初中数学指数公式例1

为了使初中教育更好地适应社会发展的需求，我国实施了新课改，这让初中教学模式发生了很大的变化，以往的教学中，教师只是单纯地把知识传授给学生，然而学生的知识掌握情况教师并不是十分了解，这样的教学方法很难实现新课标下的教学目标，而且也不符合当代社会对教育发展的要求。对此，运用更加科学的方法开展教学就显得很有必要。以下本文主要探究了学法指导这一教学方法在初中数学教学中的应用。

1 指导学生正确的进行课前预习

现如今，初中数学教学的内容不断增多，要想在不增加学生课业压力的基础上完成教学任务，教师就要采取相应的手段来提高教学效率。预习指导就是一种很好的教学手段。由于初中数学课堂教学的时间有限，教师不能把所有的内容都在课堂上详细传授给学生，要想完成教学目标，就要指导学生做好课前预习工作。特别是对于初中生来说，在这个年龄的学生，思维活动能力很强，通常对于条条框框的约束是极其厌烦的，所以教师就要采取适当的策略对学生进行指导，教授给学生正确的预习方法，这样不仅能够提高课堂教学效率，对于学生以后的学习也是非常有帮助。

所谓“磨刀不误砍柴工”，就是指做好准备再去工作，那么将会达到事半功倍的效果。然而目前在初中数学学习中，很多学生认为把时间用在功课预习上是浪费时间，觉得没有太大的作用。针对这种心理，教师就要对学生进行正确的指导，帮助学生养成良好的预习习惯，并告知正确的预习方法，在把握好数学教学大纲的前提下进行预习，这样在教师课堂教学的过程中，学生就可以根据预习到的知识与教师进行互动，一方面活动了课堂的气氛，另一方面加深了对数学知识的理解，对于提高学生数学成绩很有帮助。

2 指导学生掌握数学学习基本要领

2.1 从细微处掌握概念本质。不同的数学语言表述或已知条件、结论的背景下，问题的分析、解决思路也存在着诸多不同之处，在课堂教学中，教师应指导学生对数学概念性质、公式、定理做到“三弄清、三掌握”，即弄清来源、弄清条件、弄清使用范围，掌握内容、掌握证法、掌握运用。

2.2 形成结构化的知识网络。要指导学生在各单元板块中有计划、有步骤地掌握教材内容，如代数知识就可以分为实数、代数式、方程、函数等几个基本板块，其下又可以细分为若干层次，如方程板块又可以分为方程（一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程）和方程组（二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组）。帮助学生系统地梳理不同章节板块的定义、解题技巧、应用思路，可以帮助学生形成完善的数学知识结构，在学习中做到有的放矢。

2.3 掌握解题方法与数学思想。应用解题是数学学习活动的基础，也是数学学习的核心内容。在课堂教学中应当高度注意解题指导思想或解题经验的总结，每个细节都要做到面面俱到。如一元一次不等式ax+b>0，就要确定条件“两定”（不等号的方向、数的符号），列应用题方程组则要注意“三同”，即单位同、量同和数值同。只有使学生清晰地掌握数学思想，才能逐步在数学应用解题过程中形成清晰思路，灵活、准确的解答各种综合题型。

3 指导学生认真对待课后作业和复习

在新课改的倡导下，要求教师必须减轻课业压力，给学生们留有自主学习的时间。因此教师在为学生布置作业时，不要只在数量上进行要求，要根据学生的学习情况，针对性的进行布置作业，如果只在数量上进行要求，不仅达不到教学目标，还容易使学生之间出现互相抄袭的现象，形成不良学习风气。因此应该有针对性的精心设计课后作业，指导学生认真对待课后作业。另外，为提高作业完成效率，教师还要指导学生学会在完成作业之前，先对当天所学的知识内容进行复习，不要认为这是浪费时间，实际上课后复习恰恰是为了更好地完成作业。特别是在数学公式的掌握上，在中学数学中涉及到的公式很多，所以要在灵活掌握公式的基础上再完成作业，这样不仅使学习效率有所提升，而且做题速度也要比复习之前更快。

4 指导学生形象记忆数学公式与定理

初中数学学习中会用了各种各样的公式，熟练掌握这些公式对于提高做题速度和正确率有积极意义。但由于公式种类较多，且易混淆，因而很多学生无法灵活正确的运用数学公式。对此，教师应该指导学生形象记忆数学公式与定理。例如在代数学习中，学完解一元一次不等式组后，指导学生编数学口诀：大大取大者，小小取小者，不大不小中间找，大大小小无法找（无解）。在几何教学中同样可以利用这种方法，例如在涉及三角形的辅助线时，指导学生编顺口溜：题中有角平分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，可向两端把线连；三角形，边中点，连接就成中位线；成比例，证相似，经常要作平行线。这种方法既总结了知识，又形象生动，学生学得活、记得牢，学习效率自然大大提升。

5 指导学生正确认识和解决错题

首先，指导学生分门别类地把平时练习或模拟考试中做错的题进行整理、分析、归类。分析出现错误的原因，建立自己的错题本。其次，指导学生把自己做错的原题在错题本上原原本本地抄一遍或剪下来贴在错题本上，并把原来错误的解法清晰地摘要在错题本上。当老师讲解正确答案时，按老师讲的思路，一步一步规范地把原题做一遍，以便加深印象和逐步形成能力。最后，指导学生经常阅读错题本，而不是把做错的习题记下来就完了。要经常在空闲时间，拿出错题本，浏览一下，对错题不妨再做一遍，这样在今后遇到同类习题时，会立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯。

6 指导学生克服数学认知障碍和情绪障碍

由于中学生的年龄正是思维跳跃性比较强的阶段，所以教师要对其进行正确的指导，帮助学生走出认知过程的障碍，使其以最佳的精神状态来进行学习。很多初中生都会认为，数学是最难学的学科，所以在心理上就形成了抵触的心理，针对这种现象教师要采取有效的措施加以引导，然后针对个体存在的具体问题，要采取针对性的手段帮助学生制定特定的学习方法，这样就能使学生重拾学习数学的信心，提高对学习数学的积极性。

