数学解决问题的概念例1

人的认识过程是一个由表及里，由现象到本质的心理活动，人们获得知识或运用知识的过程开始于感觉与知觉。而数学概念具有定义性、抽象性，它比较单调，在教学中显得呆板、枯燥、不灵活。同时，由于学生受知识水平、年龄、认知等因素的限制，对定义性概念的理解有一定的难度，感性上难以接受生涩干巴的抽象理论。所以，在教学有关数学概念时，可以通过具体的实物演示或者是学生身边的事物，让他们联系自己的生活实践，从具体形象的感性认识中去体会、理解抽象生涩的理性概念，加深他们对概念的理解。例如：我在教学"长方形"时，讲解了长方形的概念，就让学生摸摸自己的文具盒、课本，看看教室里的黑板、课桌凳、墙壁……等实物图形，然后结合实际情况再进行长方形的周长、面积等内容的教学。从而使学生把感性的认识上升到了理性，知道了长方形是咋回事，教学的难度就降低了。

学生学习概念不光是在课堂上的理解，还应该到实践中去体会、认识、检验，让学生动手操作，把理论和实践联系起来，形成学生自己的理性认识，加深对概念的理解。如：教授完长方形周长这一概念之后，可以让学生用纸张折叠图形，量量课本、文具盒和教室的四边，再去量量球场四边的长度来加深他们的理解，强化认知，从而是学生对长方形周长的由感性认识上升到了理性认识。

二、从旧知入手，通过比对、理解，学习新知

知识是呈螺旋形上升的，数学学习也具有一定的连贯性和递增性，前边的知识是后边知识的基础，后边的概念是对前面知识的总结和深化。对于相关概念的教学应该充分运用已有的知识，在复习旧知的过程中要想方设法加入新的内容，通过新旧内容的反复比对、体会，逐步引导出新的概念，进而使学生能够准确牢固的理解新概念。由于学习新知有学生自己的参与和体验，学生的情感在参与实践中得到升华，进一步激发了他们探求新知的欲望和自主学习的信心。

对一个新概念的学习，教师首先要分析这一概念是建立在那些已学过的数学概念的基础之上的，然后再从复习旧知识入手引出新概念，使学生明确了解新旧知识之间的联系和区别，这样既复习了旧课又开启了新授。对新的概念的学习理解，教师要强调学生把所学的内容，与一些容易纠缠在一起而难以分清的相关内容进行反复比较，引导他们正确而有辨别地去接受，这样既巩固复习了旧知识，又促进了对新知识的理解认识，达到进一步学习的目的。概念的认识是为解决实际问题而准备的，概念的运用过程则是对新知识进一步理解认识的过程，对新概念的运用，可以使学生更深刻的认识和理解所学到的知识，并为下一步的学习准备了必备的条件。例如：教学"圆锥体体积的公式及运用"这一节课时，我是在学习了圆柱体体积公式之后进行的，对圆锥体体积公式的推导则是运用了"圆柱、圆锥"相互比较的手法来进行的。首先，让学生观测到圆柱、圆锥是"等底、等高"的，再用等底等高的圆锥容积来量等底等高的圆柱容积（注意点：圆锥、圆柱一定要强调是等底等高），引出了圆锥体体积是圆柱体体积的三分之一，推导出了圆锥体体积计算的公式为：圆锥体体积=等底等高圆柱体体积÷3，然后根据圆柱体体积公式模式导出圆锥体体积的公式模式，其为：

圆锥体体积=等底等高圆柱体体积÷3

=底面积x高÷3

=1/3底面积x高

=1/3sh

公式推导出来了，用相关因素进行比较，可以强化学生的理解。如提问：圆柱体体积等于圆锥体体积的3倍，"对不对？"教师用图例、实物比较等手段启发学生一定要记住是等底等高，学生通过观察比对、思考验证得出的回答是："不等底等高就不一定。"再去让他们分析原因，师生共同探讨，寻根究底，强化了认识，也巩固了知识要点。

数学解决问题的概念例2

1.概念的类型

从概念的来源来看，我们教材中的数学概念分为两类：第一类是客观世界中的直接抽象，源于客观世界的数量关系和空间形式，如几何图形、自然数等，这类概念由于有直观的原型，学生更容易理解；第二类是从已有数学理论出发，以此为基础从逻辑关系建构的，如映射、群、环、域等，这类概念要求学生有更高的抽象思维的能力.两类概念相比，学生在学习第二类概念时难度高于第一类.

