数学与基础数学例1

对绝大部分运动员来说，学习数学这门课程对他们而言是很痛苦的。所以在数学课堂上，除了少数几个能够一直跟着老师的思路学习的，其他的人不是睡觉，就是在做自己的事情。毫无疑问，这些运动员的数学成绩在考试的时候基本上都是在挂红灯笼。作者在上海体育职业学院上数学课也将近两年了，各个年龄层次，各个基础层次的学生也接触了不少，以上的情况基本上都出现在每个年级，每个班。课后，与他们交流为什么不想学数学，他们的回答也都很实在：“学数学做什么，只要钱不会数错，不就行了!”“你给我们的那些什么推导啊、公式什么的，有什么用啊，以后又不会用到。”在听了这些话后，作为一名教育者，真是心酸又好笑，都是十六七岁快成年的人了，对于数学，对于科学的看法怎么还跟小朋友差不多呢，思考问题还是停留在表面，缺乏深度，这不免让人对他们在以后的学习和工作产生担忧。

一、运动员对数学产生厌学情绪的原因

数学本身就是一门系统性很强，连贯性很强的学科，首先对学生的出勤率就有要求。而我们的运动员，尤其是我们体育职业学院附中的优秀运动员对于这点本身就很难做到，每年在十月到十二月份，三月至六月份，外出集训或者各类大小的比赛致使他们无法正常地坐在教室里面听课，以至于回来之后，老师当堂讲的内容他们消化不了，再加上训练过后的疲劳，自然而然教室里面趴倒一大片，这是其一。

其二，就如上文提到的，很多学生对于数学的认识就有误解，认为学习数学是可有可无的，以后也用不到。其实，这个原因也与他们从小到大文化学习的不完整、不连贯有关。如果是普通全日制的学生，他们应该有了解，学习数学不仅仅是教我们学会算数，这只是学数学的表面层次，更重要的是，学习数学知识是培养我们理性思维的载体。在我们国家，运动员都有一个很普遍的性格特征，在对待问题方面，他们不是缺乏解决问题的胆量，而是缺乏思考，做事情比较冲动，考虑问题不是很周全，我认为这与他们数学学科学习的薄弱性是有很大关系的。

二、学习基础数学的重要性与必要性

其实，我们的小学数学，初中数学，高中数学都是有很强的系统性的，只不过，这个知识系统的复杂程度不一样。前面，我们也说到，学习数学，不只是单纯的学习数学知识（概念、定理、公式等等），更重要的是以数学知识为载体培养理性思维。这种素质的培养对运动员而言，无疑是非常必要的。例如，在解数学证明题时，我们由已知能得到什么，条件预示可知并启发解题手段，导出结论需要什么，它预告需知并诱导解题方向。如果由已知条件能直接得到结论，则解题成功；如果由条件不能直接得到结论，就要转化，转化必须等价，因此前一步到后一步往往会有附加条件约束，它是正确解题的前提，也是检验的依据，可以是数形结合，可以是变形（恒等变形或非恒等变形），可以构造模型，也可以用辩证思想作指导，等等。各种思想方法在此大有用武之地。

三、如何做到有效地学习数学

由于客观原因的存在（学习时间有限，无可避免地缺课），在目前我们无法改变客观存在的时候，我们只能在现有的基础上实现最有效的教学。

第一，教材的处理。

目前，就数学教材而言，我们所用的还是全日制普通中学的教材，如果按照教材上既定的课时进行教学的话，一是难度较大，二是课时任务紧张。这就要求我们老师在备课的时候，结合运动员的学习特点，将难度降低（降低到最简单），对课时进行压缩（压缩到一学期课时任务的三分之二）。这样，不仅减轻了学生学习的任务，而且使课堂的有效性学习得到提高。

而对于长时间不能上课的运动员，在他们也要考试的时候，我们也可以将这些内容以“常识”的形式介绍给他们。之前，我在给一个海事大学大三的运动员补数学的时候，发现他连对数是什么形式的都不知道，这种情况在当今这个时代应该算是荒唐的，对此，让他再重新学习数学没有必要也没有时间，那么，就给他辩证地介绍对数的起源，既学到了知识，又减轻了负担，而且还具体地了解了辩证思维的一个实例。

第二，课堂教学。

目前全日制学校普遍倡导的是以学生为主体的教学组织形式，然而，我认为这方式还是不能完全适用于我们的运动员。

根据我们上海体职院附中运动员的学习特点与他们目前的知识结构来看，让学生去主动地探究学习，不符合实际，而且会降低课堂学习效率，何况，他们的学习时间已经非常少了，最终的结果只是浪费时间。但是，我们可以结合教师为主导以及学生为主体的这两种教学组织形式运用到我们的运动员学习的课堂上来。

其实，思维与语言也类似。在语言的学习初期，我们只是纯粹地模仿，在熟练之后，我们才会自然而然地运用语言去演讲，去写文章，古今中外的文人骚客们创造出了多少流芳百世的奇闻佳话啊。同样的，在思维的初期，我们也可以先进行模仿，也就是说把思维模板化，让运动员去熟练各种各样的思维模式。再结合前面的教学组织形式，我把这种教学方式成为“思维模板教学法”。

在课堂一开始的时候，这个时间段学生的思维比较活跃，老师可以对本节课的问题给出一个思维模板，并对这个思维模板进行较详细地解释（教师为主导）；在课堂中间的这个时间段，学生对于这个思维模板已经有了一定的了解，这个时候，可以适当地把课堂交给学生，教师可以给出一到两个类似的问题，让学生模仿这个思维模板进行解决问题，并给出一些奖惩制度，激发学生的学习兴趣（学生为主体）；课堂尾声，教师再重回主导地位，根据学生对这个思维模板的掌握情况的反馈，及时给出有效性的解决方案，完善课堂教学情况。这是我在教学两年来，相对狭义地认为是对运动员的数学学习比较有效的一种方法。

第三，课后交流。

在客观上，运动员的主要任务还是在于训练。考虑到这个特殊性，为了更好地教学，我们不仅要与学生及时沟通，也要和他们的教练，领队做好沟通。前者，完全看老师；后者，虽然教务处的工作人员已经在这方面做出了很大的努力了，当然，对学生的学习情况最了解的还是老师。所以，不管是学生还是教练、领队，都需要我们老师及时地去沟通。然而，我认为这种沟通还不够深入，尤其是教练、领队这块。目前，我们的沟通都只是停留于电话和联系单，这些都存在很大的滞后性，导致解决问题不彻底。在这里，我有一个建议，文化教师与教练或领队进行交流互动。文化老师在没课的情况下可以去训练场了解运动员的训练情况，据我观察了解，绝大多数在学习上比较刻苦用功的运动员他们的运动成绩也都比较优秀，这其实也证实了方法是相通的，思维也是相通的道理；而教练或领队在运动员上课的时间可以与运动员一起听课，这对运动员的学习自然而然地就会起到一个督促作用。

数学与基础数学例2

有人认为，基础知识、基本技能（即“双基”）以及数学的运算能力、思维能力和空间想象力（即“三大能力”）强调过分了，应当淡化。显然，这种观点与当今社会对人的数学素养的高要求是背道而驰的，应当引起数学教育工作者的高度警觉。

事实上，数学教育改革走过了这样一条道路：从重视基础知识基本技能，到知识、技能与能力并重，再到基础知识、基本技能、基本能力和基本态度并重，形成数学教育“以学生的发展为本”的共识，强调最重要的数学基础知识技能的内化、智力因素与非智力因素和谐发展、学生身心的全面发展。在我国数学教育的理论与实践中，“双基”一直受到重视，而“三大能力”则是根据数学教育的实践经验及华罗庚、关肇直等专家的意见，强调对基本概念、基本原理的深刻理解，强调经过适当训练使“双基”及“三大能力”得到落实，对学生的终身发展极其重要。数学教学最主要的是要把学生的基础打好，使学生通过自己的思维和有意义学习而学会严肃、本质的数学。越是科技突飞猛进、瞬息万变，越要重视基础，做到以不变应万变。坚实宽厚的基础知识是良好适应能力的根基，是在环境变化中迅速更新知识技能的保障。因为基础中体现的思想具有根本的重要性，从中学会的方法和思想迁移能力极强。当然，基础中还应包括积极学习的愿望和自主获取知识的能力。李大潜院士指出，数学素养不可能凭空出现，它是在数学知识的传授过程中逐步熏陶而来的。任何认为抓素质教育就可以离开或削弱数学知识传授的想法或做法都是错误的。在这方面历来容易发生两种偏向，一是从实用主义出发，在课程的设置及内容选取上，忘记了数学是一个有机整体，只想教给学生“有用”的东西，把数学知识体系搞得支离破碎，结果让学生学得似是而非，知其然不知其所以然，根本得不到严格的训练，这种现象在“”中曾达到登峰造极的地步，现在也不能说已经解决。以减轻学生负担为名，把“删繁（琐）就简（单）”篡改为“删（困）难就简（单）”，不负责任地把一些重要但比较难学的内容或课程，或只讲结论不加证明，或轻描淡写一笔带过，或干脆一刀砍去。数学教育改革要适应科技高速发展需要，体现现代化精神，但更要体现数学的特点和人的认识规律。

当今数学知识量大且增长迅速。量大就需选择，要选择那些最基本的、最重要的数学知识，并把它们内化为学生的心理能力，以形成学生的数学功底，这就是素质。人类社会经过几千年的探索，形成了相对稳定的数学基础知识结构体系，它对学生的发展是非常重要的。数学教育改革中坚持“四个基础”，是由学生的发展规律和数学学科性质决定的，是人类社会发展的历史选择，不是某些人的意志可以转移的。数学课程应根据时展和数学发展的要求不断改革，但课程改革必须与打好基础相结合，基础教育阶段更要强调打下坚实的基础，要防止一提改革就任意削弱基础的倾向。

二、学生的经验、身心发展水平与数学教学

当前的中小学数学课程改革中，有一种片面强调学生的“直接经验”“生活体验”的倾向，这也应当引起我们的警觉。其实，以“经验”为中心来建构课程体系的观点古已有之。教育要适应学生的现有发展水平但又要超越学生的现有发展水平，应积极地促进学生的发展。从人的智能发展规律看，小学低年级学生所掌握的概念大部分是具体的，可以直接感知的，要求他们说出概念的最主要的、本质的东西比较困难，但他们的思维中也有着抽象概括的成分;小学高年级学生逐渐学会运用抽象概念进行思维，学会分出概念中的本质与非本质特征、主要的和次要的属性，学会掌握初步的科学定义，学会独立进行逻辑论证，思维水平逐步从以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主。

三、“四个基础”与创新精神和实践能力

数学与基础数学例3

一、从“双基”到“四个基础”的改革之路

有人认为，我国数学教学中基础知识、基本技能（即“双基”）以及数学的运算能力、思维能力和空间想象力（即“三大能力”）强调过分了，应当淡化。显然，这种观点与当今社会对人的数学素养的高要求是背道而驰的，应当引起数学教育工作者的高度警觉。

新中国数学教学改革走过了这样一条道路：从重视知识、技能，到知识、技能与能力并重，再到知识、技能、能力和态度并重，形成数学教育“以学生发展为本”的共识，强调最重要的是数学基础知识与技能的内化，智力因素与非智力因素的和谐发展。在我国数学教育的理论与实践中，“双基”一直受到重视。“三大能力”是根据实践经验及华罗庚、关肇直等专家的意见，在1963年的中学数学教学大纲中明确提出的。改革开放以来，根据时展对数学教育的新要求，1992年颁布的数学教学大纲除继续强调“双基”和“三大能力”外，还强调运用所学知识解决简单实际问题、培养学生个性品质和初步的辩证唯物主义观点等，对基础知识、基本技能、“三大能力”、个性品质及辩证唯物主义教育的内涵作了明确、具体的界定，初步形成了基础知识、基本技能、基本能力和基本态度“四个基础”并重的数学教学目的观。在最近修订的大纲中又增加了创新精神和实践能力方面的内容。