结束语

总之，在新课改的要求下，教师在教学中必须要采用适当的方法进行学法指导，让学生改变对数学学习的认识，消除学生心理上的数学学习抵触情绪，帮助学生养成正确的学习方法，促进中学教学水平和学生学习成绩的共同提升。

初中数学指数公式例2

本着积极稳妥、分步实施的原则，在广泛征求意见、充分调研论证的基础上，市教育局对市内三区初中学生学业考试与普通高中招生改革方案进行了调整和完善，实行分数制与等级制并行，条件成熟后再实行完全等级制评价与录取。

一、保持招生政策总体稳定

1.继续实行指标生录取、特长生录取、自主招生、统一招生等多元招生录取政策。

2.继续实行第一、第二志愿平行录取政策。

3.继续实行公办普通高中学校按顺序录取。以录取分数线高低决定公办普通高中学校录取顺序。

4.继续划定公办普通高中学校普通班录取资格分数线、公办普通高中学校普通班特长生最低录取控制分数线和民办普通高中学校最低录取控制分数线。

二、完善有关考试招生政策

1.调整考试科目成绩呈现方式和普通高中录取方式。语文、数学、英语、物理、化学、历史、地理、生物8个科目考试成绩以分数和等级(分ABCDE五个等级，各等级所占比例分别为10%、20%、30%、35%、5%)两种形式呈现，思想品德、体育与健康、信息技术3个科目以等级(分及格、不及格两个等级)形式呈现。普通高中录取总分780分。其中，语文120分、数学120分、英语120分、物理100分、化学80分、历史80分、地理80分、生物80分。公办普通高中学校统一招生实行按8个科目总分从高到低择优录取，总分相同的考生按学科等级组合择优录取(首先通过语文数学英语等级组合择优;如果语文数学英语等级相同，再通过物理化学生物等级组合择优;如果物理化学生物等级也相同，最后通过历史地理等级组合择优)。第一、第二志愿完成招生计划的普通高中学校(2014年市内三区共有9所，分别是青岛一中、青岛二中、青岛二中分校、青岛九中、青岛十五中、青岛十七中、青岛十九中、青岛三十九中、青岛五十八中)，考生思想品德、体育与健康、信息技术科目均须达到及格等级。其他公办普通高中学校优先录取思想品德、体育与健康、信息技术科目达到及格等级的考生。

2.调整多次考试制度。不再实行提前考试制度。初二年级信息技术考试不及格考生，初三年级可以申请重考。

3.调整直升生和指标生政策。从2013级初中学生开始，青岛一中、青岛二中、青岛九中、青岛五十八中直升生实行学校自主招生。自主招生方案由招生学校根据全市统一招生政策，结合学校特色发展需要，按照择优、公开、公平、公正的原则制定，经市教育局批准后实施。学生根据各高中学校报名条件自主报名，各高中学校按照招生方案自主招生录取。

调整指标生产生办法。从2013级初中学生开始，根据考生第一志愿和学业考试总分确定指标生人选。具体产生办法为：根据初三学生人数，将指标生名额均衡分配到各初中学校。普通高中统一招生录取时，以初中学校为单位，将该校第一志愿报考各优质普通高中学校的考生分别按总分由高到低排序，再根据指标生名额分别确定指标生人选。总分相同的考生按学科等级组合择优确定。以青岛实验初中为例，假设2016年青岛二中分配给青岛实验初中16个指标生名额。青岛二中招生录取时，将第一志愿报考青岛二中的青岛实验初中考生按总分由高到低排序，第1-16名考生作为青岛二中指标生(如果第16、17名考生总分相同，则通过学科等级组合择优选择1人作为指标生)。被确定为指标生的考生，学业考试总分加30分后参加普通高中统一招生录取。

三、其他事项

初中数学指数公式例3

要想较顺利的做出数学应用题，必须首先学好有关基础知识，即通过阅读题目，能去掉实际的外壳，把文字语言翻译成数学语言，具备分析出数量关系的能力，为解决好这个问题，依据数学新课标的要求和现行的初中数学教材我做了以下几个环节。

熟练掌握由数学语句列出代数式的方法

进入初中以后，做应用题首先应解决好入门问题,要抓好由数学语句列出代数式这一环节,这一点不可忽视,也不能操之过急，否则易使多数同学对应用题产生畏难情绪。

由数学语句化代数式是解应用题的起点,综合的数学语句化代数式是一个难点,小学数学基础差的同学掌握它有一定困难,在教学中切莫忽视,抓基础就要从这里开始 。

学会用应用语句列式

应用语句即包含数量关系的语言,把它转化为代数式是解应用题的一个切入点,一般来说,要比数学语句列代数式难度大一些,起始教学中应注意以下几种情况。

（1）把实际问题中的自然语言先转化为数学语句，再列出代数式。

由应用语句转化为数学语句再列代数式是一个难点，也是一个重点，教学中要通过分析和练习使学生掌握这一部分内容，要帮助思维能力差的学生过好这一关。

在初中数学教材后面的内容中，应用题将逐步接触许多实际问题，会逐步加深，这将在后面的“形成阶段”和“提高阶段”中探究。

（2）根据公式，直接把实际问题中的自然语言转化为代数式或等式，例如行程问题中的路程、时间、速度之间的关系，货价问题中的单价、件数、总价之间的关系，都可以由公式给出，根据这些公式就可以直接列出代数式或等式。再如“底为a，高为h的三角形的面积是”等用自然语言表述的求周长、面积公式和体积的问题，可直接利用周长公式、面积公式和体积公式。随着数学内容的不断深化，还会有许多新的公式出现。例如，利率公式，工程问题中的工作总量、工作时间、工作效率之间关系的公式等，教学中要让学生牢固掌握这些公式。

