[4] 曹一鸣.数学实验教学模式探究[J].课程・教材・教法，2003（1）.

数学研究的问题例8

小学数学是小学生学习的重要环节，对于小学生数学知识的深入学习和数学思维的培养具有积极的影响.基于认真过程分析的小学数学探究问题设计能够更加贴合小学生的性格特点和认知能力，对小学数学教学活动的开展具有积极的影响.在小学教学过程中，通常可以使用探究式教学.这一模式是指：通过探究问题的引入到教学中，让学生回答探究问题得到反馈后，老师通过反馈进行教学的方式.在探究教学过程中学生可以跟老师进行交流，反馈，得到的信息可以作为教学的有效信息.帮助学生更好地理解和学习知识，学生可以自发地去学习去认识不同的东西，这种教学模式的发掘是促进学生学习的一大进步，也是教学理念的进步.可以帮助学生开发思维，培养逻辑能力，自主学习，理解能力的综合性提升.探究教学模式的应用是小学数学教学的新的里程碑，也是新的教学模式大力应用的开端.

2.数学探究问题的设计

数学探究问题的设计应该考虑到学生的认知能力和心理承受能力.问题的设计应该依据小学数学内容来设计，将探究作为基本点，进行深入的探究，发掘学生的数学思维能力.数学问题的设计依据一些问题的提出，发掘学生对数学的热情和求知欲，帮助学生自主地去完成老师交给学生的数学问题.数学探究问题的设计原理，是基于学生的心理承受年纪和理解能力，不能提出很复杂的问题，也不能太过于简单，一定要符合小学生的探究问题.问题的设计就是帮助学生去探究数学，推动学生的积极性，培养学生一定的思考能力.数学探究问题的设计要考虑的东西方方面面的很多，应该进行综合考虑，使之更加符合要求，因为小学生的认知还只是初级阶段，不是成年人的思维，所以不能以成年人的思维模式去设计，这是错误的，一定得用小学生的思维去设计.问题的设计还应该考虑到小学生的生活，学生的生活是非常丰富的，小学生在生活中做的最多的事情不是学习，而是玩，游戏，这是学生的大部分生活，探究问题的设计应该考虑到这些游戏活动，设计出来的问题应该贴近生活，在生活中体现数学，比如：买东西，吃什么，逛游乐园这些生活场景中，可以设计一些探究问题，引入数学概念进去，将数学和探究问题有效地链接在一起，让学生更好地认知问题，理解数学，发掘他们对数学和探究问题的热情，让他们越来越喜欢在生活中想到数学，更好地学习数学.

3.数学探究问题设计的应用

数学探究问题设计出来了，就应该开始应用了.在大的教育背景之下，探究问题设计的合理性应该符合小学生的综合水平，有了一份很好的探究问题就可以有效地进行应用，因为探究问题的设计是考虑了学生的认知能力和理解能力的，并且与小学生的生活有关系，所以问题在课堂上应用时是非常的自然的.探究问题的应用可以帮助老师发现很多小学生对数学理解存在的问题和不懂的地方，老师通过这些问题的回馈，可以计划出重点，帮助学生解决问题，更好地学习数学.探究问题地应该不仅可以存在于课堂，还可以应用在游戏，以及课堂以外的其他地方，小学生的生活学习是丰富的，在不同的地方应用，是可以体现出不同的情景下，小学生的数学理解能力的差别的.

数学研究的问题例9

在当前的小学数学教学中，传统的教师单方面讲解数学概念和知识，学生被动听讲的模式仍很常见，教学环节缺乏互动性，这也造成学生解决数学问题的能力较差，极大地影响了小学数学教学目标的达成。对此，已有不少数学教师在进行“小学生解决问题能力培养的实验与研究”课题实验，在实验中，探索提出了“情境――问题五步教学法”，即“创设情境――自主探究――合作交流――拓展应用――反思评价”。通过这种教学法，对学生进行有针对性的训练，培养学生的问题意识，引导学生自主学习、合作探究，提高学生提出问题和解决问题的能力。

一、在趣味设疑中提出问题

爱因斯坦曾说：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”问题意识是培养学生发现数学内在规律，提高数学能力的先决条件。传统的小学数学教学，提出问题是教材或教师的职责，解题才是学生的任务。学生也很少去思考：我为什么要解决这个问题？解决这个问题的意义何在？面对这种情况，“情境――问题五步教学法”明确要求：在教学中让学生自己提出问题，教师系统地整理学生的提问，并且在课堂上有针对性地解决。这个过程中，对于学生提出的简单的问题，通过学生合作探究即时解决；有些较难的又是教材中非核心的问题，让学生先记下来，以后解决。而学生提出的教材中的“核心问题”就要着重解决。如在教学《分数的初步认识》一课时，教师以讲故事的形式巧妙设疑，提出问题：“唐僧师徒四人去西天取经，一路又累又渴，悟空找到了一个大西瓜，八戒嘴馋，想吃大块，它主动要求分西瓜：师父吃得少，分1/2；猴哥体轻，分1/3；沙师弟较胖，分1/4；自己最能吃，分1/8。你觉得八戒吃到的西瓜是最大块的吗？”至此，就会引发学生思考并提出各种关于分数的问题。