从“双基”到“四基”，期间经历过“大跃进”和“文化大革命”中两次重大挫折，特别是“文革”中，数学教材的系统性、逻辑性、严谨性被实用主义所代替，“双基”被严重削弱，导致学生数学水平严重下降。改革开放后，在总结我国数学教学中正反两方面经验教训、借鉴国际先进数学教育理论的基础上，经过数学教育工作者20多年的艰苦探索，形成了以强调数学教育的社会功能和育人功能并重，基础性、发展性和创造性相结合，个性与共性相结合，认知与情感相结合，数学知识的学习与应用、创新相结合等为特色的数学教育目标体系。

强调对基本概念和原理的深刻理解，强调对“双基”的掌握和“三大能力”的训练，对学生的终身发展极其重要。数学教学最主要的是要把学生的基础打好，使学生通过有意义学习而掌握严肃、本质的数学。在打基础过程中学会的方法和思想迁移能力最强，坚实宽厚的基础知识是良好适应能力的根基，是迅速更新知识技能的保障。当然，基础中还应包括积极学习的愿望和独立获取知识的能力。数学素养不可能凭空出现，它是在数学知识学习过程中逐步形成的，数学素质教育离不开数学知识的传授。在课程设置及内容选取上，一要防止实用主义，不顾数学的整体性，只以“有用”为取舍标准，把数学知识体系搞得支离破碎，结果使学生学得似是而非，知其然不知其所以然；二要防止以减轻学生负担为名，把“删繁(琐)就简（单）”篡改为“删（困）难就简（单）”，不负责任地把一些重要但比较难学的内容或只讲结论不加证明，或轻描淡写一带而过，或干脆一刀砍去。

人类社会经过几千年的探索，形成了相对稳定的数学基础知识结构体系，它对学生的发展是非常重要的。数学教育改革中坚持“四个基础”，是由学生身心发展规律和数学学科性质决定的，是社会发展的历史选择。数学课程应适应时代和数学发展的要求不断改革，但必须与打好基础相结合，要防止一提改革就任意削弱基础的倾向。

笔者认为，坚持我国数学教育的特色，发挥数学教育在“双基”和“三大能力”等方面的优势，其意义重大。否则，会动摇我国数学教育的根基和广大数学教师的基本信念，导致数学教学质量的大滑坡，使义务教育阶段的数学教育目标难以实现，致使我们的学生缺乏应有的数学基础，失去基本的逻辑判断能力，缺乏高水平创新所需要的坚实基础。

二学生的经验、身心发展水平与数学教学

当前中小学数学课程改革中，有一种片面强调学生“直接经验”、“生活体验”的倾向。其实，以“经验”为中心来建构课程体系的观点早已有之。17~18世纪西方课程改革中就有注重凭借感性经验积累知识的“感性现实主义”课程观；杜威的“经验主义”课程观更是将这种思想推向了极端。他认为，儿童和课程仅仅是构成一个单一过程的两极，儿童是起点，课程是终点。只要把教材引入儿童生活，让儿童直接去体验，就能把两点连接起来，使儿童从起点走向终点。学校科目相互联系的中心点，不是科学，不是文学，不是历史，不是地理，而是儿童本身的社会活动。活动中所获得的“经验”既是日后新经验的基础，又是解决未来问题的方法。杜威主张课程体系的建构以“经验”为中心，强调通过儿童自己的活动获取“经验”。这种在活动中获得“经验”的教育，不是以学科知识体系为依据，而是以符合儿童心理发展规律为原则的。不能否认，这种课程理论有其积极意义，其立论中有非常合理的内涵。但是，儿童的成长并不完全建立在“经验”的基础上。人的发展主要依赖于间接经验，掌握数学知识主要依靠理性思维。因为数学的研究对象是抽象的，它决定了数学与现实之间存在着内在的距离。原则上讲，数学本质难以通过生活体验而获得理解，因此，直接经验不能成为数学学习的主要基础。另外，数学知识的掌握需要教师的精心指导，当然，教师要讲宄教学方法，发挥学生的主体性，使他们学会学习。既有最基本最重要的数学知识做基础，又有科学的获取知识的方法做保障，学生才能有生动活泼、创造性地继续发展的源泉和动力。

教育要适应学生的现有发展水平，但又要超越学生的现有发展水平，积极地促进其发展。从人的智能发展规律看，小学低年级学生所掌握的概念大部分是具体的，可以直接感知的，要求他们说出概念主要的、本质的东西比较困难，但他们的思维中也有着抽象概括的成分;小学高年级学生逐渐学会运用抽象概念进行思维、辨别概念中的本质与非本质特征、掌握初步的科学定义、独立进行逻辑论证，思维水平逐步从以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主；中学生的思维能力获得迅速发展，抽象逻辑思维处于优势地位，从初中二年级开始，学生的抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中二年级初步完成。根据学生智能发展的上述特点，在小学低年级，由于儿童认知结构中抽象知识储备少，其思维与具体事物或其生动表象联系着，数学教学强调直接经验有重要意义，但也应有适当的概括活动。随着学生年龄的增长、知识水平的提高和抽象思维的发展，他们可以离开直接经验而有效地接受抽象的数学知识，这时应及时提高数学教学的抽象水平，发挥间接经验的作用，以发展学生的抽象逻辑思维。

课程的主要目标是使学生在掌握系统的基础知识和技能的基础上培养数学能力，发展数学态度，其教与学在任务性质、组织形式、学习方式等方面与经验课程（以学生的直接经验为基础的、没有固定教材和教学组织形式的、以学生亲身实践--所谓的“做中学”为主要形式的综合性课程'有着很大的不同，如果将数学课程混同于经验课程，只能削弱它在学生发展中的地位和作用。

三“四个基础”与创新精神和实践能力

“四个基础”与创新精神和实践能力是相辅相成的。数学中谈创新不能离开“四个基础”，无知者一定无能。重要的是要在数学教学中开启学生的心智，在教师的启发引导下，让学生通过自己的独立思维加深对数学知识的理解，并通过实践训练特别是思维训练而转化为能力，在学习的过程中养成基本态度，发展创新精神。

白春礼院士说，“人的知识基础、视野、推理能力、思维方法决定着他的创造力，这是科教兴国中教育所起的不容忽视、不可替代的作用”#4%。对科学和技术的基础知识、基本观点以及科学价值观所具有的基本了解，是科学素养的基本内涵。在培养人的过程中，我们决不能追求短期效应，而要着眼于人的可持续发展，注重人的最终发展水平。对基础教育的认识应有长远的、战略的眼光，应“面向未来”。数学教学中，应以基础知识、基本技能为载体，在使学生牢固掌握基础知识、基本技能，形成基本能力和基本态度的过程中，鼓励学生提出疑问，向书本和权威挑战，提倡学习中的争论、质疑、讨论，养成凡事问个“为什么”的习惯，敢于提问并勇于发表见解，从而培养创新精神。在这个过程中，要使学生的数学学习动机、兴趣、情感、意志等得到激发、培养和发展，还要加强对其进行为社会和科学进步而献身的教育，努力追求真理，不追名逐利。基础教育是为人的终身发展打基础的，因此应当特别重视“基础”二字，不能急功近利。数学研究同时也是一种精神追求，数学学习同时也是一种精神满足，因此要重视数学学习对人的心理发展的意义。

那么，数学教学中如何才能使“四个基础”和创新精神、实践能力等的培养得到真正落实呢?这里不妨先来考察一下“四个基础”的结构特性。

总的来说，它们是个体数学学力的4个有机组成部分，具有内在联系性，产生相互作用，但又有区别。数学知识(数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由内容反映出来的数学思想和方法%是客观事物的数形特征及其联系在人脑中的反映，是由数学认知活动而建立起来的认知经验。这种经验反作用于数学活动，可以起到以下作用：确定数学活动的目标和方向，辨认数学活动的性质$如当前的数学活动是计算还是证明，推理活动是由一般到特殊还是由特殊到一般等，选择数学活动程序等。这是因为，活动目标的确定依赖于对当前数学情景的辨认和分析，依赖于对各种变化的可能性的预测和判断，它们是以相关的数学知识为依据的;数学活动的性质辨认和程序确定则依赖于对数学情景中材料属性的认识以及对材料相互作用方式的把握，这同样需要以相关知识为依据。数学技能是一种数学活动方式，是主体对数学材料作用后产生的主体（心智）动作经验，它对数学活动起直接的调节与指导作用，是数学活动正确而顺利进行的保证。数学技能在学生数学活动中的自我调节功能，主要体现在活动的控制执行环节。而由知识的作用确定的数学活动程序，是在活动的控制执行环节中得以实现的。要使活动朝着预定方向前进，按照预定程序执行，达到预定目标，必须有对活动的调节控制，即在学生头脑中建立起前后动作相继发生的动作经验链索。而数学技能就其存在形式来说就是一种链索型的动作经验。另外，对数学材料的处理方式和变换方式的有效性需要有相当的动作经验作保证，这也是数学技能对数学活动的调节控制作用的体现。数学能力是一种个性心理特征，它对数学活动的进程和方式起着直接的、稳定的调控作用。数学能力是在掌握和运用数学知识、技能的过程中形成的，因此，它原则上属于数学活动经验范畴。当然，必须是那些系统化、概括化了的个体经验，是一种网络型的经验结构。(数学的基本态度，做为数学学习的心理和神经中枢的准备状态，是长期数学活动经验的结晶，对个体的数学活动产生直接的或动力的影响，其中包括兴趣、动机、性格等。兴趣在深度、广度及稳定性上都随数学学习的深入而不断发展，这种发展一般要经历从对数学的新事实或有趣现象的直接兴趣，对数学概念或原理的本质属性的兴趣，到对数学理论（各种数学事物的因果关系、数学的基本规律等）的兴趣等几种水平。动机，特别是与数学学习直接相关的成就动机，是追求数学能力和期望学习取得成功的一种需要，是以取得数学成就为目标的数学学习内驱力。数学学习动机与数学能力发展密切相关，较高的数学能力可使学生以科学的方法高质量高效率地完成学习任务，从而促进积极的、高水平的数学学习动机的形成。反过来，积极的数学学习动机也促进数学能力的高水平发展。性格做为个性的核心，是人对客观现实的稳定的态度以及与之相适应的习惯化行为方式。良好的性格特征表现为正直诚实、实事求是、尊重理性、追求真理、坚定自信、刻苦勤奋、责任心强、勇于创新、百折不挠、持之以恒、严谨细致、独立思考等，性格的养成与学生数学水平的发展密切相关。