初步接触由图表语言列数学式子

图形和表格是一种信息的载体，它也是一种语言，有图表语言列数学式子是教学的一个难点。在应用题的起始阶段，要由易到难，使学生初步学会由图表语言列数学式子的方法，由图表语言列数学式子主要有下面几种情况：

（1）由图形列式。有些应用题的数量和尺寸是由图形给出的，这就要根据图形提供的数量信息，列出数学式子。

（2）由表格列式。有些应用题是以表格形式给出的

由图形和表格提供的信息列式这类题目,在教学中是经常遇到的,要逐步培养学生识图、看表后寻找关系和列式的能力。这些类似内容都是今后解答应用型问题的最基础的东西,在整个初中数学教学过程中要想方设法让学生掌握好。

二、应用题教学的形成和提高阶段

在做了上述各种教学准备并检测学生基本达标后，学生就可以对不同类型应用题中的各种语句中所体现的数量关系转变为代数式了，然后在根据同量之间的关系或不同量之间的某种公式化关系建立不等式（组）或方程（组），为解决各种类型的应用问题奠定了知识基础。在教学中我重点抓了以下几个方面的内容。

加强数学与其他各学科相联系的应用题的教学

旧教材主要强调的是数学的知识性，应用题大多是工程类、行程类、浓度配比类、数字类等题目。而新课要求下的应用题已不在整齐划一，渗透着数学知识与其他各学科之间的联系。

由此可知,不同的学科有着不同的规律性东西,有的是本学科的成品,有的则需要实验和探索,但这其中不断用着解应用题的基本思想---代数式到关系式

初中数学指数公式例4

昨天的会上，周民书表示，中考招生改革关系每一个家庭的切身利益，关系每一名学生的前途命运。市教育局按照要求，召开不同层次座谈会，召开专家论证会，网上公开征求意见，召开听证会，充分听取社会各界的意见和建议，并对改革方案进行了风险评估和合法性论证。本着积极稳妥、分步实施的原则，在广泛征求意见、充分调研论证的基础上，市教育局对初中学生学业考试与普通高中招生改革方案进行了调整和完善，实行分数制与等级制并行，条件成熟后再实行完全等级制评价与录取。每年中考有7万多九年级考生参加，还有差不多数量的八年级学生参加地理、生物和信息技术的考试，算下来每年全市有10余万个家庭会参与到中考中，加上独生子女的家庭结构，全市有30多万家庭关注着中考，这就决定了这项政策的广泛社会关注度，也导致了中考改革的“一波三折”。

继续实行多元招生等政策

我市将保持招生录取政策总体稳定。继续实行指标生录取、特长生录取、自主招生（含直升生）、统一招生等多元招生录取政策；继续实行第一、第二志愿平行录取政策；继续实行公办普通高中学校按顺序录取，以录取分数线高低决定公办普通高中学校录取顺序；继续划定公办普通高中学校普通班录取资格分数线、公办普通高中学校普通班特长生最低录取控制分数线和民办普通高中学校最低录取控制分数线。与此同时，市教育局还鼓励举办普通高中学校的区市教体局根据当地实际制定普通高中招生改革实施方案。

周民书说，确定中考新政，市教育局划定了三条红线，首先就是尊重民意，在听取家长、老师和专家的意见基础上，从办人民满意的教育角度出发；其次，中考新政力求促进公平。新的中考政策，减少了加分项目，在保证公平的基础上，鼓励优秀人才脱颖而出；最后是提高质量。新政将历史、地理、生物等纳入了分数考核，有利于学生全面发展，而将信息技术等纳为等级考核，则在一定程度上减轻了学生的负担。

新政解读

总分780史地生算分数

从明年开始，我市中考将实行等级制和分数制并行的呈现形式。语文、数学、英语、物理、化学、历史、地理、生物8个科目考试成绩以分数和等级（分ABCDE五个等级）两种形式呈现，思想品德、体育与健康、信息技术3个科目以等级（分及格、不及格两个等级）形式呈现。

普通高中录取总分780分。其中，语文120分、数学120分、英语120分、物理100分、化学80分、历史80分、地理80分、生物80分。普通高中学校统一招生实行按8个科目总分从高到低择优录取，总分相同的考生按学科等级组合择优录取（首先通过语文数学英语等级组合择优录取；如果语文数学英语等级相同，再通过物理化学生物等级组合择优录取；如果物理化学生物等级也相同，最后通过历史地理等级组合择优录取）。第一、第二志愿完成招生计划的普通高中学校，考生思想品德、体育与健康、信息技术科目均须达到及格等级。其他公办普通高中学校优先录取思想品德、体育与健康、信息技术科目达到及格等级的考生。

新政解读

明年取消提前考试制度

从明年开始，不再实行初一学生提前考试制度。初二年级信息技术考试不及格考生，初三年级可以申请重考。本月中旬，市教育局将通过青岛教育政务网（qdedu.gov.cn）公布2012级初中学生 （包括2013级提前参加考试的学生）地理、生物考试分数和等级。今年中考，上百名初一年级学生，提前参加了会考。

此前，不少家长都在担心，完全等级制取消后，孩子所考分数到底将如何处理？昨日，这一问题终于有了答案。周民书表示，2013级提前参加地理和生物考试的学生成绩继续有效，初二时可以再次参加考试，取两次考试成绩。提前参加信息技术考试并取得及格等级的学生不再参加初二信息技术考试，不及格的学生参加初二信息技术考试。

新政解读

直升生名额不再“到校到人”

从2013级初中学生开始，青岛一中、青岛二中、青岛九中、青岛五十八中直升生实行学校自主招生。自主招生方案由招生学校根据全市统一招生政策，结合学校特色发展需要，按照择优、公开、公平、公正的原则制定，经市教育局批准后实施。学生根据招生学校报名条件自主报名，招生学校按照招生方案自主招生录取。