2.概念的直观背景

什么是数学概念的直观背景呢？

学生的学习并非孤立的，数学学习亦是如此，数学概念的直观背景指的是包括图形、符号、实物模型等在内的与概念相关的直观形象，“直观背景”有助于学生理解抽象的数学概念，能有效减轻学生从数学现象和感知转向抽象概念过程中存在的理解上的负担，促进学生对数学概念本质的提取，促进概念意象的形成和理解.不过，任何的直观性背景材料都有存在局限性，学生在学习的过程中容易出现部分代替整体，或受到非本质背景的学习干扰，对学生的概念学习产生影响.为了帮助学生深入理解概念的本质特征，笔者认为

在概念学习的初期，最好选择低干扰的例子避免学生被非本质背景的影响，在概念学习的后期尤其是复习阶段，学生对于概念有了较深的理解后，可以选择具有高干扰背景的例子引导学生在辨析的过程中进行概念的巩固和内化.

3.概念的原型

所谓的原型，指的是在表征数学概念的本质属性时最具典型性的标准实例.从高中数学教学概念的原型分为如下几个：

（1）实例原型：例如我们在和学生一起学习等比数列时举的《国王与棋盘》的故事；

（2）图形原型：例如我们在和学生一起学习“圆”的概念时，圆的图形就很典型；

（3）表达式原型：例如我们在和学生一起学习“双曲线”时，x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）这个原型就比y=1x更容易想到；

（4）操作式原型：例如线面角的概念.

二、对策研究

1.注重学情的分析，精准把握问题切入点

不同的学生数学学习情况不一样，其认知基础、学习习惯和知识结构都存在差异，我们如果不对学生进行学情分析，或照本宣科、或凭经验盲目地进行设计问题都容易导致问题设置的低效，笔者认为基于问题解决的高中数学概念课在问题的设计上必须对学情进行准确的把握，据此制定教学目标和设置有效问题.当然，问题的切入点不仅是要考虑学生认知的起点，还应该考虑学生从起点到目标达成思维上和问题解决上所需要的持续性条件.

例如，在和学生一起学习最简三角方程时，在考虑了学生的认知基础后，问题的设置从求sinx=13的解集入手，从解决具体的方程的解集入手，以此问题作为跳板再求sinx=a的解决，完成最简三角方程sinx=a解集的探究.这样的做法符合学生的从特殊到一般的认知和思维习惯.

2.制作认知冲突，力克相异构想

学生在学习一个具体的数学概念前并非空着脑袋的，原有概念体系与新概念之间有联系也有存在冲突的地方，甚至有些学生在学习过程中的想法与科学的概念相背离即出现了相异构想.

例如，笔者在和学生一起探究“向量数量积的运算性质”时，从学生原有的实数乘法的运算性质出发，暴露学生的问题，然后再解决问题发现运算性质.

3.注重问题对知识学习进程的驱动性作用

基于问题的高中数学概念教学离不开问题的设置，那么问题起到什么作用呢？笔者认为我们在进行教学设计时，对于问题的具体作用一定要做到心中有数，每一个问题的设计意图应该是清晰且具有指向性的，唯有如此，问题才能具有学习驱动性，不断地激活并将学生的思维方向调整到概念的自主构建活动中来.

4.问题解决中注重数学思想方法的渗透

数学思想方法是高中数学的精髓所在，基于问题解决的高中数学概念课教学在问题解决的过程中应该注重思想方法的渗透，让学生习得的不是孤立的知识和概念，而是有血有肉有骨头的完整的数学.

例如，笔者在和学生一起“学习圆的标准方程时”，设置问题情景，学生在解决问题的过程中就可以融入解析几何的基本思想，算法思想，作图及方程的思想等等.首先，问题式导入，然后生成问题，在解决问题的过程中渗透多种思想方法.

问题1：圆是如何定义的？（到定点的距离等于定长的点的集合.）

问题2：如何使用三点确定一个圆？（可以在不共线的三点上作圆.）

问题3：你们如何使用三点作圆？（学生开始尝试画圆，并相互探讨，生成新的问题）

生成新的问题4：如何将几何问题归纳为代数问题，将代数问题归纳为方程问题？

那么如何解决问题呢？和学生围绕问题进行探讨，利用方程研究圆，在问题的解决过程中渗透多种数学思想方法，可以依据教学的内容，引导学生运用算法思想设计出一个框图.