数学基础知识、基本技能的掌握和累积是形成数学基本能力、基本态度的前提，能力和态度又反作用于知识和技能的掌握，制约着知识掌握和技能形成的速度、深度、难易程度和巩固程度。因此，数学知识的习得、数学技能的形成和数学基本能力、基本态度的培养同时存在于数学学习中，彼此相互联系、相互制约，统1于同一数学活动中，具有同一性、同步性，从根本上说必须协调发展。“四个基础”是数学学力的基本构成要素。我们可以借用钟启泉先生提出的学生学力的“冰山模型”来对“四个基础”之间的关系进行解释。冰山有浮在海面上的“冰山一角”和隐藏在海面以下的“冰山基座”，浮在水面上的可见部分就是数学的基础知识、基本技能；隐藏于水面下的不可见部分则是基本能力和基本态度，它是支撑浮出水面部分的基础。正如冰山由显出和隐于水面两部分组成一样，数学学力也可分为显性学力和隐性学力两部分。显性学力是由隐性学力支撑的，隐性学力是显性学力的发展动力；显性学力的获得和加强，又使隐性学力更加巩固并不断升华。在数学学习中，学生通过掌握基础知识和基本技能而形成显性学力，同时，在教师的引导下，通过对数学知识中蕴含的观念、思想和方法的领悟，进而获得数学学习和研究的方法、探究能力及数学观念态度等做为数学学习潜力的隐性学力。应当特别指出，隐性学力的形成，有一个从模仿到认同再到内化的过程，这个过程是长期的、内隐的、潜移默化的。隐性学力的获得，教师有意识的指导是关键。过去的数学教学对学力的显性部分关注较多，对隐性部分重视不够。“四个基础”协调发展的数学学力观则追求显性学力与隐性学力的和谐统一，是一种发展性学力观。

数学与基础数学例4

俗话说：“读书有三到：眼到、口到、心到。”教材是教师传道授业的依据，是学生获得基础知识和培养能力的主要源泉。现在许多中学生毕业以后，倘若考不上高中和大学的，也有部分靠自学成材；即使升学，也要具备相当的学习基础和能力，包括自学能力，这样才能全面更好地完成学业。同时在中学阶段要发展知识培养学生能力也必须从培养学生阅读能力入手，养成独立思考自学探究的习惯。这样既可以为教师讲解打下基础，又可以弥补教师讲课不足。教师在教授知识时，不仅要把知识的精髓教给学生，而且还要教会学生看书，指导学生阅读方法，养成学生良好的读书习惯。

培养中学生的数学阅读能力应该从小开始，培养他们的好习惯。中学生读数材时经常存在着以下几个问题：一是不看书，教学教材仅作为抄做习题、练习之用。二是看教材，走马观花，一晃而过，像看小说、连环画，不深思，不求问。三是语文阅读基本功低，语法结构搞不清楚，读不通。四是不懂数学语言、数学词汇，逻辑推理混乱，障碍多，无法理解。五是兴趣记忆短，注意力容易转移，易受外界干扰，持久性差。我在日常教学中针对以上情况采取了如下方法：

第一，初一年级学生在熟悉和接触数学基础知识时，应把他们的认知重点放在培养好的读书习惯上来。如在课堂上由教师带领阅读，根据教学大纲要求根据轻重分析章节内容，扫清文字障碍，难以理解的数学专用术语或句子，可作应有的解释。

第二，学生在初步养成好的阅读习惯后，教师可以把读教材分成两个阶段：讲前预习，讲后阅读。讲前预习对学生不用要求太高，要求学生通过阅读对教师所要讲的内容大体了解，将难懂的地方做上重点标识，以便教师讲授细节时，促使学生集中精力听讲。讲后阅读重点放在培养学生的独立思考上，教师根据课堂讲授与书本内容两相对照，使学生弄通、搞懂各种数学概念，识记的定义、定理、公式、性质，督促检查学生下功夫记。

第三，根据教材的不同内容和各年级的特点，教师要帮助学生辨析数学术语、名词和数学符号。如：“都不”和“不都”，“或”、“且”和“当”，“仅当”，“当且仅当”、“有”，“仅有”，“有且仅有”、“至少”，“至多”等。对难懂的长句子要帮助学生找出句子的主要成份和附加成份，必要时还可引导学生把数学语言翻译成数学式子，或把数学式子用数学语言叙述让学生全面理解。

第四，指导学生通过阅读写提要，在教材上划着重点（找重点），写批注，添补内容（如补图形、补步骤、扩张概念等）。

第五，引导学生阅读时注意数学结构，分清定义、公理、性质、法则、定理，推论的内涵和外延，弄清逻辑关系。

第六，强调学生阅读时注意教材中数学语言的严谨、简练，注意例题的格式，要求学生以课本上的规范纠正自己作业中的错误。

第七，考试时适当考一些课本中的数学概念或常识，以提高学生看书的兴趣，达到督促的目的。

二 在联想中举一反三，扩大知识界面。

培养能力，必须注重培养学生的思维能力，如逻辑思维能力、空间想象力、抽象思维能力等等。简单地说，就是要培养学生的想象力。爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界一切，推动着进步，而且是知识进化源泉”。要培养学生丰富的想象力，首先从培养学生联想能力入手，因为它比较具体、直接。培养学生联想能力，可分以下几种类型：

第一，类比联想。所谓类比是指同类的比较和类似的比较。要比较，就要联想。

通过类比提高想象力，加以分析归纳，再进行抽象思维，寻求规律性的东西。数学中类比是比较丰富的，如代数中的二次函数为最基本，二次函数的零点（y=0）、正数值“y>0”、负数值（y

第二，形数联想。数学中形数之间关系是彼此相依的，要启发学生用“数”来巩固与研究“形”，利用“形”巩固研究“数”。讲函数时，一定要强调学生记性质、想图形，画图形、想性质；对于不等式、方程一类的问题也要强调学生形数联想，利用图解。

数学与基础数学例5

下文通过论述计算机技术对基础数学研究的各种作用，更好地为相关部门提供有价值的参考。如果能够很好地将计算机技术和我国基础数学教学联系在一起，那么我国各大学校对于基础数学的教育方式就会更加完善，从而能够从根本上提升我国的教育水准。

1 简述计算机技术对于基础数学的应用优势

1.1 利用计算机快速运算能力解决基础数学问题的效果以及作用

随着时代的进步，越来越多的工作要求速度，为了保证不耽误工作、不耽误人们的时间，在应用数学解决实际问题的时候也是需要一定的速度。但是如果一味地使用基础数学的方式和手段对需要进行计算的环节加以总结，那么耗费的人力将是非常大的，同时时间耗费也是比较长的。为了确保工作效率，一定要采用合适的方式解决实际问题。如果能够将计算机技术和数学问题结合起来，也就是说，利用计算机的快速运算能力来解决实际的数学问题，那么整个工作将会变得特别简单。比如说，飞机导航的相关问题，如果仅仅通过人工进行计算的话，不仅效率没办法提升，就连质量都没有办法保证，应用计算机技术对一些要求比较高的工作进行计算和总结是非常必要的。

1.2 利用计算机软件自动工作的能力解决数学问题的效果以及作用

计算机之所以被广泛应用，主要的优势就在于其中包含许多种软件，可以将程序输入进去之后，就能够通过计算机技术进行自动分析和处理。因此，由于许多的数学问题在进行处理的时候，程序都是固定的，所以说，可以将固定的程序输入进一定的软件之后，之后遇到一样的数学问题就能够利用计算机软件自动工作的能力进行解决，这样一来就能够节省很大一笔开销，既能够降低人工工作的烦琐，又能够有效提升解决问题的效率。总之，利用计算机软件自动工作的能力可以很好地应对一些解决程序固定的问题。通常情况下，在进行问题处理的时候，使用的软件主要有SPSS、SAS等，通过这些软件自带的功能，将一些常见的数学问题模式化，以方便后期的问题处理。

1.3 利用计算机记忆能力解决数学问题的效果以及作用

为了更好地保证我国相关部门在解决数学问题的时候能够确保数据的安全和准确，就应该利用计算机的记忆能力对数学问题进行一定的处理。如果是人工进行数据的移动或者记忆，难免会出现差错，但是一旦出现错误，整个问题的解决就更加复杂。而计算机的记忆能力正好是方便解决数据庞大的问题的。所以说，在实际的工作中，遇到数据量大、需要数据转移的或者需要保证数据安全储存的都可以使用计算机的记忆能力。使用计算机的记忆能力不光可以对庞大数据进行处理，还有利于后期的查阅和备份。

1.4 利用计算机计算精度解决数学问题的效果以及作用

解决数学问题最重要的就是要保证数据的精准度，如果能够利用计算机的精度进行细致的计算，那么解决数学问题可以说是轻而易举的。以前数学家计算圆周率可以说是费劲尽多年的精力才计算到第707位，但是通过计算机，只需要几小时就可以将圆周率精确到10万位。现代生活中存在的数学问题是需要保证精度的，如果不利用计算机进行计算，那么就算是人工经过长时间的计算，精度也是无法保证的。因此，计算机的计算精度用在解决数学问题上还是很有效果的，同时作用前景也是非常广阔的。

1.5 利用计算机逻辑判断能力解决数学问题的效果以及作用

人和计算机相比，优势就在于比较灵活，对于一些非结构性的问题，人们能够根据实际情况进行灵活的分析，但是计算机对于结构问题的逻辑判断能力却远远高于人类，所以说，在解决一些结构性数学问题的时候，往往须要利用计算机的逻辑判断能力。目前使用计算机对结构问题进行相关分析是比较普遍的，正是由于计算机在利用自身的优势解决结构问题的时候，其所拥有的超强逻辑判断能力远超于人类，不论是处理问题的能力还是反应速度，都是人类无法和机器相比的，因此，在这一方面，计算机是非常占优势的。如果是一些比较复杂的结构性逻辑判断问题，单凭人类的大脑是无法解决的，所以，在这种情况下使用计算机技术，当然是再合适不过的了。

1.6 利用计算机其他能力解Q其他数学相关问题的效果以及作用

计算机的发展速度和效率都是整个时代在驱动着，所以，在解决实际的数学问题的时候，除了上述提到的功能以外，还是有其他的比较重要的功能在起作用，因此，为了更好地保证实际的数学问题可以得到良好的解决，就应该将计算机技术和基础数学进行紧密结合，这样，在不断提升计算机技术的同时，还能够很好地促进我国数学问题的有效解决。如果建立起计算机技术和基础数学结合模式，那么后期在进行数学问题解决的时候，可以很好地进行远程交流和沟通，还能够在网络上进行学术查阅。

2详述将计算机技术与基础数学结合的模式

2.1 计算机技术与代数和三角学的结合

目前，随着计算机的发展，可以将计算机和数学中的图形处理进行有效地结合，这样一来，就能够保证代数和三角学的问题通过计算机技术进行良好的解决。由于代数和三角学是基础数学中比较基础的知识，所以说，为了保证基础数学能够很好地进行教学和研究，利用计算机技术可以说是非常必要的。由于计算机技术针对固定化程序是非常精准的，所以，可以将代数中需要得出结果的公式输入相关的软件中，让计算机利用自身的机械性计算从而得出相应的结果，计算三角学问题也是同样如此。因此，将计算机技术和代数、三角学相结合可以说是解决两者问题最直接的方式。

2.2 计算机技术与线性代数的结合

在进行线性代数教学的时候，主要是将抽象的知识转化为具体的坐标数值，也就是说转化成矢量问题再进行解决可以说是非常直观的。如果利用计算机技术将线性代数转化成矢量或者是矩阵再进行计算和处理，这样就会更加快速地得出需要的结果。总而言之，将计算机和线性代数相结合，不光可以有效得出结果，还能够很方便地进行矢量的旋转、平移等，通过一系列的变化，能够更加方便地解决线性代数问题。

2.3 计算机技术与微积分学的结合

将计算机技术和微积分学相互结合是一种平面的知识扩充成为立体空间的方式，一般来说，在平面中展现立体空间是比较困难的，而通过计算机技术的转换功能，就可以非常直观地展现出微积分学所包含的问题。