目前，我市直升生是按照学生人数比例，将名额分配到各初中学校，再由初中学校进行推荐，其中获得直升生资格需要通过学生初中三年的学习成绩以及各方面的综合素质评定，之后再经过高中的直升生测试。“目前的直升生政策是将直升生的名额具体给初中学校，学校的直升生名额是确定的，这属于到校到人。”新公布的中考政策，则将直升生的名额从“到校到人”变为“不到校不到人”，不再给初中学校直升生的具体名额，而是市内三区的初中学生只要符合了各高中的报名条件，都可以自主报名，而青岛一中、青岛二中、青岛九中、青岛五十八中则按照各自的招生方案自主招生录取。不过，有家长担心，这一政策，对优质初中学生来说，直升进入高中的机会增多了。 “在有的优质初中，学生在同校竞争中可能无法通过直升推荐，但现在自主报名，优质初中的学生，很有可能就会把其他学校的学生挤下去。 ”

声音1 和高考新政接轨

“新中考政策，和刚公布的高考新政接轨了，有利于学生系统学习。 ”在不久前刚公布的高考新政中，历史、地理和生物等将纳入考生考核范围，虽然以等级形式出现，但却要求学生对这些科目有较深理解。目前的中考，史地生只要达到规定的等级总分再符合规定，就可以被录取，而很多考生把史地生考试的目标定为达到B、C等级即可，新政实行后，史地生在考生中受重视的程度提高了。而将语文、数学、英语等3门课程的总分，设置为120分，区别于其他5个考试科目，则更突出了这3门课程的重要性。 “在新公布的高考政策中，不分文理科，语数外是主课，考生无论考哪个学校，这3门的分数都至关重要。 ”市教育局工作人员说。

声音2 拿到等级也要等

青岛实验初中的洪湛奇，新学期刚升入初二，但她今年在地理科目的考试中已提前拿到A等级。新公布的中考政策，地理成绩将计入总分，意味着已经拿到等级的洪湛奇，还要查看自己的分数。如果分数达到了要求，洪湛奇初三时就不用担心地理了。不过，并非所有的学生都有洪湛奇这样高的等级，有拿了B等的考生表示，等到分数出来，如果不理想他还会继续参加考试，争取拿个分。“终于确定下来了，孩子学习也有了方向，如果再拖延不决，我们都不知道该让孩子向着哪个方向去学了。”家长张先生的孩子今年读初一，对于新政策，他对减负等内容倒不是非常关注，只希望尽快确定下来。“这样调整比较好，毕竟高考新政策就公布出来了，虽然我的孩子不会按照高考新政来，但大趋势是这样，青岛的政策也契合了高考政策。”家长薛女士说。青岛第二实验初中表示，新政策调整了考察科目，对学校教学计划将带来一定影响，他们将根据新的中考政策，及时调整，以便让学生尽快适应。“很多政策，都是从2013级开始，也就给我们的调整应对，留下了充足的时间，因此无论学生还是家长，都不用过于紧张。 ”市教育局工作人员说。

声音3 二中面试加笔试

高中学校自主招生目前已经有两所学校先行试点，分别是青岛6中的创意班和39中的海洋班，尤其是39中的海洋班今年第一年实行自主招生，创下了招收80人报名考生接近1500人的火热场面，但39中也从其中选拔了一批成绩优秀、有浓厚海洋学习兴趣的学生。按照新的方案，各高中学校的自主招生方案中会设定报名门槛，够资格的考生可以自愿报名，不再有名额限制。以往的直升生选拔，因为报名的学生都是学校推荐的优秀学生，青岛2中每年只采取面试的方式选拔。新政公布后，青岛2中校长孙先亮表示，自愿报名之后学生的文化课成绩就不好把握了，因此他们会采取笔试加面试的方式。尽管不得不增加笔试环节，孙先亮表示会优先进行面试然后再进行笔试，“将来我们会先设定报名条件和要求，然后进行面试，面试合格的考生进行笔试，按照面试合格考生笔试成绩从高到低录取。 ”孙先亮认为先面试再笔试是从综合素质高的学生里挑选学习成绩好的；先笔试再面试是从学习成绩好的学生里挑选素质高的，青岛2中更重视学生的综合素质。

中考改革路线图

2013年 4月，市教育局正式印发了《青岛市初中学生学业考试与普通高中招生改革方案》的通知，首次表明从2015年中考开始实行学业成绩等级评价制度。消息公布后，在学生和家长当中引起了较大反响。

2014年6月24日，市教育局召开新闻通气会，公布等级制实施的主要思路和基本原则。2014年 7月9日，市教育局公告，暂缓实行等级制。

2014年8月3日，市教育局公告，拟对青岛中考改革召开听证会。今年8月18日，市教育局 “市内三区初中学生学业考试与普通高中招生改革有关事项的说明（征求意见稿）”。

2014年8月27日，市教育局正式召开了听证会，共有13名听证代表现场发言。2014年9月9日，新版中考政策正式公布。

新政解读

指标生按考分高低排序

从2013级初中学生开始，根据考生第一志愿和学业考试总分确定指标生人选。具体产生办法为：根据初三学生人数，将指标生名额均衡分配到各初中学校。普通高中统一招生录取时，以初中学校为单位，将该校第一志愿报考各优质普通高中学校的考生分别按总分由高到低排序，再根据指标生名额分别确定指标生人选。总分相同的考生按学科等级组合择优确定。被确定为指标生的考生，学业考试总分加30分后参加普通高中统一招生录取。目前，我市实行的指标生政策，是按照一定比例划分出名额给各初中学校，各初中学校参考三年的学业成绩，再根据参与校园活动、班级建设、个人奉献、社会实践等方面的情况，在考前确定指标生名单。被确定为指标生的考生，和其他学生相比，可以带着30分的优势上阵应考。

新政解读

按分数确定名单更公平

初中数学指数公式例5

基本初等函数求导公式：

（1）常数C′=0.