5.设计分层性作业，激活所有学生的思维

学生是教学的主体，这里说的学生不仅仅是尖子生和高考中能够冲击高分的学生，还应该包括临界生和后进生.在概念课后的作业布置上应该满足于所有层次学生数学思维、数学学习兴趣发展的需要，为此，数学作业必须要有层次性.

（1）双基题，这个层次的数学作业是最基本的问题，目标指向满足于基础较为薄弱的学生思维发展需求，帮助学生有效复习最为基本的知识和规律.高考中的中档题甚至于难题都是由双基构成的，注重双基题的作业设计有助于学习薄弱的学生夯实基础.

数学解决问题的概念例3

一、重视数学基础知识教学和基本技能训练，为问题解决打好基础

当人们面临新情景、新问题，试图去解决它时，必须把它与自己已有知识联系起来，当发现已有知识不足以解决面临的新问题时，就必须进一步学习相关的知识，训练相关的技能。应看到，知识和技能是培养问题解决能力的必要条件。在提倡问题解决的时候，不能削弱而要更加重视数学基础知识的教学和基本技能的训练。教给学生哪些最重要的数学基础知识和基本技能，是问题的关系。目前，《全日制普通高级中学数学教学大纲》中关于课程内容的确定，已为更好地培养我国高中学生运用数学分析和解决实际问题的能力提供了良好的条件。我们要继承高中数学教材编写中重视数学基础知识和基本技能的优良传统和丰富经验，编出一套高质量的高中数学教材，以下仅对数学概念的处理谈点看法。数学概念是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。概念教学是数学教学的重要组成部分，正确理解概念是学好数学的基础概念教学的基本要求是对概念阐述的科学性和学生对概念的可接受性。目前，对中学数学概念教学，有两种不同的观点：一种观点是要“淡化概念，注重实质”，另一种观点是要保持概念阐述的科学性和严谨性。高中数学课程的建设也面临着同样的问题。笔者认为，对这一问题的处理应该“轻其所轻，重其所重”，不能一概而论。提出“淡化概念，注重实质”是有针对性的，它指出了教材和教学中的一些弊端。一些次要和学生一时难以深刻理解但又必须引入的概念，在教学中必须对其定义作淡化（或者说浅化）的处理，有的可以用白体字印刷，来表明概念被淡化。但一些重要概念的定义还是应以比较严格的形式给出为妥，否则，虽然老师容易判定这些概念的定义是被淡化的，但是学生容易对概念产生误解和歧义，关键在于教师在教学中把握好度，突出教学的重点。还有一些概念，在数学学科体系中有重要的地位和作用，对这类概念，不但不能作淡化处理，反之，还要花大力处理好，让学生对概念能较好地理解和掌握。例如，初中几何的点概念、高中数学的集合等概念，是人们从现实世界广泛对象中抽象而得，在教材处理中要让学生认识到概念所涉及的对象的广泛性，从而认识到概念应用的广泛性，另外学生也在这里学到了数学的抽象方法。对于数学概念，应该注意到不同数学概念的重要性具有层次性。总之，对于数学概念的处理，要取慎重的态度，继承和改革都不能偏废。

二、通过鼓励学生猜想和探索，提高学生解决实际问题的能力

要培养学生的创造能力，首先是要让学生具有积极探索的态度，猜想、发现的欲望。教材要设法鼓励学生去探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，提出问题。学生学习的过程本身就是一个问题解决的过程。当学生学习一门崭新的课程、一章新的知识、乃至一个新的定理和公式时，对学生来说，就是面临一个新问题。例如，高中数学课是在学生学习了初中代数、几何课以后开设的，学生对数学已经有比较丰富的感性认识，教科书中是否可以提出，或者说应该教学生提出以下的一些问题：高中数学课是怎样的一门课？高中数学课和小学数学、初中代数、初中几何课有什么关系？数学是怎样的一门科学？这门科学是怎样产生和发展起来的？高中数学将要学习哪些知识？这些知识在实际中有什么用？这些知识和以后将要学习的数学知识、高中其它学科知识有些什么关系，有怎样的地位作用？要学好高中数学应注意些什么问题？当然，对这些问题，即使是学完整个高中数学课程以后，也不一定能完全回答好，但在学这门课之前还是要引导学生去思考这些问题，这也正是教科书编者所要考虑并应该尽可能在教科书中回答的。笔者认为，在高中数学课中可以安排一个引言课。同样，在每一章，乃至每一单元都应该考虑类似的问题。无论是教科书的编写还是实际教学，在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”：有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导、点拨学生。不要在任何时候都让学生亲自去猜想、发现，那样要花费太多的教学时间，降低教学效率。此外，在探索、猜想、发现的方向上，要把好舵，不要让学生在任意方向上去费劲。