教师利用孩子们喜爱的事物设置教学情境，激发了学生探究的欲望，很自然进入到了问题的研究中，为解决教材内容的核心问题起到了很好的铺垫作用。

二、在大胆猜想中研究问题

牛顿说：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发现和发明。”学生是学习的主人，教师要发挥好指导者、组织者、参与者的作用，鼓励学生运用已有的知识和经验积极大胆地猜想、推测，从不同的角度，运用多种方式去探究解题思路。猜想活动不是孤立的行为，在课堂教学中，教师要充分结合日常生活中的现象和学生的生活体验，将教材内容与现实中的情境联系起来，让学生观察分析，展开思维活动，在大胆猜想中研究问题。如，在教学《圆的周长》一课时，教师让学生拿出事先准备好的学具，问：“要测量圆的周长，你有什么样的方法？”学生通过思考、动手操作，提出猜想。

有的学生说：“用手中的线绳绕圆形一周，再量出线绳的长度，就是圆的周长。”

还有的学生说：“我拿出尺子，在圆片上做个记号，然后把圆片直接放在尺上滚动一周，记号从起点到终点的距离就是圆的周长。”

有一个学生这样说：“我先量出圆的直径，再用2个直径长的细绳去量周长，发现不行，于是用3个直径那么长的细绳量，发现还短一小段。我就猜想：圆的周长应该是它直径的3倍还多一些。”这个猜想真是出人意料。教师追问：“你为什么会猜想出这样的结果？”学生回答：“平时我用圆规画圆，发现设置的直径越长，画出的圆就越大，所以，圆的周长应该和圆的直径有关。因此我想到用直径去求圆的周长。”

由此可见，通过学生一系列的自主猜想，引发了他们的跳跃思维，因而加快了数学思考的进程。

三、在互助合作中解决问题

在小学数学教学中，开展合作学习，让学生在互助合作中解决问题，能起到较好的效果。具体的形式可以是建立学习小组，开展合作学习，创设轻松愉悦的课堂氛围，这样有利于学生学会倾听，大胆思考，乐于表达；有利于学生在交流中不断完善自己的认识，不断产生新的想法；有利于学生在交流碰撞中学会沟通与包容、尊重与信任；有利于培养学生自主学习、独立探究的能力；有利于学生与他人共享思维方法和成果，培养良好的品质。

在这一环节中，教师要给学生提供充分的空间，鼓励学生从不同的角度、用不同的思路，联系各自经验，探索问题的多种解法。具体做法是：教师先出示自学提示及合作学习要求，让学生独立思考，初步找到问题的解决方案，并把自己的解题思路记录下来；然后，学生在小组内与同伴交流讨论，对于不同的解决方法要虚心倾听，勇于质疑，表达自己的想法要有理有据，切中要点；最后，学生在小组内达成共识，找到解决问题的多种策略。汇报时以小组为单位，展示学习成果。小组之间互相补充，公正评价，大胆质疑，学生在这样的课堂上就会充满激情，思维飞扬。例如教学《梯形的面积》一课，教师要求学生借助学具开展小组合作自主探究后，学生汇报出如下结果：

1.把两个完全相同的梯形拼成平行四边形，算出平行四边形面积，再除以2，得出一个梯形面积。

2.将一个梯形分成2个三角形，2个三角形面积相加，得出一个梯形面积。

3.把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，分别求出它们的面积，然后相加。

4.将梯形的平行边对折，剪开，拼成平行四边形，再求出面积。

通过交流、补充，学生掌握了不同的解题方法，并学会了分析问题、解决问题，真正让数学学习成为一种有趣的活动。

四、在拓展延伸中提升思维

《数学课程标准》指出：“数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”也就是说，数学教学活动要以学生的发展为本，要把学生获取的知识、形成的技能和现实生活情境迁移到新的问题情境中去，让学生学以致用，拓展延伸，提升思维。

在这一环节中，强调从不同角度来解决问题，训练学生自主思维的灵活性，提倡学生触类旁通，举一反三。例如《三角形的面积》拓展练习中的一道题：“三角形的底边延长1米，它的面积就增加1.5平方米，求原来三角形的面积。”大部分学生是根据阴影部分求出三角形的高，然后再求出三角形的面积。

这时有一个学生说他还有一种解答方法：先把底边平均分成7份，连接顶点，就是7个三角形，每个三角形的底边都是1米，因为等底等高，它们的面积都是1.5平方米，这样直接用1.5×7就求出了原来三角形面积。