（2）幂函数（xn）′=nxn-1（n非零整数，x∈（-∞，+∞））;

（xα）′=αxα-1（α非零实数，x>0）.

（3）对数函数（lnx）′=1x（x>0）;

（logx）′=1xlna（x>0）.

（4）指数函数（ex）′=ex;（ax）′=axlna.

（5）三角函数（sinx）′=cosx;（cosx）′=-sinx.

（tanx）′=1cox2x; （cotx）′=-1sin2x.

（6）反三角函数（arcsinx）′=11-x2（|x|<1）;

（arccosx）′=-11-x2（|x|<1）;

（arctanx）′=11+x2;（arccotx）′=-11+x2.

从上面这些公式出发，应用计算导数的运算法则，就能根据初等函数的表达式求出其导数，计算导数的运算法则提炼后可以归结为下面五条：

（1）函数线性组合的导数：

（αf（x）+βg（x））′=αf′（x）+βg′（x）;

（2）函数积的导数：

（f（x）g（x））′=f′（x）・g（x）+g′（x）・f（x）;

（3）函数商的导数：

g（x）f（x）′=g′（x）f（x）-g（x）f′（x）f2（x）;

（4）复合函数的导数：

（f（g（x）））′=f′（g（x））g′（x）;

（5）反函数的导数：

若f（g（x））=x则g′（x）=1f′（g（x））

在应用这些法则求导时，所要求的条件简单说来有两条：一条是等式右端的求导运算可以进行，另一条是分母不为零.

以上的公式和法则，还可以再浓缩.就法则而言，由于α（f（x））′=αf′（x）是函数乘积公式的特殊情形，故i）可以简化为函数和的求导法则即（f（x）+g（x））′=f′（x）+g′（x）.函数商和积的求导法则可以用取对数求导的方法导出，也就是

f（x）g（x）・g（x）f（x）′=ln|g（x）f（x）|′

=（ln|g（x）|）′-（ln|f（x）|）′

=g′（x）g（x）-f′（x）f（x）.

整理即得.此外，反函数求导公式可以从复合函数求导的链式法则导出.

这样一来，求导法则中最基本的只有两条，就是函数和的求导法则和复合函数求导的链式法则.

至于基本初等函数的求导公式，则可以归结为三条：C′=0，（lnx）′=1x和（sinx）′=cosx.

于是，初等函数的求导，归根结底就是两条求导法则和三个函数的导数公式，这五条要从定义出发推出来，其他的则可以从这五条推出来.

这样归纳虽欠严谨，但有助于从总体上理解把握，万一没把握好，就从这五条推一推，具体运用时，还是熟练掌握为好.

【参考文献】

初中数学指数公式例6

1.提高了学生学习积极性。学生课堂参与情况在极大程度上影响着教学效果，为提高学生课堂参与度，培养学生参与意识是首要任务。“强化学生在数学教学课堂中的参与度，培养学生主人翁意识，让学生成为真正的课堂主人，乃当今数学教学趋势所向。”初中数学变式教学在课堂中的运用，使得多题重组和一题多用被普遍认同，给学生以新鲜感受，激发了学生求知欲和好奇心，能在很大程度上提升学生参与积极性和主观能动性，进而保证了课堂教学活跃氛围和质量。

2.发散了学生思维。初中数学变式训练在教学课堂中的运用使得学生不在局限于事物表象，而是自觉深入到探索事物本质上，看待问题比较全面，能从多个角度分析事物，学会了寻找各个事物间的相互联系，并以此来理解事物本质特性，这样就减少和克服了因绝对化的思维模式导致的思维惰性和思维僵化，发散了学生思维，让学生思维走向多方向发展道路，扩宽学生思维模式。

3.创新了学生思维模式。思维的创造性作为衡量学生思维水平重要标准之一，思维的创造性体现在学生能够探索、分析、创新、发现及解决他人或自己并未发现过或还尚未得到解决问题，而想培养学生这种可贵思维模式，势必要为学生提供有发现价值的材料。初中数学教学引起材料的有限性，导致某些有价值的内容不可避免出现欠缺现象。而导致这一缺失现象本质原因在于对数学规律和原理教学阐述时，大多将数学家真实的发现过程省略了。对此，教师就需要进行弥补，通过研究对象变式来设计规律材料，指引学生去发现，并利用已学知识探索和分析，从而培养学生创新思维模式。

4.培养了学生评判思维。“初中数学教材中，很多内容存在着相似之处，数学中许多方法、定理、公式、法则和概念，由于他们内容的相似性，使得大多学生学习时，难免存在混淆。”而对比、辨析、演变就是针对某一具体问题提供正误答案，然后让学生在分析、思考基础上判断哪个错误以及哪个正确，同时给出理论依据和计算过程。这种变式教学法，能够让学生看清问题本质，掌握问题实质所在，客观的对事物教学评价，提升学生辨别是非能力，进而培养出学生的批判思维。

二、初中数学变式训练对优化课堂教学的作用

1.协助学生理解基础概念。概念作为数学知识基础内容，初中生要想将数学学好，掌握概念本质和理解概念的内涵与外延是前提。只要这样就可形成准确的数学概念并将各知识点有效串联，形成系统化知识，以便游刃有余地解决相关数学问题。课堂教授数学概念时，将变式训练运用到课堂中，首先可引导学生主动探索问题，形成数学概念，然后再通过对概念非本质的属性进行改变，让学生深刻理解概念的本质特征，进而提升学生区分和辨别相关概念能力。

2.加大了学生对公式灵活运用的程度。初中生在学习数学公式时，大多采取机械式被动记忆，这种背公式方法，让学生虽然将公式记在脑中，却不知如何运用，判断学生是否真正掌握公式标准在于看其灵活运用公式与否。对此，数学课堂中，若能在短短几十分钟内让学生看到尽可能多公式的变形样式，同时在各类形式中发掘内在规律，就可在指导学生更好记忆、运用公式基础上，培养学生归纳和洞察能力。采取多样式变式能有效达到以上目的，成为课堂教学优势所在。

例2 辨析下列式子是否能用平方差的公式进行计算，同时指出公式里a、b.