三、从现实生活密切相关实际问题出发，提高解决实际问题的能力

数学解决问题的概念例4

数学概念是数学学科的基本组成元素，是数学之本、解题之源。然而，在学习数学的过程中，很多学生恰恰就是因为对数学概念的一知半解，对概念的理解只是停留在形式化的表面，而没有深入了解概念的内涵，从而导致在解题过程中出现了很多的问题。面对这些问题，作为高中数学教师，我们应当如何开展数学概念教学工作呢？

一、数学概念的引入

概念的形成是一个积累渐进的过程，因此，在概念教学中要遵循从具体到抽象，从感性认识到理性认识的原则。

（1）用实际事例或实物模型引入概念。在进行概念教学时，应注意创设情境，让数学与学生的生活结合，在现实问题的解决中发现数学概念、形成数学思想方法，更能促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用数学经验去解决问题。

（2）在旧概念基础上引入新概念。任何数学概念都有与之相关的概念，在教学中以学生已掌握的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别和联系。例如，在引入偶函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉的函数f（x）=x2，g（x）=|x|的图像，学生很容易看出图像关于Y对称。教师提出问题：你能从数的角度说明它为什么关于Y对称吗？学生根据初中对对称的认识，利用自变量x的值对称取值，观察他们的函数值。于是，学生计算了f（1）、f（-1）、f（2）、f（-2）、f（3）、f（-3），学生猜想，x取互为相反数的两个值，它们的函数值相等。教师追问：是对所有的x都成立吗？于是，学生计算f（-x）与f（x），发现相等，然后教师给出这类函数的名字为偶函数。

二、数学概念掌握和理解

数学概念之间，既相互联系又相互区别。在教学中，我们可以把相近的或学生易于混淆的数学概念搜集整理，并引导学生进行对比，找出其联系和差异，在比较的过程中使学生深刻理解和记忆概念。如平面向量与空间向量，平面角与空间角，函数、方程与不等式，映射与函数等，在教学中要尝试引导学生去寻找、分析其联系与区别，使学生掌握概念的本质。如函数概念有两种定义：初中给出的定义是从运动、变化的观点出发;高中给出的定义是从集合、对应的观点出发。从历史上看，初中定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它可用图像、表格、解析式表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。

三、概念的巩固

正确的概念形成之后，往往记忆不牢，理解不透，这就要求采取措施，有计划、有目的地复习巩固，在应用中加深理解和提高认识。在平时的教学实践中，我尝试了以下两种方法巩固概念。

其一，利用变式巩固概念。在引导学生着重正面理解概念的同时，也可以通过反例以及容易引起对概念发生误解的问题，通过设问和变式来正确地把握概念。

其二，利用旧概念巩固新概念数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇心以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

四、新概念的应用

在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成，在学习任何一个概念之后，我们都会完成教材中的例题练习，来巩固概念，而这一环节实质上就是学生课前自学质疑、课堂交流展示、互动探究等过程，也就是解题教学过程。学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学，对于容易混淆或难以理解的概念，因此，前面应用概念的目的就不仅仅是巩固概念这一条，还应该科学地整理来自于例题习题训练中所生成的感性的理解，借助典型示例，运用分析比较的方法，挖掘概念间的联系和区别，以及分析应用概念过程中出现失误的原因。

总之，在数学教学过程中，概念教学不只是整个数学教学工作的重要组成部分，更是开展一切数学教学活动的前提条件，只有搞好了概念教学才能够进行接下来的学习活动。因此，每一个数学教师都要充分认识到概念教学的重要性，并且认真对待概念教学工作。这样才能够为以后教学活动打下坚实的基础，从而促进数学教学质量的提高。