2.4 计算机技术与微分几何学的结合

利用计算机技术可以将微分几何学中涉及到的曲线、曲面等统统展现在立体空间里，能够很方便工作人员进行观察，并得出方程组的结果。

2.5 计算机技术与矩阵方程组的结合

计算机技术还能够很好地解决矩阵方程组的问题。矩阵方程组进行求解的时候，利用计算机技术可以找出最好的方向和位置。

3 简介目前结合常用工具

3.1 通用数学软件

常用的工具中通用数学软件主要是Mathematica、Matlab等，上述这些软件主要的功能都是大致相同的，利用这些软件进行数学问题解决的r候，主要是通过绘制图形再进行计算，这些软件可以很好地解决线性代数、微分方程、解析几何等常见问题。虽然各种软件的功能差不多，但是多少还是存在差异的，如果想要提升通用数学软件的整体功能，就应该将不同的软件结合起来使用，这样就可以很好地避免软件弊端造成的缺陷。

3.2 计算最优化问题专用数学软件

计算最优化问题专用的数学软件主要是Lingo/ Lindo，Lindo软件主要是针对线性规划、二次规划、整数规划等问题的，而Lingo软件主要是被用来处理非线性规划、非线性方程组的求解等数学问题。

3.3 统计分析软件

常见的统计分析软件有SPSS、SAS、state等，要根据实际情况选用合适软件。

4 结束语

通过全文的论述，我们可以清楚地看出现代化技术对于基础数学的教育有着很大的促进作用。随着我国高科技的发展，应用计算机技术是非常普遍的事情，但是将计算机技术和基础数学结合起来的模式却是非常新颖的。通过上文的论述我们更加清楚地了解到目前使用在基础数学中的计算机技术都有哪些种类，同时，我们还明白应用计算机技术的优势。所以说，为了提升基础数学的应用质量，将计算机技术与之结合是非常必要的，而且这也是时代的要求。将高科技技术和我们日常生活中可能用到的知识结合起来，才是这个时代的必然发展趋势。因此，相关部门应该重视这种结合模式的应用情况，保证基础数学的应用同时，利用计算机技术将其水平大大提升，这样一来，我国的发展水平才会不断的提升。

参考文献：

[1]梁永生.计算机技术在数学建模中的应用[J].电子制作，2014，（04）.

数学与基础数学例6

《数控编程与操作》和《数控加工基础》课程是专业理论与实践相结合的课程，结合就显得尤为重要，如何结合也是本人教学的工作重点。

在理论知识方面，应充分了解学生的现状，以培养学生的学习兴趣为重点，先有学习兴趣，后续的教学也会进展的更为顺利。从数控技术的发展和应用为切入点，着重介绍数控技术应用在现代制造业中的重要性。另外进入中等职业院校的学生存在着基础知识薄弱、整体学习素质较低的情况，在备课过程中，教师不光对课程知识进行全面的备课，还应对课程知识涉及的其它知识进行充分的准备，以便让学生能充分了解和掌握。

《数控编程与操作》和《数控加工基础》课程理论知识性强，学习知识专业性向，较为枯燥，教师应在课程教学上创新，不光使用板书的方式进行教学，还应在其它硬件和软件上进行准备。在授课过程中，可以通过播放录制的实际加工视频来对授课的理论知识进行诠释，也可以通过加工的实物展示，来具体讲解理论知识中涉及到的内容，加工的实物就是理论知识学习的结果，结果的展示也是对理论知识教学的诠释。在加工实物的展示过程中，应贯穿理论知识，将理论知识在实物中进行讲解，使学生能更加容易理解，也会使得课堂教学丰富多彩，使学生的学习积极性得到提高。

针对《数控编程与操作》和《数控加工基础》课程中的重点、难点，做好充分的教学准备工作，可采用理论知识加实际操作相结合的方式进行教学，在操作现场进行授课。在实操现场，对本节课程的重点，进行实际操作，以教师先进行演示，在演示过程中，穿插讲解理论知识涉及到的关键点，并与学生进行交流，询问学生是否掌握，未掌握的应进行再次演示。然后指导学生进行实际操作，在学生进行实际操作的过程中，教师应将涉及的理论知识进行再次讲解，教师边讲解，学生边操作，因学生在理论知识的实际运用过程中存在不易直接理解的情况，教师应注意学生操作的正确性，应及时做好再次详细讲解的准备。在指导实操完成后，应召集学生进行总结、讨论，自己进行分析，然后让学生再次进行一次独立操作，独立操作中应提醒学生按照理论知识的要求进行，完成后对再按照理论知识内容进行检查，最后进行总结、讨论。通过这样以学生为主体的教学比以教师为主体的教学能更加发挥学生的主观能动性，充分调动学生的学习、操作积极性，对理论知识的内容和实际的运用掌握的更加深刻。

数学与基础数学例7

学者指出，数学史在我国作为一门独立的学科在近几十年来有了长足的发展，但是数学史的研究颇有孤芳自赏的味道，很少关注社会的需要。然而，数学史学术研究的目的，最终一定要为满足社会需要服务，包括教育需要。如何能够让整个数学界都来重视数学史，特别让师生渗透到广大数学教育领域，是一个非常重要的问题。

简单来说，数学史就是研究数学生成和发展的历史，大体上分为“内史”和“外史”的研究[3]，“内史”考察数学理论成果的历史形态和历史轨迹，包括数学成果产生的年代、最初的形态和后来的演变、创立者的贡献、数学成果的传播等，“外史”则是内史的拓展，以考察数学发展与社会生活各方面的关系为主，包括数学发展与哲学、科学技术、经济、军事、宗教等方面的关系，数学事业的发展，数学教育等。

所谓数学史与数学教学的融合，就是在数学教学中，根据教学目的和教学进程的需要，将数学史有机地融入到教学过程中，促进学生掌握数学概念、方法和思想。概括来说，数学史融入数学教学，具有如下意义。

1.让学生学习有文化的数学。在数学教学中，有机地融入数学史，让学生看到数学在人类文明进程中的产生、发展和影响，就会使学生认识到，数学并非是冷冰冰的数字关系和理性思维，而是人类发展历程的一部分，是人类璀璨文化的重要代表，从而在学习数学的同时，获得文化的熏陶。

2.加深学生对数学概念、方法的认识。数学最为基本的知识就是数学概念和方法，这些知识恰恰因为其抽象性让很多学生对之望而却步。在数学教学中融入数学史，可以让学生更加清楚数学概念如何经由日常生活经验上升为抽象的概念和方法，在经历历史的过程中获得知识的建构，使抽象的数学概念和方法显得新鲜而生动。

3.让学生理解数学哲学和数学思想。数学教育的目的，并不仅仅是为了让学生掌握解题的方法，甚至也不是让他们学会解决问题的能力，更重要的是让他们理解数学哲学和数学思想，掌握数学的思维方式，为他们未来的成长提供有效的营养。数学史深化了人们对数学本质、数学特点与数学科学价值的认识，揭示了数学活动的本质和数学问题在数学发展中的作用，因此有助于学生更加深入地理解数学哲学和数学思想，学会数学创造的思维模式。

4.提升学生兴趣，培养学生学习数学的积极态度。很多研究表明，学生学习数学的动机不高，主要原因在于其抽象性，这种抽象性让数学知识与学生的日常生活经验距离太远。在教学中融入数学史，可以从三个方面有效地提升学生的兴趣：（1）数学史本身就是人类探索的过程，故事容易为学生所接受；（2）通过数学知识生成的历史增强学生的体验性，增加数学知识的亲近感；（3）数学家成长的故事也可以很好地提升学生学习数学的积极态度。

二、PHM的理论基础

虽然数学史融入数学教学的意义如此重大，然而任何意义必须通过实践才能够真正实现，而要使实践达致理想，则必须体会其内在的机理，也就是要理解PHM的理论基础。

1.重演法则

重演法则（recapitulation law）是生物学的一个重要概念，就是假设个体的发展会重演种系的发展，比如生物学家就观察到，人的婴儿在胚胎到出生这个阶段重新演化高级哺乳动物由低级动物进化过来的历史。德国生物学家海克尔就认为：遗传和适应是生命的两种建设性的生理机能，而遗传的过程就是重演的过程。他还第一个把这一生物学的法则移植到心理学领域：“儿童精神的发展不过是系统发生进化的一个简短复制”。

运用到数学教学上，重演法则意味着人类学习数学的过程，在某种程度上就是要重演古人数学思考和探索的过程。法国数学家庞加莱（Henri Poincaré，1854-1921）甚至这样说过：“动物学家认为，动物胚胎的发育还在短暂的期间内，经过其祖先演化过程的一切地质年代而重演其历史，看来思维的发展亦复如此。教育工作者的任务，就是要使儿童思想的发展踏过前人的足迹，迅速地走过某些阶段，科学史应当是这项工作的指南。”

从某种意义上来说，并没有多少实证理论支持数学学习中的重演法则，但事实上，学生的思维总是从形象到抽象，从生活到数学，从感性到理性，这一过程正是复制人类祖先发现数学的过程。例如在几何的学习上就可以生动地体现重演法则。几何学的历史分为三个阶段：无意识的几何学、科学的几何学、论证的几何学。在具体的教学过程中，教师一般也是让学生首先通过简单的工艺劳作，或是通过对自然界中的现象的观察，无意中熟悉大量的几何概念，例如点、线、面、角、三角形、四边形、圆、球、圆柱、圆锥等。随后，引导学生在这些感性知识的基础上建立科学的几何学，这时学生可以通过实验（使用罗盘和标尺，直尺和半圆仪，剪刀和浆糊，简单的模型，等等）发现一系列几何事实。最后，当学生们已经相当成熟时，才能够以论证的或演绎的形式向他们讲授系统的几何学。在这个过程中，我们会发现数学教学越是真实地演化数学知识演进的过程，学生对之理解得越深刻。

2.创生原理

创生原理（genetic principle）和重演法则有着密切的联系，它具体有两个方面的涵义：第一，数学学习要在一定程度上重演数学发展的历史；第二，数学学习的过程，不是外在系统的、逻辑的知识强加给学生的过程，而是一个自然的“创生”过程，只有这样，数学才能够成为学生素质的一部分。

和重演法则不同的是，创生原理并不认为学生学习数学过程是对祖先的重演，但它认同的是人类有着相类似的思维结构，这种结构构成了我们思考数学的物质基础和“自然本质”，在这个方面，我们和古人并没有特别大的区别，既然如此，我们必然会通过重复古人的方式来学习古人历经艰辛所发现的知识。

不过，数学教育学者们强调，这种重复的过程，并不是把知识所谓一个既定的结果让学生去“纳入”，而是通过对发现过程的有限经历来获得知识，从而理解知识的来龙去脉，就好像知识是他们创生出来一样。

在这里，需要关注的是“有限”这两个字，这意味着在学生的学习中，教师不应当让他们重复过去的无数个错误，而仅仅是重复那些关键性的步子。什么是关键性的步子？只有在在了解人类是怎样获得某些事实或概念的过程之后，我们才能更好地判断我们的孩子应当怎样去学习这些知识。

3.建构主义

建构主义发端于皮亚杰的发生认识论，他认为：“认识的获得必须用一个将结构主义（Structurism）和建构主义（Constructivism）紧密地连结起来的理论来说明，也就是说，每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构转化为一个不那么初级的（或较复杂的）结构”。也就是说，在数学学习过程中，学生通过主动的建构建立起自我的关于数学的结构，而这个结构又成为其进一步建构数学的中介，进一步的建构又不断推动结构由简单走向复杂。

如果说皮亚杰更强调知识本身的结构的话，后来的建构主义者则更强调学生在建构过程中的主动积极性，以及建构过程中现实场域和人际互动的作用。这些思想认为所有的知识，都是学生已有的经验和新的知识交互作用的结果，数学学习并非是一个被动的吸收过程，而是一个以主体已有的知识和经验为基础的、在特定的场景中主动的建构过程。