第一组：（3m+4n）（3m-4n）；（-3m-4n）（3m-4n）；（-3m+4n）（-3m-4n）；（-3m-4n）（3m+4n）.

第二组：（3m+4n+3）（3m-4n-3）；（-3m-4n-3）（-3m+4n+3）；（-3m+4n+3）（-3m-4n+3）；（-3m-4n-3）（3m-4n+3）.

通过以上两组变形就可加深初中生对平方差公式的认识与掌握，同时发现平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2里，a和b不仅可以为字母，同样可以为负数或正数，再或者为代数式，进而可通过变式公式掌握公式本质特点。在学生理解a、b特点之后，就可通过进一步变换式子的形式，来培养学生把所探索到的规律运用到解题中。

3.推动学生对解题方法的正确掌握。虽然数学习题变化多样，但是采取题海战术进行数学的学习不是教学所推广的。为有效避免题海战术，教师需要正确引导学生对问题进行多角度探索。针对一道题采取各种方法进行解答，或者将某道题解答方法巧妙运用到另外一类题型中，通过类比方法，熟练掌握相似题型解题手法。而为了实现以上目标，教师要采取变式训练教学方法，有目的的指引学生在变化题目里找寻不变规律。

初中数学指数公式例7

新课程标准中提出了相关的规定，要求在初中数学课程的改革中，不但要将教学观念的改变突出，而且需要考虑到数学教学的特征，遵循数学课程规律，注重将数学知识与实际生活相联系，使抽象的数学知识变得更加具体化，便于学生加深对所学知识的理解。在初中数学课程教学中，老师作为教学的合作者、引导者与组织者，在教学过程中要突出学生的主体地位，改变以往学生被动学习的模式。不过，从目前的初中数学课程教学情况来看，其中仍然存在较多的问题，为此，必须采取有效的措施将数学课程教学中存在的问题解决，转变教学模式，才能提高数学教学质量。

一、初中数学教学中存在的问题

1.探究方式不科学

现阶段，尽管部分初级中学已经采取了探究式教学模式，不过应用效果不够理想，从探究方式上看，存在不合理之处。在数学课堂教学中，探究方式仅仅局限于学生、老师间的问答交流，小组讨论的情况较少，且在交流过程中，没有找出问题的核心内容，难以训练学生的数学思维。以往的探究方式仅停留于表面，无法取得实际成效。例如，在讲述线段垂直平分线的知识点时，老师将学生分为多个小组，指导学生自己动手将纸对折，形成折痕，并选取线段垂直平分线上的点，对任一点到两端点距离进行测量，分析各距离是否相等。这一过程看似应用了探究式教学，不过探究内容比较浅显，学生的操作活动并无太大意义。

2.探究问题设计缺乏新意

在初中数学教学中，部分老师探究问题设计缺乏新意，在整个教学过程中，学生只能够被动接受知识，这种探究模式并不能取得理想的教学效果，学生思考问题、分析问题的能力不能得到锻炼，难以提高初中数学课程教学质量。

3.探究时间没有得到有效安排

在数学课程教学中，部分老师并未合理为学生安排探究时间，老师完成分组后，讨论时间不超过3分钟，就询问学生的讨论结果。学生因讨论时间过短，并没有真正获取讨论结果，最终仍然采用学生听、老师讲的教学模式，导致学生主体地位无法突出。

二、探究性教学在初中数学课堂教学中的应用

1.将探究性教学应用于数学知识体验形成中

在数学教学中，首要环节就是概念教学，概念教学的任务在于明确概念内涵，并适度给予延伸，鼓励学生独立思考问题，利用概念将问题解决。在数学教学中，通过使用探究性教学，可以让学生将数学概念属性抓住，并了解数学知识的内部联系，也就不会沿袭传统的机械记忆概念教学模式。例如，老师可以组织学生探讨、讨论某个问题，并将概念与学生已有知识结构相融合，通过这种教学方式可以使数学知识学习中的难点得以突破，对概念有更加全面、准确的理解。

2.将探究性教学应用于公式、定理发现过程中

数学课程的学习实际上是一个再创造、再发现的过程，数学中包含大量的公式、定理，逻辑性非常强，所有的公式、定理都需要论证，有确切的论据。在发现公式、定理的过程中，老师要指导学生进行论证，公式属于特殊命题，通过采用探究性教学模式，可以使学生明确公式、定理的来源，加深他们对知识的理解，更有利于学生记忆公式。在公式、定理的论证中，学生提出问题、分析问题、解决问题的能力能够得到锻炼，有利于培养他们的逻辑思维。

3.在探究性教学实施过程中注重将数学知识与实际生活相联系

数学知识的学习不能仅仅停留在课本上，而是要将数学知识与日常生活联系起来，以充分发挥数学知识的作用，使学生意识到数学课程学习的重要性。在数学课程探究性教学模式中，老师可以引用实际生活中遇到的问题对学生进行提问，例如环境资源调查、道路交通情况、货款利息计算、股票风险、企业盈亏计算等。

目前，我国初级中学数学课程教学过程中仍然存在一些问题，为了提高初中数学课程教育质量，必须变革教学模式。探究性教学模式的应用可以对初中生的实践能力、创新能力进行培养，有利于活跃课堂氛围，激发学生的学习兴趣，提高初中数学课程的整体教学质量。

初中数学指数公式例8

以邓小平理论、“三个代表”重要思想为指针，以《中国共产程》、《中国共产党基层组织选举工作暂行条例》为依据，通过

“公推直选”，进一步扩大学校党组织领导班子的群众基础，提高群众的信任度和认同感，进一步扩大党内民主，充分尊重和保障党员的民利，体现党员意志，同时提高党支部领导班子的政治思想素质和服务意识。