参考文献：

数学解决问题的概念例5

数学概念作为数学学习的基础，它是对数学知识的本质内涵和特征形式的高度概括和总结，对于学生来说，数学概念的学习过程实际上是对某一个数学知识的抽象与概括的过程，也是对各种各样数学关系及其存在形式的一般性的总结、概括与抽象。数学概念教学是培养学生抽象概括能力的重要途径和方法，因此，在进行概念教学时，要注重从数学概念产生的背景、概念的产生过程、概念的语言相互转化等方面进行教学。在概念学习时，由于其本质属性是未知的，教师要引导学生从思维上对概念的本质属性进行抽象与概括，经历这个认识过程，才能真正理解掌握数学概念，同时也能使抽象概括能力得到培养。数学概念是数学的基本要素，正确理解和掌握数学概念是学好数学的前提。数学概念的形成是抽象思维的结果，是数学家抽象概括能力的结晶，教师要带领学生参与概念的形成过程，沿着数学家的脚印，了解抽象概括的思维过程，让学生掌握概念的本质，并能用自己的语言进行描述。通过这一教学过程，学生熟悉了概念的形成过程，了解了概念的本质，能初步形成由一般到特殊的思维，建立抽象概括能力形成的基础。经典的数学概念都有其特征，在生活中应用广泛，教师要善于举例，帮助学生逐步形成抽象概括的能力。

例如，在学习“空间直线与直线间的位置关系”这个概念时，可通过四个过程进行抽象概括能力的培养：一是直观感知。可让学生对同一个平面中的两条直线的位置关系进行感知，然后再扩 展 到 对 现 实 中 的 空 间 直 线 位 置 关 系 进 行 感知。如，用立交桥、课本的每个边与其他边的关系等事例来感知；二是分析综合。通过对现实世界的不同直线的位置关系的区别与共同点进行分析综合，可以按照是否有公共交点来判断这些直线是平行还是相交，还是其他位置关系，也可以按照是否在 同 一 个 平 面 进 行 分 类 概 括 总 结；三 是 操 作 确认。通过概括总结、逻辑演绎来抽象出这些空间直线的本质属性，建立空间直线位置关系的模型，在此基础上进行拓展，最后形成空间直线的一般性概念；四是思辨论证。最后对概念进行确认，从而建立空间直线的概念、规律、图形并进行语言描述，形成综合的概念。

二、通过习题训练，培养数学抽象概括能力

通过数学习题的训练是培养学生数学抽象概括能力的另一个重要的渠道和方法，可重点从习题的变式训练方面进行：一是从思维的拓展上进行变式习题训练。可以在习题教学中或习题训练时，对题目的一些条件或结论进行变换，形成新的题目，对学生的思维能力与抽象概括能力进行训练。通过变换题目的条件或结论，在培养抽象概括能力的同时还有利于学生所 学 知 识 在 本 模 块、本 章 节 知 识 间 的 迁 移 与 融合，使学生构建完整知识结构；二是从思维的整体性上进行训练。要培养学生的抽象概括能力，在解题训练中要注重从思维的整体性上进行拓展延伸训练，通过对典型习题进行内容的变通、拓展延伸，来拓宽学生思维的发散性与思维深度，培养抽象与概括能力的全面性，也有利于提高学生的创新与自主探究能力；三是从思维的逻辑性上训练。通过习题变式训练培养学生抽象概括能力，还可以从先解决和本题有关的问题入手，创设与本题有关的情境开始训练，这样能使学生的抽象概括能力的形成过程比较自然，符合学生的一般认知规律。通过以上三个方面运用习题变式训练方式教学，不但可以改变数学知识或问题的表达方式，使学生对数学概念的本质有了进一步的深入理解掌握，使得学生能从多个方面、运用不同的数学问题的条件与结论来掌握数学概念与规律，使学生能把各部分数学知识相互联系，使学生在训练过程中对抽象概括过程有深刻的体会。

三、通过自主探究，培养数学抽象概括能力

数学解决问题的概念例6

1 数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。

数学概念教学在中学数学中非常关键，是学好数学的重要一环，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础。有的学生数学成绩差，最直接的一个原因就是概念不清，尤其是普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，要想提高中学数学教学质量，最重要的就是要抓好概念教学。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识.这样久而久之，严重影响了对数学基础知识和基本技能的掌握和运用.比如有同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的.只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

2 新课程观下要有效实施新课程下数学基本概念教学，必须重视以下几个重要环

（1）数学基本概念教学，要充分挖掘数学概念产生的知识背景，让学生体验在概念产生过程中学习数学概念首先，新课程在不同年级的数学知识结构上发生了很大的变化，如果我们还是采用传统的方式进行概念教学，那么在新教材中恐怕很难达到预期的教学目标。其次，一个数学概念的产生，都有着丰富的知识背景，而通过了解这些背景知识来认识一个数学概念，是最佳途径。