建构主义为HPM的实践提供了必要性和可能性。首先，建构主义表明，学生的数学建构必须基于一定的背景，在信息丰富而又比较规则的背景下，学生建构得最为成功。数学史通过对数学发现的历史的讲述，重新复现了数学发现的典型场景，对于学生数学知识的建构是最为有利的；其次，学生对数学知识的建构，均需建立在原有知识的基础上，需要通过一步一步的阶梯来达到高层次的水平，数学史将数学发现的过程按逻辑地呈现出来，给学生就提供了这样一个阶梯；再次，数学知识的建构，也是学生自我经验和先人智慧“视界融合”的过程，古人通过数学史，更充分地“表达”了自己的观念，因此能够让学生获得更好的建构。

三、HPM视野下的数学教学实践

虽然我们理解了HPM的原理，但是这个思想究竟如何在数学教学实践中运用，依旧是一个问题。这里一个首要的问题就是数学史料如何才能够融入到数学的课堂教学中。

从现有的实践来看，数学史料包括三种：第一手文献，也就是数学家原初在发现数学知识时所写的笔记、著作等，如《墨子》中的关于圆的“一中同长也”理论；第二手文献，也就是史学家根据一手文献所写的历史，比如编年史、问题史等；教学材料，是学科专家或者教育专家根据历史文献结合具体的数学教学内容编写到教学材料中的数学史内容，具有很强的针对性。

三种不同的文献，教师在运用的时候采取的方式是不同的。一般来说，对于第一手文献，由于大量散见于各种文献之中，并不系统，语言上往往也有一定的障碍，对于数学教师来说运用起来有些困难，只有对某个数学问题深入钻研的时候才有应用的价值；第二手文献的好处在于它的系统性，能够对一个数学问题或者数学概念进行深入系统的梳理和分析，对于数学知识的发现、形成和完善过程有着清晰的描绘，不过，这种文献有可能与教学内容并不配套，有些时候会过浅或者过深，需要教师有选择地使用。至于第三种文献，原则上来说可以直接使用，但也可能教师自己的教学设计与原来的教学材料并不一致，这个时候照搬反而会形成一种限制，不如在第二手，甚至第一手资料中寻找合适的内容。

HPM数学实践的第二个问题就是如何将数学史有机地融入到课堂教学中，根据笔者的研究，发现数学史和数学教学的融入，主要通过三种方式来进行：数学史作为组织数学教学活动的依据、数学史作为数学教学内容的有机构成、数学史作为独立的数学教学内容。

1.数学史作为组织数学教学活动的依据

在具体的数学教学中，教师可以根据数学发现的历史进程进行设计，从而让学生能够重复数学发现的关键性步骤，加深对数学知识和方法的认识。比如在教学圆的概念时，教师通过研究数学史会发现，人类对圆的认识是从生产实践开始的，大约6000年前美索不达米亚人制造了第一个轮子，约4000年前，人们将木制的轮子固定在木架上，做成了最初的车子。会做圆并且对圆有了理论性的理解，则是2000年前的事情，我国的墨子就提出圆是“一中同长也”，而后，为了更好地作好圆，人们又进一步发现了圆周率，并且这一数字不断地得到精确。在这样的历史长河中，我们发现对圆认识的几个关键步骤：1.圆和其他平面形状不同；2.人们在生产实践中做圆的时候开始对圆的性质进行追寻；3.人类在对圆的认识中，不断对其性质通过数字加以精确。确定这些关键性的步骤之后，教师就可以根据这些步骤来设计数学活动，首先让他们对圆有感性的认识，然后逐步让学生“发现”圆是“一中同长”的性质，最后再确定圆周和半径之间的关系。在这样的教学活动中，虽然没有直接给学生讲授数学史，但是通过学生亲历古人数学发现的过程，对圆的认识逐步加深，在获得数学知识的同时，也获得把数学是生活的需要、数学是人对现实和自然的精确表征等数学思想。

2.数学史作为数学教学内容的有机构成

和上述策略不同，数学史作为数学教学内容的有机构成是直接把数学发现的进程拿来，在课堂教学中重演，让学生在栩栩如生的数学历史进行思考和创生，在学习数学的同时体验数学。比如，同样是教学对圆的认识，教师可以通过技术手段或者讲故事的方式，再现古人的发现圆、研究圆和精确与圆有关的重要数字等过程，将学生带入到历史场景中，和美索不达米亚人一起劳动和观察，和木匠师傅一起做圆，和墨子一起观察和思考，和祖冲之一起推演圆周率。

3.数学史作为独立的数学教学内容

在一些数学教学中，教师可以直接教学数学史而不刻意地教学数学知识和方法。可以直接做独立的数学教学内容的，包括数学发现的故事和轶事、数学悖论、历史名题、数学家传记等等。通过这些内容的教学，可以让学生养成数学精神、发现自己思维运作的规律，虽然没有直接教数学知识，但学生对此知识已经有机地掌握了，并从中学习到数学精神和数学思维方式。

上述由深到浅的数学史融入数学教学方式，还可以有更加细致的教学策略，对这些方式和策略的把握，可以让教师的数学课堂充满文化和生命的活力，充满逻辑和理智的思考，从而不断促进学生的数学素质的深入发展。

参考文献

[1] 徐利治，王前.数学哲学、数学史与数学教育的结合——数学教育改革的一个重要方向.数学教育学报，1994，3（1）.

[2] Furinghetti，F.& Radford， L. Historical conceptual developments and the teaching of mathematics：from philogenesis and ontogenesis theory to classroom practice.English，L.（Ed.），Handbook of International Research in Mathematics Education， New Jersey：Lawrence Erlbaum，2002.

[3] 萧文强.数学发展史给我们的启发.抖擞，1976（17）.

数学与基础数学例8

一、引言

高等数学是高职院校汽车类专业的必修公共基础课程， 具有知识面广、 内容结构复杂; 概念定理公式多、 高度抽象;思想性强、应用广泛的特点。学好这门课， 对学生数学素养和能力的提高起着至关重要的作用，是学生学好后继相关专业课的重要保障，也是学生走出校门后继续提升学习的基础，关系培养高职学生可持续发展能力和人才培养质量问题。目前由于高等职业教育发展迅猛，各高职院校连年扩招，导致高职生源多样化、多层次化， 知识基础、 智力水平参差不齐等问题造成同一个专业甚至同一个班的学生数学基础差别较大。为了明确学生的数学基础水平不同对他们的高等数学课的学习是否会造成影响， 本文对学生的高等数学课成绩与他们入学时的高考数学成绩进行相关分析。

二、 数据的收集和分析

1. 研究目的： 探讨高职学生高等数学课成绩与他们的高考数学成绩是否具有相关性。

2. 数据来源： 采集119名2 0 1 2级汽车类专业大一学生入学时的高考数学成绩（简称：入学数）、高等数学课程期末考试成绩作为样本数据。为了保护学生的隐私， 将学生姓名、 学生所在系和学籍证号码等信息隐去。（表1）

表1：学生入学高考数学成绩及其期末考试高等数学成绩

备注：高考数学满分是150分;期考高等数学满分是100分.

3.研究方法： 本文采用 S P S S 13 . 0统计软件进行分析。

4. 研究过程： ①使用皮尔逊相关性分析方法分析高等数学成绩和入学高考数学成绩之间的相关性; ②将这 119个样本按照高考数学成绩进行排序， 抽出成绩高的58人作为一组样本， 成绩低的61人作为另一组样本， 然后对两组独立样本所对应的高等数学成绩使用独立样本的 Ma n n ―Wh i t n e y U非参数检验。

利用以上的所采集得的数据建立spss数据文件

在这里我们定义两个变量x（入学高考数学成绩）和y（期考数学成绩），均为数据型，输入相应的数据，并保存为文件：韦竹稳采集数据.sav.

按Analyze corelate Bivariate顺序逐一单击相应各项，然后把x与y调入Variables下的矩形框内，单击ok后得出下面的表格2。

表2 高考数学分数与期考高等数学分数的相关分析

对入学数学成绩进行分组，43分以下为低分组，大于43分为高分组，然后依次按Analyze Noparametric test 2-Independent samples test，之后弹出对话框，在框里填入组别后按ok就得到以下的表3和表4。

表 3 Ma n n―Wh i n e y U检验秩次表

表 4 Ma n n―Wh i n e y U检验统计表

5. 结果分析：由表格2可知入学数学成绩与期考高数成绩的相关系数为0.969，显著性概率为Sig.=0.000<0.01，说明非常显著，即入学高考数学成绩与期考高等数学成绩的相关性非常强，其中参与观测量数为119。

由表3和表4，两组数据的平均秩次分别为31.83和89.63，z的值为一9.41，相伴概率是0.000，小于显著水平0.05，可以认为应该拒绝两独立样本总体均值没有显著性差异的零假设，即认为两组数学成绩存在显著性的差异。进行检验的这两组样本代表的分别是入学时数学基础较好和较差的水平，经过学习后，两组样本的高等数学成绩是有明显差别的，说明入学时的基础对高等数学课成绩产生了影响。

三、 结论

通过使用皮尔逊相关性分析法和两独立样本的 Ma n n―Wh i t n e y U非参数检验法， 我们得出汽车类专业学生的高等数学课成绩和其入学时的高考成绩存在相关性， 也就是说学生的数学基础会对他们的高等数学课学习产生影响。由此， 如果按照传统的自然组班的方式进行授课， 不考虑学生入学时的基础， 忽视学生的知识水平的差异， 实施“ 一刀切”， 必然会导致教学效果不佳;只有从实际出发， 因材施教， 才能使不同层次的学生都能够在原有程度上逐步提高， 真正学有所得。基于此，我们广西现代职业技术学院从去年开始，已经对高等数学课程进行分类分层次教学改革试验，并通过自治区教育厅审批列为2013年广西高等教育教学改革工程项目。

参考文献

[1] 杨善朝，《SPSS统计软件应用基础》[M]，广西师范大学出版社 .