二、组织机构

1．“公推直选”指导小组

组长：

组员：

负责学校“公推直选”工作的指导和组织领导。

2．“公推直选”工作小组

组长：

组员：

负责相关工作的实施，向教育局党委报告情况，资料的收集和整理等工作。

三、人员设置

华蓥市高兴小学党支部设支部委员3名，其中书记1名。

四、方法步骤

“公推直选”工作按以下六个阶段进行。

1．宣传发动阶段（10月26日－11月1日）

党支部结合学校实际，研究制订具体的实施方案，实施方案提交学校党员大会讨论通过。通过召开教职工会议和广播、标语宣传等方式，组织教职工学习相关的党内选举条例、宣传“公推直选”的目的意义、程序办法，宣传学校党支部成员的任职条件等，使广大教职工充分认识实施“公推直选”的重要性，引导他们积极主动参与，选好配强学校党支部领导班子。

2．组织推荐阶段（11月1日－11月3日）

被推荐对象的范围为全校符合条件的党员，一般应推荐在职在岗党员。可采取教职工会议或教职工代表会议推荐、群众联名推荐、党员推荐、个人自荐等方式产生学校党支部书记及支部委员初提候选人。支部书记和委员推荐人选必须是党组织关系在所在支部的、2年以上党龄的正式党员。以会议无记名推荐的，参加推荐的群众和党员应不少于总人数的60%。推荐结束后，要当场开箱计票。根据推荐得票数，按正式候选人数的120%－150％确定出初提候选人（支部书记的初提候选人不少于3名）。推荐出的人数不足正式候选人的120％的，可采取会议推荐，以无记名方式推荐候选人，补足120％。推荐结果报市教育局党委审查。

3．资格审查阶段（11月3日－11月4日）

市教育局党委对学校党支部上报的初提候选人名单，进行资格审查。审查的内容主要包括：是否是正式党员、是否有被选举权、是否符合任职条件、本人是否愿意担任学校党支部成员等事项。如有不符合任职条件的或自己不愿意担任学校党支部成员的，可从群众推荐的人选中按得票数顺延上报。

4．公示阶段（11月5日－11月9日）

将资格审查后符合任职条件的初提候选人的基本情况通过校务公开栏、广播等多种形式和途径向广大群众进行公示，公示时间3－5天。公示期间，如有举报，学校党支部和局党委要及时进行调查核实。公示期满，符合任职条件的即为初提候选人。

5．正式候选人确定阶段（11月10日－11月15日）

学校组织召开党员和教职工会议，由公示期满符合任职条件的初提候选人在党员和教职工会议上进行竞职演讲，然后由全体教职工以无记名投票方式对支部书记、委员初提候选人投信任票。参加会议的党员数应超过党员总数的五分之四，教职工代表数至少应过半，方能进行投票。每位参会人员按正式候选人数等额投信任票。监票员从不是初提候选人的参会人员中产生，计票员在工作人员或不是初提候选人的参会人员中指定。

按得票多少确定2名支部书记正式候选人，差额1－2名确定支部委员正式候选人。支部书记、委员正式候选人的得票必须超过到会人数的半数。若超过半数的支部书记初提候选人多于正式候选人数的，按得票多少由高到低确定；若超过半数的支部书记初提候选人少于正式候选人，则对未超过半数的初提候选人再次进行投票，等额补足；若出现得票相等，不能确定正式候选人的，则对得票相等的初提候选人再次进行投票。信任投票落选的支部书记初提候选人直接作为委员候选人，参加选举，产生委员正式候选人。落选的支部书记正式候选人直接作为委员正式候选人，参加委员的正式选举。

6．正式选举阶段（11月10日－11月15日）

全体教职工大会进行信任投票，产生正式候选人后，庚即召开党员大会，按《中国共产党基层组织选举工作暂行条例》，以无记名投票方式差额直接选举支部书记和支部委员。若出现不能确定当选人，按投信任票的办法，重新投票选举。选举结果报市教育局党委审批。审批确认后，选举出的支部书记要与市教育局党委签订任期目标责任书。

初中数学指数公式例9

2.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.

2 教材内容编排（以华师大版为例）

九年级第22章《一元二次方程》的内容有两个方面：

1.一元二次方程的基本概念及其解法；

2.一元二次方程在实际问题中的应用――实践与探索.

对于“一元二次方程根的判别式”、“一元二次方程根与系数的关系定理”教材中以“阅读材料”和“实践与探索”形式出现.

3 对一元二次方程教学内容的看法

1.新课标对教材编写的建议

在贯彻《数学课程标准》的基本理念和保证《数学课程标准》规定的基本要求的前提下，考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性，教材的内容设计要体现一定的弹性，满足学生的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展，同时便于教师发挥创造性.

2.对一元二次方程教学内容的看法

依据《数学课程标准》的要求，教材没有将一元二次方程的根与系数的关系列为必学内容，但考虑到这个内容的重要性，如对部分学有余力的学生可以进一步扩大对一元二次方程的认识，教材在实践与探索中安排了有关内容. 同时，本章内容与老教材相比，弱化了一元二次方程根的判别式这一概念及应用，仅以阅读材料的形式出现了一次. 这样既突出了一元二次方程的解法和应用这一重点，又为学有余力的学生提供了平台.

4 教学建议

一元二次方程这一内容的地位较为特殊，从《数学课程标准》上看，本章内容与过去的大纲相比，不仅在知识内容上有所删减，在教学要求上也有所调整. 从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能，教师教学时要注意把握好教学要求，将教学内容限制在《数学课程标准》和教材所规定的范围内. 例如，在讨论一元二次方程的解法时，只要求学生理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.