这种练习不但锻炼了学生从不同的角度、用不同的方式去分析问题、解决问题的能力，还拓宽了学生的思维空间，使学生的思维向高层次升华。

五、在情感体验中反思问题

数学研究的问题例10

[中图分类号]G633.6　[文献标识码]A　[文章编号]1009-5349(2010)12-0174-01

数学作为自然科学最基础学科，是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，具有很强的概括性、抽象性和逻辑性，对发展学生的智力，培养学生的思维能力，具有其他学科无法替代的特殊功能作用。因此，分析高中数学存在的问题与研究对策，对于增强高中数学教学的针对性和实效性，具有十分重要的意义。

一、研究现行高中数学教学存在的问题及其产生的原因

在数学教育实践中，教师已形成了自己的课程观、教学观、评价观，有些观念在实际工作中起着极其重要的指导作用，但也有些观念已经与时展的趋势不相吻合，甚至是错误的。由此产生的问题就会严重阻碍数学教育的创新，直接影响数学教学水平的提高。究其原因在于教师在教学过程中，都不同程度地存在着一些误区和问题，从而严重影响了教学质量的提高。这些问题主要表现在以下几个方面：

(一)过分强调教师的主导地位

现在的教学模式虽然花样繁多，也强调新的教学理念，但受传统教育思想的影响，却仍未摆脱教师唱主角的现象。学生仍按老师预先设置好的教学模式，一味听从的现象普遍存在，大大地限制了学生的发散性、创造性思维能力的培养。学生的课堂活动基本上就是听与记，缺乏主体参与，丧失主体地位，更丧失了学生的创新能力。

(二)应试教育现象广泛存在

长期以来，在应试教育的功利影响下，学生考试的成绩，一直被误认为衡量教师教学质量的标准，教学的目的更多的是应付考试，而忽视了培养学生探索获取和灵活运用知识的能力。教学重结果、轻过程，仍是数学教学中最明显的弊端，教师往往只注重知识结论和考试的结果，对于知识获得的过程重视不够，对于学习方法也缺乏指导，导致学生养成了用万能公式去套解学习中、生活中的任何问题的习惯，养成了不知变通的机械学习方式。其结果是培养的学生个性发展，不能适应社会发展变化的需要。

二、改变高中数学教学现状，采取积极研究

随着素质教育的深入实施，以往那种单纯为知识而教的教学方式，已经不能适应时代的发展。要培养学生的数学能力，促进学生全面发展，就必须重视发展学生的智力，不断完善作为育人的主要渠道的课堂教学，积极探索切实有效的教学模式。

(一)坚持以生为本，明确学生的主体地位

要从根本上解决现行高中数学教学中存在的问题，转变教师和学生在教学过程中角色尤为重要。特别是首先要解决教师在教学过程中的定位，逐步实现教师“主角”向学生“主角”的转变，摒弃以“我”为主的教学模式，确立学生作为学生引导者，应该着重关注的是学生的获得，而不是教学设计的完成，要把学习的舞台主动让给学生，让学生学会思考、讨论、归纳、质疑、发问，使教学过程成为兴趣培养的过程，成为认知加深的过程，成为能力发展的过程。

(二)注重知识的深入拓展，开展有效的课堂教学

在高中数学教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，注重知识的拓展和延伸，提高教学的有效性和教学质量。一是课前要明确课程的内容和教学目标，充分利用教材，合理确定教学目标。通过深钻教材，把课本吃透，掌握课堂教学在整个教学中的地位和作用，充分认识学生、分析学生的情况，准确地构建具有可行的、有层次的、可以评价的教学目标。二是课堂教学强调衔接性。高中数学知识是环环紧扣、节节相联的，新知识是旧知识的内在联系，促进学生运用已有的知识去同化新知识。三是讲课注重语言技巧性。高中数学知识具有一定的抽象性，运用生动、形象的语言把抽象的数学知识转化为具体的易于理解和接受的知识，这是提高教学效率的一个重要的方面。

三、重视数学的教学方法，培养学生的数学思维能力

高中学生的数学思维形成是建立在对基本概念、定理、公式理解的基础上的，发展学生思维最有效的方法就是通过解决问题来实现。通过以往的教学经验来看，很多学生在解决数学问题时，首先想到的是套用哪个公式，模仿哪道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决。这就是学生思维固定的表现，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。因此，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。要通过运用多种技巧，激发学生学习兴趣，充分调动学生的积极性，从而促进学生多样性、有差异性的发展，激发学生的创新思维。

教学实践证明，数学学科具有较强的抽象性、严谨的逻辑性、结论的确定性和应用的广泛性，也决定了数学学习的难度，要求数学教师要不断地更新教学观念，改进教学方法，以学生为主体，充分调动学生的主体积极性，才能不断地提高学生数学的整体素质。

[参考文献]

[1]霍益萍，研究性学习实践与探索[M]，广西教育出版社，2001

[2]陈爱华，数学课堂教学中研究性学习的渗透[J]。上海中学数学，2003，(4)