数学与基础数学例9

在《算术基础》中，弗雷格追溯了数学表达式之不变的逻辑基础的同时，清理了带有主观性和相对性的心理主义。但心理主义并没有因此销声匿迹，反而在蒯因那里得到复兴，而且蒯因还基于自然主义的心理主义，否定了弗雷格对数学基础的探寻。本文试图借由解读弗雷格和蒯因的文本，展示数学哲学中的基础主义与心理主义之争，并借由弗雷格的文本对蒯因的心理主义做出回应。

关键词

基础主义；心理主义；分析性；整体论

中图分类号：B089文献标识码：A

文章编号：1000-7660（2015）03-0063-07

作者简介：刘钰森，广东潮州人，哲学博士，（广州510006）华南师范大学公共管理学院、哲学研究所讲师。

蒯因（W·V·Quine）在《从刺激到科学》开头“追忆往昔”一章中提到弗雷格（Gottlob Frege）时，将弗雷格的理想概括为探寻数学知识的本质以及数学真理的基础。他认为弗雷格和罗素、怀特海在这一方面是同路人，他们的结论是认为数学可翻译为纯逻辑，由此可以进一步推导出数学真理是逻辑真理，并且它的全部都能还原为自明的逻辑真理。蒯因认为弗雷格等人的这种观点是错误的，而且哥德尔1931年的论文以及罗素1902年的发现使得弗雷格等人的理想烟消云散

。

弗雷格当年在《算术基础》等著作中所提出的如蒯因以上所说的基础主义

理想，否定了密尔等人关于数学的心理主义所带有的主观性和相对性。然而，蒯因否定弗雷格等人对数学基础的探寻的背后，恰好是他在《真之追求》等著作中所概括的自然主义的心理主义立场。本文试图通过从《算术基础》到《真之追求》的解读，展示数学哲学中基础主义与心理主义之争的某种面貌，也试图基于弗雷格的文本，回应蒯因新兴的心理主义。

一、弗雷格的“基础主义”

“如果在万物长河中，没有任何东西是不变的，永恒的，那么世界就不再是可认识的，一切就会陷于混乱。”

弗雷格要探求的就是这种永恒不变的东西。作为一名数学家，他的这种探索是从数字入手的。比如数字1，惯常的说法是它指示一个事物；将1这个数说成属于事物，却没有说明事物是哪个；这将使得每个人都可以任意理解这个名称，关于1的同一个句子对于不同的人意味着不同的东西。心理主义会导致的这种相对主义是弗雷格所反对的。

弗雷格认为，思维本质上在哪里都是一样的：绝不能根据对象而考虑不同种类的思维规律。不同于心理主义从具有相对性的心理表象来解释意义，弗雷格要找的是一个客观的外在基础：“人们从本书将能看出，甚至像从n到n＋1这样一条表面上专属于数学的推理，也基于普遍的逻辑规律，而且不需要特殊的聚合思维的规律。” 弗雷格要的是在语言、数字后面的那个永恒不变的东西，他要的是一种在哪里都是一样的“思维”、一种普遍的逻辑规律。

弗雷格力图说明，感觉与内在图像具备不稳定性和不确定性，而数学概念和对象则具备确定性和明确性；因此算术与感觉根本没有关系，内在图像对于数学是无关紧要和偶然的。如果从心灵本质对概念进行心理学解释，并以为由此可以得到概念的本质，那么这只会使一切成为主观，走到底甚至会取消真。要认识到概念的纯粹性质，需要大量的理性工作以追溯定义普遍的逻辑基础：

如果定义仅仅在后来由于没有遇到矛盾而被证明是有理由的，那么进行证明的严格性依然是一种假象，尽管推理串可能没有缺陷。归根到底，人们以这种方式总是只得到一种经验的可靠性，实际上人们必须准备最终还是会遇到矛盾，而这个矛盾将使整个大厦倒塌。为此，我认为必须追溯到普遍的逻辑基础……

普遍的逻辑基础的追溯需要坚持三条基本原则：“要把心理学的东西和逻辑的东西，主观的东西和客观的东西明确区别开来；必须在句子联系中研究语词的意谓，而不是个别地研究语词的意谓；要时刻看到概念和对象的区别。”同上，第8—9页。 换言之，坚持客观性原则，要求只在心理学意义上使用“表象”，把表象与概念和对象区别开来，前者代表心理的和主观的，后者代表客观的和逻辑的；坚持语境原则，要求避免将个别的心灵的内在图像或活动当作语词的意谓；函项原则要求的是，未充实的概念不可成为不变的客观对象。

客观性原则预示着弗雷格所追溯的基础将是与具有相对性的心理表象无关的客观逻辑基础，它是普遍性的；而函项原则与语境原则将在获得作为算术基础的数定义方面起着至关重要的作用。提出这三个原则之后，弗雷格指出他那个时代的数学回到一种甚至要努力超越欧几里得的严格性，那就是人们对各种概念进行严格的证明；而且他相信沿着严格证明之路，必然能获得构成整个算术基础的数概念以及适合于正整数的最简单的句子。

于是在弗雷格眼中，数学本质上只要能用证明就不用归纳来获得确证。证明的目的在于使句子的真摆脱各种怀疑，并且提供关于句子的真之间的相互依赖性的认识。句子间的真的依赖性在哲学上需要对先验和后验、分析和综合做出区分。在弗雷格看来，与此区分有关的是判断的根据（justification），而非其内容。因此，通过证明达到的根据如果是普遍的逻辑真理和一些定义，获得的是分析的真；而根据非普遍逻辑性质的特殊知识领域的真得到证明的句子，则是综合的。类似地，是否完全从本身不能够也不需要证明的普遍定律得到证明，则是区分一个句子的真是否先验的标准。

从根据而不是从内容区分真的先验和后验、分析和综合，这也是弗雷格追溯基础理想的一种体现，更直接的是，它与追溯算术基础时所必需的严格证明之路密切相关：在数学领域，要尽可能严格地证明算术定理，避免推理串中的每个缺陷，找到证明所依据的原初真命题。比如：

2加2等于4，这不是直接的真；假定4表示3加1。人们可以如下证明这一点：

定义：1）、2是1加1；2）、3是2加1；3）、4是3加1

公理：如果代入相等的数，等式依然保持不变。

证明：2＋2＝2＋1＋1＝3＋1＝4（定义1，定义2，定义3）

所以；根据公理：2＋2＝4

弗雷格认为莱布尼茨的上述证明有缺陷，应该更精确地书写为：

2＋2＝2＋（1＋1）

（2＋1）＋1＝3＋1＝4 同上，第16—17页。

莱布尼茨的证明缺少2＋（1＋1）＝（2＋1）＋1，它是a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的一种特殊情况；以这条定理为前提，其它公式都能以这种方式被证明，并且每个数就能够由前面的数定义。“我们甚至没有关于这个数的表象，可确实就这样把它据为己有。通过这样的定义，数的无穷集合化归为一和加一，并且无穷多数公式均能够由几个普遍的句子证明。”基于这种证明方式，弗雷格试图从a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的形式来说明，借助几条普遍规律，仅从个别数的定义可以得出数公式，但这些定义既不断定观察到的事实，也不假设其合法性（不需要justification）。他在批评前面提到的密尔等人的聚合性思维的同时，认为数的规律不可能是归纳的真命题：归纳如果是习惯的话，“习惯（作为一种主观状态）完全没有保真的能力”，“归纳必须依据概率学说，因为它至多可以使一个句子成为概率的。但是如何能够在不假设算术规律的前提下发展概率学说，却是无法预料的”。

弗雷格认同莱布尼茨的观点，数学中发现的必然真的命题必须有一些原则，其证明不依赖于例子及感觉证据。他认为几何学定理之间可以互相独立，它们不依赖逻辑的初始规律，因而是综合的；但经验综合的性质并非算术规律的性质。就数而言，每个数都有自己的独特性，它要求关于数的科学原理是分析的，数相互之间是紧密相连的。关于数的普遍句子不必只适用于眼前存在的事实，数学的真命题“会有一系列未来使用的推理串，其用途将在于：人们不必再进行个别的推理，而是能够立即说出这整个系列的结果。”

如果真的可以达到上面提到的作为根据的普遍句子，以便由之推导出数公式，那么这样的句子应该是从更基本的数定义得出的。因此，接下来需要进一步考虑数的定义。

以往由于定义尝试的失败，数总被认为是不可定义的。把数看作事物性质，数是主观的东西，把数解释为集合、多或众多，通过对不同的实物集合加以不同的命名来解释数，这些说法都被弗雷格一一驳斥了。而对欧几里德的“数是一种单位集合”的解释，在指出后人的很多说法中的问题及困难之后，弗雷格提出解决困难的方法是：把一和单位做出区别。具有客观性的“一”作为数学研究的一个对象的专名，不能是复数；相应地，单位应该是一个概念。概念不同于专名，只有当概念带上定冠词或指示代词时才能被看做一事物的专名，但因此它就不是概念了。因此，“数是单位”的解释把概念词混淆为专名了。

弗雷格认为，“数的给出包含着对一个概念的表达”，“数的给出表达了一种独立于我们理解的真实的东西”。上述观点提醒我们：每一个个别的数词是专名，它不等同于概念词，当一个概念词被它“充实”而饱和了之后，我们就得到了专名。在贯彻语境原则的前提下，弗雷格认为，为了获得数这个概念作为对象的数，必须确定数相等的意义。他借助的是莱布尼茨“用一个事物替代另一个事物而不改变真，这样的事物就是相同的”的解释，把数相等界定为外延相等（数值的相等）。这与他在《含义与指称》中提到的等值置换原则相一致：在逻辑中，真值相同的词项和命题可以互相置换。我们可以由两个等数的概念得到其下的数相等，加上“n在自然数序列中紧跟m”这个表达式，就能定义0和1，并且进一步确定数序列是无穷的。

基于客观性原则，弗雷格反对心理主义的相对主义和主观主义，他把算术奠基于一种不变的逻辑基础之上。遵循语境原则和函项原则，他在《算术基础》中主要展示了一种追溯算术基础的方法。根据这种严格证明的方法，弗雷格认为从一些自明的公理（即他所谓的普遍的逻辑基础、普遍句子）出发，加上数的定义，可以演绎出所有关于数的真命题。虽然这有循环论证嫌疑，但是弗雷格明确地认为按照他的严格证明的方法，可以追溯作为算术基础的数的定义以及自明的公理。他在《算术基础》中谈及其基础主义的哲学动机，在于澄清算术真是属于先验还是后验、是属于分析还是综合。如前所述，从判断的根据而非内容解释真，由算术真所根据的是不可证明的普遍句子来看，算术真（truth）当然是先验分析的。换言之，从算术真的基础可以得出算术真是先验分析的。这种哲学动机促使弗雷格进行基础的追溯，而分析性也因此成了算术命题的特性，并且将其与综合性的心理命题区分开来。

二、蒯因的《真之追求》及弗雷格应对的可能性

弗雷格以澄清算术真的分析性为其哲学动机，蒯因则由对分析性概念的批判而提出一种整体论的彻底经验主义，他的经验主义就是所谓的自然主义的心理主义。基于对分析命题的态度，这种经验主义并不承认数学中存在如弗雷格所追求的那种分析性的基础。

蒯因在他著名的《经验论的两个教条》中所批判的第一个非经验论教条，就是分析与综合之分：奠基于非事实的意义的真（truth）是分析的，而奠基于事实的真是综合的。而且，对分析与综合之分根源同一的还原论的清理之后，他的结论是：由真一般地依赖于语言和语言之外的事实得出，每个陈述的真可分解为语言部分和事实部分，这是很多胡说的源头。根据这种划分，如果某陈述的真只与语言部分有关，那么该陈述就是分析的。这种分析和综合之分，在蒯因看来是顽固地抗拒任何明确的划分。科学看起来总体上依赖于语言与事实，但逐个地审视科学陈述，却能发现并非如此。 没有教条的经验论应该主张：“我们所谓的知识或者信念的总体，从最具因果性的地理和历史的事实到相当复杂的原子物理或者甚至纯数学和逻辑，是一个人造的构架，其仅仅是沿着边缘侵入经验。”Ibid.， p.39.