[JP2]本章的内容是进一步学习函数、方程、不等式等内容的基础，学生若掌握不好，会给后继的学习带来许多困难，所以教学中教师要切实关注每一个学生的学习状况. 同时，本章内容又为发展学生个性和特长提供了素材，对于“一元二次方程根的判别式”、“一元二次方程根与系数的关系定理”，教材中以“阅读材料”和“实践与探索”的形式出现，我们在教学中，可组织学生进行这方面的探究活动，要求学有余力的学生认真阅读和思考，帮助他们加深对所学知识的理解，教师要选择对学生今后学习、解决问题、思考问题的方法有作用的题目，不要为了训练难题而做题. [JP]

5 新课程初高中教材衔接问题讨论

有关教材衔接的问题，也不是这次课程改革才有的新鲜事，早在20世纪80年代的人教版教材改版的过程中就有过初中和高中教材衔接不上的问题，我记得当时初中教材删除了“指数与对数”，可高一（上）教材开始就要学“指数函数和对数函数”，老师讲了半天可学生就是不懂，仔细了解才知道，学生在初中没有学习“指数和对数”，难怪他们不懂，所以只好先停下来，给他们补上初中教材“删除”的“指数和对数”，然后再教学新的内容“指数函数和对数函数”.

这次的新课程教材也出现了类似的问题，如“十字相乘法分解因式”这个内容在初中新课程标准中就去除了，教材中自然也就没有涉及，可学生们在解一元二次方程时就遇到了比较大的麻烦，本来有些用“十字相乘法”很快就可以解决的方程，学生由于没有学习“十字相乘法”，所以就只好用“配方法”或“公式法”来求解，这样无疑要花费比较多的时间. 高中老师在解决有关涉及解一元二次方程内容时，看到学生们用如此“笨”的方法求解，就难免感叹了. 当然，他们并不了解学生们在初中没有学习“十字相乘法”. 所以，我倒认为“十字相乘法”不应该完全删除掉，不妨在初中还需要要求学生掌握简单的（二次系数为1）“十字相乘法分解因式”.

还有“一元二次方程的根与系数的关系”、“立方差（和）公式”等这样的内容，“根与系数的关系”在新课程标准中没有提到具体要求，只在新课程教材的阅读内容或探索材料中有涉及；而“立方差（和）公式”在新课程标准和新教材中都不涉及到. 这些内容在高中学生学习函数的单调性的时候或者解决有关解析几何问题时都要用到，而初中教材没有让学生掌握，高中教材也没有安排这些内容的学习，显然是一个教材衔接中的不小的问题. 估计类似的问题还不少，值得制定新课程标准的专家和有关教材编写机构引起足够重视.

初中数学指数公式例10

把变式教学融入数学基本概念中是数学变式教学的创新之举，具体要求学生和教师掌握概念的引入、深化以及巩固变式。在概念的引入变式中，教师需要把抽象知识和客观实际相结合，把数学还原到实际生活中，在这之后再引入到教学活动中。在这一过程中，学生认识事物的能力得以提升，主观创造性更为明显。数学教师在这一过程中应该间接的展示数学知识，隐藏正确的理论结果，只给出线索让学生会主动探究。当然，最主要的是要赋予学生权利、时间和空间，让学生主动寻求真理，在相对具体的概念中了解变式教学的含义。同时，教师还需要落实“摸着石头过河”的原则，鼓励学生大胆探索，不怕失败，在探索和失败中发散自己的思维，加深对概念的理解。概念的引入变式侧重研究经验和概念的关系，并以建立两者之间的联系为主要内容。而在深化变式中更要求学生深入理解概念知识，化浅层理解为深层理解，真正掌握概念的本质。

例如，数学例题：“以十进制作为前提，假设一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，称它为递降正整数，所有这样的递降正整数的个数为（）A.1002 B.1013 C.1005 D.1012”在这道例题中涉及分类记述原理知识和正整数以及十进制的概念，教师需要指导学生掌握分类计数原理以及正整数和十进制的概念，结合具体题型加深学生对这一原理及概念的认识，纠正学生只背诵概念而不深入了解其内容的错误思想。

在巩固变式中，教师需要强化学生的课后练习，让学生在练习过程中夯实基础知识，指导学生充分掌握和理解数学基础概念，在此基础上为学生今后的学习做铺垫。

二、把变式教学融入数学命题中

数学命题主要涉及了数学定理和公式，为了充分发挥变式教学的作用，教师需要指导学生从数学命题中挖掘具体的定理和公式，并从中观察是哪个公式或者定理的变形。通过这种方式可以让学生用发现的眼光看问题，并提高学生的辨别能力，全方位地掌握课本上的定理与公式。从而帮助学生形成逻辑思维和严谨科学的思考方式，让学生能够真正思考回答题目要求，提高成绩。

数学来源于生活，数学命题大部分也是在生活中诞生的。作为数学教师在指导学生分析数学命题时需要把涉及的内容还原到客观实际中，让学生透过卷面上的表述看到探求其本质意义。或者直接变式题目，让学生在尊重原有知识结构观念的前提下出发，探究生活中的数学，寻求生活和数学命题之间的联系，更好地掌握数学命题中所考察的定理和公式。而学生需要从不同的角度思考、探究数学命题的多证变式，用质疑的态度建立自己的观点。同时，教师还应该要求学生比较不同方法，变换观察角度，让学生在自己提出定理和公式之后用质疑的态度投入到学习之后。认真观察和思考公式内容，从探究和思考中培养探索意识和创新能力。定理、公式的变形变式与以上两种不同，它侧重探求定理、公式的变形和推广形式，并用之解决相关问题。例如，三角形内角和定理“三角形三个内角和等于180度”从这个定理中得出了三个推论“推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这三个推论从一定程度上来讲是总公式的变形，教师需要引导学生熟练的应用这些变形的公式，透过现象看到公式的本质，在运用时考虑可能出现的情况，培养学生快速解题的能力。

三、把变式教学融入数学语言中

在数学语言中实现变式教学主要指文字语言、图形语言和符号语言之间的转换。有的数学问题需要借助符号语言，而有的数学问题则需要借助图形语言，这要因题而异。