把架构在经验基础之上的人类知识体系比喻成一个倒扣的碗的话，纯数学和逻辑即便处于碗顶，也最终要与经验相关。这种思想在蒯因后期的《真之追求》得到了进一步的阐述，与弗雷格固守理性、固守不变的基础不同的是，蒯因固守的是他心中的经验论规范：“nihil in menter quod non prius in sensus（心灵中没有任何东西是以前感觉中没有的）”。他的出发点是：感觉的刺激-感受才是我们关于外在世界的知识客观性的保证：

有关我们外在世界的知识的客观性保持在我们与外在世界的接触中、从而在我们的神经摄取和与之相应的观察句中得以确立。我们从整个句子而非从词项出发。函项的一个教益是，我们的本体论，像语法一样，是我们自己对关于世界的理论做出的概念的贡献的一部分。人类提出建议，世界付诸实施，但这仅仅是经由对具体表达人的预见的观察句做出整句的“是”或“否”的判断来达到的。

在蒯因看来，我们经由感官刺激（stimulation），在历代累积的创造性之下构造关于外部世界的系统理论。在刺激和感受的关系或者刺激和我们的外在世界的科学理论的关系的分析中，神经科学、心理学、心理语言学、遗传学或者历史学都可以提供资源，而其中有一个部分可以仅借助逻辑分析来加以考察，那就是理论被预言检验的部分，或者属于证据支持关系的部分。这就进入到了“求真”的领域，并且看来他也将采取逻辑分析和语言分析的方式，从目标和方法上看似乎与弗雷格对算术基础的追求是一致的。

但事实并非如此，究其一生，蒯因直到最后的著作《从刺激到科学》都立足于前面提到的那个经验论规范。虽然蒯因有时候认为有些数学命题是没有经验内容的，但是不同于弗雷格所认为的对每个对象都必然有意义的命题都是重认命题（recognition?judgment），比如数学中的等式，他认为有意义的命题恰好是有经验内容的命题，也就是能被检验、值得检验的命题。

蒯因更直接要解决的是所谓“科学游戏的目的”的问题。他认为，科学游戏的压倒性目的是技术和理解。从技术和理解的角度来看，“所指和本体论如此后退到单纯的辅助者的地位。真句子，观察的和理论的，是科学事业的始终。它们由结构联系起来，而对象扮演了结构的纯节点的角色”。这种结构就是逻辑的联系，在函项的理论下，px原来意味x是p的地方，可以重新诠释为x是p的f；即在重新解释后的句子逐词保持不变的情况下，观察句依然和以前一样与相同的感觉刺激结合在一起，而且逻辑联系完好无损，理论的对象却被随意大幅度地移换了。

这说明对象“对于观察句的真是无关紧要的，对于观察句对理论句提供的支持是无关紧要的，对于这个理论预言中的成功也是无关紧要的”。只要能保证与感觉刺激结合，那么作为“人造架构”的观察句、理论句的对象就可以随意移换。语词、句子不过是人类使用的符号，人类可以“任意”地解释，当然，前提是与感觉刺激结合：“人类提出建议，世界付诸实施。”对象在蒯因这里并不重要，对真句子来说更重要的是与感觉刺激相合。但这种相合并非是孤立的，而是整体的。在他看来，直接面临经验检验的是所谓的观察范畴，而蕴含观察范畴的是一个理论的整体，其中，算术和其他数学的分支是理论背景的一部分。在《真之追求》第6节中，蒯因试图通过在整体论所要求的最低限度肢解整体的准则之下，保护任何纯数学的真，但这种保护不是因为数学的基础性，而是因为数学渗透到人类关于世界的知识系统的各个分支，对数学的破坏将令人无法容忍。蒯因认为，这可以解释数学必然性，并且基于一个所谓的未阐明的原理：人类在自由地拒斥其它信念的同时却要捍卫数学。由于整体论，加上数学对我们关于世界的知识系统的渗透，在数学得到应用之处，经验内容也被数学所分享。

蒯因的老师卡尔纳普在他的数学哲学中，使用分析性来解释缺乏经验内容的数学如何有意义以及为何数学是必然真。之所以使用分析性，在蒯因看来，是因为类似于形而上学的必然性反映出事物的本质，分析性反映了语词的意义。不过，如前所述，蒯因认为通过整体论就可以解决卡尔纳普通过分析性所解决的那两个问题。蒯因对于数学必然性的说明，并不是给出像弗雷格那样的基础主义证明，而更主要是从数学应用的效果来说明；与其说他想说明数学的基础性的必然性，倒不如说他想通过整体论来说明数学如何跟经验关联。

在《真之追求》第40节，蒯因专门讨论“数学中的真”。在他看来，数学有一部分因为不应用于自然科学而不享有经验意义，集合论的高级部分也是这样，而它们的意义在于它们是与应用数学一样用相同的语法和词汇来进行表述的。或许因为这种数学的高级部分的非应用性，蒯因认为要是将之排除在二值逻辑之外，就需要不自然地划分语法。因而，由于简单、经济和自然的考虑，这些高级部分或者是不必要的想象，或者可以在谓词逻辑和集合论这类基础上给出来；并且这样处理缺乏经验内容的纯数学，跟自然科学内部进步的简化和经济达到一致，“它是关乎使我们关于世界的整体系统紧凑（tightening）和简化（streamlining）的问题”。

从以上对蒯因在《真之追求》中的观点的述评可见，蒯因自然主义的心理主义把人看作自然的一部分，而人们使用的数学（包括逻辑、集合论作为其组成部分）只是人们的工具。蒯因不像弗雷格那样试图分析出一种外在的数学的基础，他只是从数学的应用来说明数学的必然性；这种必然性最终与经验相关的应用关联起来：数学作为理论背景的一部分，蕴含观察范畴，并且当观察范畴遇到反例时，唯有数学不能被破坏。在《从刺激到科学》中蒯因用一章的篇幅专门讨论了逻辑和数学，其中的观点与《真之追求》是一脉相承的，并且可以增进对他关于逻辑和数学的心理主义观点的理解。

作为自然一部分的人对于逻辑的习得有一种“进化”的过程：人类从孩提时代习得“并非”、“并且”、“或者”这些逻辑联结词以及“有的”、“每个”这些量词的时候，就逐步把蒯因界定的狭义的逻辑的基本律内化了；而当人类数学理论成熟时，就能够在一种形式化中把这种逻辑压缩为：证明一个给定的前提集对预期结论的蕴含，就是证明该前提集与结论的否定的不一致。这种观点把数学当成比逻辑更加高级的知识体系，蒯因接下来的一句话可以更清楚地看出这一点：“我乐意于如此狭义地限制词项‘逻辑’，而把集合论处理为数学另一更高级的分支。”他在后面甚至把集合论当成数学的代名词，即逻辑是数学的分支、集合论则是更高级的分支。并且，这种“狭义”的逻辑和集合论及数学的其它分支，有着三个重要的区别：一、逻辑没有能称为属于它自己的对象，其变量允许所有离散的值；二、除去同一性，逻辑没有自己的谓语；三、逻辑允许有完全的证明程序，而数学其它分支则由于哥德尔不完全性定理而不允许有完全的证明程序。

从以上对比可见，就没有对象与谓语而言，逻辑如前面所引述的《真之追求》的观点所表明的那样，更主要的是具有一种联系的功能；就证明的完全性来说，逻辑看来比之数学的其它分支更有优势。如前所述，在蕴含观察范畴方面，蒯因把数学律与自然律的作用等同起来，因为集合论和数学其余部分的规律排列在进行蕴含的前提之中，等同于自然科学的规律和假说。不过，这并不与公认的数学缺乏经验内容的看法相冲突，蒯因认为数学的这种参与并不赋予经验内容，因为经验内容是属于进行蕴含的集合并且不被其成员所分享的。

在《真之追求》里能够享有经验内容的是应用中的数学，而这里作为进行蕴含的集合一部分的数学，是所谓的非诠释数学（uninterpreted mathematics），它们不仅缺乏经验内容，且缺乏真假。蒯因在比拟这一类数学真理为经验真理时，主要出于其对观察范畴的蕴含有帮助的考量，而将其对经验的背离忽略不计。蒯因认为许多这样的语句可以用应用数学中所坚持的规律来处理，另外一些解证地独立于先前理论的情形则还是用经济原则来处理。加上哥德尔的不完全性定理，令蒯因为难的还有：有许多属于数学的闭合句在一致的证明程序中，不可证明也不可证伪。最后，蒯因只能与这种超出他认为的值得并且能够检验的才是真陈述的要求的句子做出妥协。但是，他还是强调，即使这涉及到康德的物自体问题，关键却还在于人类的用法，而并非宇宙之秘。

与密尔等心理主义的前辈相比，蒯因并不否认数学尤其是纯数学对于经验的背离；而对于逻辑，他则更主要从一种工具的角度来对待。在写作《经验论的两个教条》时，蒯因认为人类的知识最终都与经验相关；而到了《从刺激到科学》，他却承认非诠释的数学对于经验的背离。即使借用应用数学的规律处理部分这样的数学陈述的真假问题，同时用奥康的剃刀处理另外一些数学命题，还是存在着真假不定的数学命题，蒯因提到非诠释数学即抽象代数时说它们没有经验内容、也没有真假。而这与前面提到的他所贯彻的经验论的规范是冲突的。

蒯因的这种困境在弗雷格看来或许并不成为困境。弗雷格其实并不否认经验的作用，他承认感觉印象是认知数和其他一些东西的条件，但他强调在数学基础方面中经验是无关的。在《概念文字》的序言中，他把科学真理分成两类：一类是其证明纯粹由逻辑完成，另一类是必须被经验支撑的。不过，即使是第一类，也是与这样的事实相一致的：“没有任何感觉活动的话它是绝不会在人心中称为意识”；只是它并非源起于心理学，而是基于分类之上的最好的证明方法。感觉活动是意识形成的必要条件，包括其证明纯粹由逻辑完成的科学真理也是如此，不过感觉活动却并非基础。泰勒·伯奇（Tyler Burge）考究了奠基（grounding）一词的德语，认为基础和奠基是与理性相关的。哲学家所谈论的理性，一般意指源自亚里士多德的范畴理性，即弗雷格在《算术基础》第31节提到的，使我们与动物区别开来的更高精神力量。 作为算术基础的命题恰好是不需要检验的、自明的，其作为真命题的意义因此不在于蒯因所要求的值得检验和能被检验，而在于它们所含有的内容是理性所必须确认的。

与《算术基础》开篇建立的那三个原则相适应，弗雷格把科学真理分成两类，其中，客观性的算术真理纯粹由逻辑得到证明。算术领域的真在弗雷格那里如同赤道与北海的存在一样，具有超乎经验的客观性。算术真理在弗雷格那里具备的独立于经验的地位，恰好就标出了蒯因极不情愿地作出妥协后逐步接近的那种立场。另一方面，即使蒯因的经验论看起来似乎更符合人类的实际（人们通过微弱的纽带与包括数学对象这一类抽象对象的外在世界相连，更多的时候，人们谈论知识就是在谈论人们经验中的知识，在此意义上，人类提出建议，世界付诸实践），但是他却无法将经验主义的规范贯彻到非诠释数学的领域。

数学与基础数学例10

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）39-0059-03

一、基础数学教学过程中的问题分析

数学不仅是各学科基础，更是人才素质的重要组成部分。数学类专业包括：数学与应用数学、信息与计算科学，统计学（现在是单独学科），其中基础数学课程主要包括：数学分析、高等代数、空间解析几何、常微分方程、复变函数、概率论、数理统计，近世代数等等；非数学类专业的基础数学课程主要包括：高等数学、线性代数、概率统计。数学在人才培养过程中的重要性是不言而喻的，作为基础数学课程的教学，如何适应高等教育大众化，不仅是基础数学课程教师要考虑的问题，更是各高校需要认真考虑并加以解决的问题。关于这方面的问题，各高校都有各自的矛盾和解决办法。总体来说各高校存在的普遍问题是：基础数学课程的教师比较紧缺，青年教师偏多，且以大班上课为主。另外，有的老师除了承担基础数学课程的教学任务外，还承担有专业课程的教学任务，使得部分教师课头多，教学任务重等各种因素，导致教学质量有所下降。由于基础数学课程是相关学科专业的重要基础课程，具有高度的基础性、抽象性、严密性、逻辑推理性等等，又有广泛的应用性，所以在基础数学课程的授课过程中主要以板书授课的形式为主，边讲边推理。基础数学课程的教学内容具有完整性，前后章节联系都比较密切，一环扣一环，所以每一次课讲得好坏都会影响到后面的教学效果，甚至打乱后面教学计划的执行。这也是我们在教学过程中经常遇到的问题。在基础数学课程的课堂教学过程中每一次的教学效果如何，部分教师很少考虑，有时根本不去考虑，等到布置作业后，通过学生做作业的情况，才会发现教学效果的情况。如果学生作业做得比较好，说明这次教学效果比较好；如果做得差，说明这次教学效果不理想，教学效果差，即使是这种情况，少数教师还认为是学生不好好学，很少反省自己的教学过程存在哪些问题。如果教师的作业比较多，不能及时地批改出来，通过作业暴露的问题往往就不能及时地纠正，导致问题的积累越来越多，必然会影响后面的教学。教学过程中暴露的问题还有很多，而暴露的这些问题通常都是在课后才发现的，有的甚至在课程结束后才发现教学有问题，由于受课时的限制很难进行补救。如果我们在讲课前对教学内容、方法和教学手段的效果进行预测，在教学效果预测的基础上，根据教学内容认真备课，安排好每一个教学环节；对教学效果在授课课前进行预测，把事后变为事前预测，这就是我们本文要探讨的基础数学课程的动态教学模式与课堂效果评价问题。

二、基础数学课程动态教学模式与教学效果预测

由于基础数学课程分前后内容联系都非常密切，甚至几次课的内容都是整体的一部分，所以，我们在授课的过程中不能孤立地去看待每一次的教学内容，而要考虑前后内容的衔接。以高等数学或数学分析为例，教材一般为上下两册，通常为两个学期或三个学期。高等数学或数学分析课程下册的无穷级数要用到上册数列极限的有关内容；下册的重积分、曲线与曲面积分、傅立叶级数等等要用到上册的定积分等等；导数的定义实际上就是极限问题；多元函数的许多性质是一元函数的推广，但又要注意其不同于区别。所以，我们在备课、讲课的过程中，不能只考虑这次课要讲的内容，还要考虑后面教学内容的连贯性。基础数学课程的教学过程可以分为两部分：教学计划，教学实施。根据基础数学课程教学内容，教学计划又分为：教学内容的总体计划，学期计划，月计划，周计划和每次课的计划。教学计划制订好以后，就要对基础数学课程的教学目的和要求进行预测。基础数学课程教学预测大致可以分为：教学内容的总体预测、学期预测、月预测、周预测。在预测的基础上，制订相应的教学目标，做到有的放矢。有了教学预测和教学目标，才能进行教学实施，教学实施主要包括备课、讲课、批改作业等等各环节。显然，对于基础数学课程的教学能否达到预期的教学目标，关键的是教学实施。根据基础数学课程的教学内容和教学特点，我们把教学实施分为以下几个阶段：教学效果预测（包括教学方法，教学手段，甚至例题的选择等等），备课（包括布置作业），授课，批改作业，课堂教学效果评价。教学效果预测是教学实施过程的前提，没有预测，教学过程就没有目标，也就谈不上教学质量；要达到一个什么样的教学目标、教学效果，必须要做到心中有数。有了教学效果预测，在备课时，就会考虑到各种教学方法和手段的可行性，避免失误。这样，一次课下来后，与预期的目标进行比较，如果达到或超过预期的目标，说明这次的教学是成功的，使用的教学方法、手段是可行的，否则，教学有问题，要及时反省，查找原因，下次课及时调整。教学效果评价不仅是自己教学水平的评价，也是提高教学水平的重要手段，更是对自己教学态度评价，同时它也是下次教学效果预测的依据。在教学效果评价的基础上，对下次的教学内容进行预测，并重复上述过程，这样我们就有下面教学实施的循环：

在备课之前，首先要对下次教学内容的教学效果进行预测。我们不仅要考虑下次课要讲哪些内容，还要考虑学生理解和掌握这些内容的情况进行分析、预测，以及教学过程中可能会出现的各种情况都要有充分的估计。对不同的教学内容或同一教学内容中的不同知识点，采用不同的教学方法其教学效果往往是不同的，哪一种教学效果比较好，都要进行分析和预测；如何讲好每一个知识点，如何讲解学生更容易理解、掌握等等，都是备课时需要认真考虑的，真正做到学生是授课过程的主体。教学效果预测要充分考虑学生对老师的愿望，因为老师授课的对象是学生，是教学过程的主导者。在讲课之前学生对老师也有一个期望，最低的要求就是希望老师所讲的内容清楚、能听懂，除此之外还有理解等等方面的要求。如果老师的授课能达到学生的要求，学生认为这位老师的授课水平高，否则就是这位老师授课水平低。但教师授课水平的高低目前没有一个明确的界限，以期末考试的试卷难易程度和学生考试的成绩来反映教师的教学水平也是不科学的，因为试卷的难易程度很难定论，是一个模糊的概念，凭感觉。如何鉴定教师授课水平，一直是困扰教学质量、教学效果评价的难题，为此，我们做了一些的探讨与实践，不一定科学。设x是任课教师对教学效果给出一个预测值，y是学生给任课教师期望值，如果x≥y，说明这位老师可以胜任这门课的教学。否则，这位教师不胜任这门课的教学任务，学生对该教师的评价不会太好的。这就是说老师对自己要高标准，在这种情况下才能发挥教学水平，提高教学效果。一般来说，在授课之前，学生不知道老师的教学效果预测值是多少，学生也不会给老师期望值。如果我们把教学效果的评价定量化，那么，教学效果的评价值可以看成x的函数f（x），当f（x）≥x时，说明这次的教学方法和教学手段应用得当，达到了预期的教学效果和目的；当f（x）

1.老师在上课前根据这次课的教学内容进行备课，并写出本次课的教案，下次上课前再根据要讲的教学内容进行备课，再写出该次课程的教案，也就是讲一次课备一次课的教学内容。这种备课省事，大部分老师都是采取这种方式，有利于上课时对本次课教学内容比较清楚。但不足的是：基础数学课程教学内容的部分完整性差；如果有次课上得不好，失误较大，或者讲得过快，或者讲得过慢，这样就不利于调整教学内容、教学方法、教学手段，灵活性差，会影响后面的教学内容、教学效果等等。

2.老师根据基础数学课程教学内容的部分完整性，备一次课，写几次课的教案，虽然这种备课方法对课堂教学内容的调整有一定的灵活性，一定程度上弥补了上一次课写一次教案的不足，但因时间较长，有时会对教学内容记得不太清楚、生疏，影响教学效果。

为了避免上述备课存在的问题，我们提出了动态的三次备课法：就是每次备课时，备三次课的教学内容，并写三次课的教案：第一次课的教案详写，第二次课的教案可以写得粗一些，第三次课的教案写得更粗一些。如果备课时，备两次课的教学内容，写两次课的教案，若第一次上课时有失误，就要修改第二次课的教学内容，第二次上课时就要弥补第一次造成的失误，这样第二次课的教学内容不一定能完成，也就会影响后面的教学进度，导致后面为了赶进度而影响教学效果。如果备课时，写四次以上课的教案，花在写教案的时间较多，也没有必要。教学实践证明，备课时写三次课的教案是科学的，因为第一次课有失误，在下面的两次课完全可以调整教学内容，不影响后面的教学进度。第一次课上完后，进行教学效果评价，在评价的基础上，调整第二次教案的教学内容，并写出详细的教案，同时修改下次教案，增加一次较粗的教案。如此滚动下去，每次备课都保证有三次详、粗适当的教案。

动态备课法模式：

第一次备课

3.基础数学课程课堂教学效果评价。在前面，我们提到了课堂教学效果评价，它是下一次课堂教学效果预测的前提和基础，是评价课堂教学好坏的主要论据，也是备课时必须考虑的重要因素。虽然影响课堂教学效果的因素很多，有些是不可预测的，但最重要的因素应该是教师。我们知道，基础数学课程的课堂教学以讲课为主，概念、推理、举例等等都是边写边讲，在讲解的过程中速度不能过快，也不能太慢，如果老师讲得好，那么学生喜欢听，注意力集中，效果肯定好；如果老师讲得不好，那么，有的学生会产生厌学等情绪，思想不集中，学生出于课堂纪律的约束，会表现出心不在焉的听课样子。从学生的课堂表现，可以感觉不出来自己讲得是好还是不好，是判断课堂教学效果的依据，但不能就此给自己的教学效果做出正确的评价。如何对自己的教学效果做出正确的评价，评价的依据是什么，目前还没有合理的说法和理论依据。目前大多数的做法是通过学生的考试成绩，学生对老师的打分，以及督导组的老师听课等等来说明老师的教学水平。这种评价看似有道理，但是不全面的。基础数学课程是大面积公共基础课，考试时统一试卷；影响学生考试成绩的因素很多，考题的题量、难易度，生源，专业的要求和培养目标，学风等等，都是影响考试成绩的因素。学生给老师打分也存在许多缺陷和不公正，课堂教学管理严的老师得分不一定高，要求不严的老师可能得分较高；有的学生对老师的评价无所谓，尽量打高一点。督导老师打分往往是表面印象，如果不是同行专家更是如此。所以，最具有说服力的评价是自己给自己评价。如何给出一个合理的自我评价，一直是教师都想搞明白的事，特别是一次课下来后，这次课上得如何等等，都是值得研究的问题。经过多年的教学研究和教学实践说明，学生上课时的情绪、提问以及学生的作业，是反映教师课堂教学效果的主要依据。学生上课时的情绪可以反映教师讲课的激情、语言的表达、内容的安排、概念的讲解、教学手段的使用、教学方法是否恰当等等，所以在上课时一定要注意学生的情绪。课堂提问可以及时了解学生对知识掌握的情况，更能反映老师的教学水平。课堂提问一般分为直接提问和间接提问，直接提问就是请同学站起来回答问题，适应于小班上课；间接提问就是老师在上课过程中提出问题，然后看学生对老师提的问题反映表情来判断学生掌握的情况，这种提问适应于大班上课，最好是直接提问与间接提问并用。作业不仅可以反映学生平时成绩，更能反映教师课堂教学效果的好坏，它是定量反映老师这次课教学效果情况的具体表现。所以布置作业一定要认真，要求学生都是独立完成作业，不要给出参考答案，且作业布置要注意难易程度、题量适度，一个教师教学水平如何从作业上基本上可以反映出来。为了更好地分析课堂教学效果，根据上面的分析可以定量地进行评价自己这次教学效果，即教学效果评价成绩=上课时学生的课堂情绪20%+课堂提问10%+作业70%。上课时学生的课堂情绪成绩和提问成绩根据上课时的表现来给出，作业成绩为批改作业的平均成绩，也可以随机地抽取一定比例的作业平均成绩作为作业成绩。由于我们在上课前对教学效果进行了预测，并给出一个预测值。当预测值≤教学效果评价成绩，说明这次教学是成功的，达到了预期效果；当预测值>教学效果评价成绩，说明这次教学有问题，必须认真查找原因，在下面的教学过程中纠正。这样我们就给出了课堂教学效果的计算公式：课堂教学效果值=课堂教学效果评价―课堂教学效果预测。当课堂教学效果值≥0，说明这次教学是成功的，达到了预期效果；当课堂教学效果值

总之，要保证教学质量，提高教学水平，关键是提高课堂教学效果。作为一名教师首先要加强课堂教学管理，对自己的教学情况要有一个合理的评价，才能不断提高教学水平和能力。如何加强课堂教学管理，并对教学效果进行预测和评价，我们进行了研究并在教学过程中进行探讨，得到了上述的成果，特别是对数学课程的教学有一定的推广价值。

参考文献：

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