通过充分挖掘相等向量和共线向量（平行向量）的几何背景，让学生经历从线段的几何性质有向线段的几何性质抽象概括出相等向量和共线向量（平行向量）的定义，这样，学生对相等向量和共线向量（平行向量）概念就有深刻的认识；如果忽略了知识背景分析，那么我们就犯下了一个严重的错误：失去了对学生培养抽象概括能力和创造精神的好机会。因此，数学基本概念教学在呈现方式上，不能机械地照本宣科授课，教师要深挖数学概念的知识背景，精心创设情境，适当地开展“发现”式数学活动，让学生在学习数学概念的同时还能发展他们的创造性思维。

（2）数学基本概念教学，要重视问题性在数学概念的形成过程的“关键点”上，以恰时恰点的问题引导数学活动，有利于明确学生思维的方向、培养问题意识，孕育创新精神。在集体备课时，有些老师往往会运用关联性不强的问题凑合成“问题串”来启发学生抽象概括出数学概念，这是有害无益的。那种忽视新教材设置栏目，不引导学生分析研究，直接给出抽象概念的方法也是不可取的。提倡“数学基本概念教学，要重视问题性”，但是问题的设置要在“关键点”上，这样，才能明确学生思维的方向、帮助学生从实际问题中抽象概括出数学概念。在进行数学基本概念课堂教学中，要重视在学生思维的“最近发展区”设计合适的、具有启发性的问题串，通过“观察、思考、探究”学习数学概念，从而培养学生的问题意识和抽象概括能力。

（3）数学基本概念教学，要重视创设体现数学概念的思想方法的情境新教材是以数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等核心概念和基本思想为贯穿整套教材的灵魂，而数学思想方法是人们认识数学的意识，是将知识转化成能力的桥梁，因此，创设体现数学概念的思想方法的情境是数学基本概念教学的出发点和落脚点。例如，以上所谈到的向量概念教学中所创设问题情境，就隐含了分类和类比的思想方法，在相等向量和共线向量（平行向量）的课堂教学中所创设的问题情境，就隐含了数形结合的思想方法。

（4）数学基本概念的教学，要注重概念联系性由于新教材要求：以核心知识（基本概念和原理，重要的数学思想方法）为支撑和联结点，螺旋上升地组织学习内容。因此，在课堂教学中引导学生深入挖掘概念的内涵和外延，建立新旧概念间的联系，是符合新课程要求的，而且对帮助学生准确理解数学概念、完善构建知识体系是有有益的。例如，“变化率与导数”的概念教学时，引入导数概念后，在说明“气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率、高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度”的同时，可以再结合具体例子来加深理解导数的概念内涵。

数学解决问题的概念例7

概念是思维的细胞，尤其是在高中数学的学习中，一些数学能力比如说逻辑思维能力、空间想象能力等，都需要以清晰的概念为基础.然而很多学生在学习的过程中对数学概念不重视，把解题作为数学的学习目标，然而在解题中经常出现的一些概念性错误.这也导致了学生在后续学习中成绩较难提高.

学习数学概念首先要在文字上下工夫.高中书本一般以文字来描述一些数学概念.概念中的每一个字词都不能忽略，特别是一些关键词，如果没有注意就会导致学生对于概念的不理解或者理解有缺陷.当然不光要理解概念的意思还要有所引申，举一反三，搞懂它的含义，清楚为什么会有这些关键词.

解决数学问题首先就要理解数学概念，对概念理解不清，在解题时就会出现错误；对概念理解不透彻，在遇到问题亦会束手无策.然而正确地理解概念也不是简单的事，这需要数学教师在课堂上灌输学生正确的概念，根据学生的知识结构和能力特点，适当引导学生剖析概念，抓住概念的实质.

二、图表解释，深刻理解

图表就是用形象化的方式来表现概念.举个例子，如果有人问你什么是函数.你可以用口头语言或文字的形式告诉他，当然这样抽象的解释并不是每一个人都能理解.在他还是云里雾里，不明白的时候.你还可以画一个图告诉他，如果两个关系可用这种图象表示，那它就是函数关系.这样形象的描述一般是最容易让人理解的.学生利用图表掌握函数概念，形式丰富，理解起来也非常深刻，应用起来更加方便，这也是把书本上抽象的数学概念，转化为具体的、可直接用于解题的形式数学概念的问题，从而达到对数学概念深刻理解，扎实掌握的目的.数学语言不止只有图形语言，还有文字语言、符号语言，其中符号语言有较强的概括性，更能反映概念的本质.

三、正反应用，掌握概念

想要真正掌握数学概念，学生必须要在解决问题的时候联想到数学概念，有意识地用数学概念解决问题.概念应用要从正、反两个方面来学习掌握，如学习函数的单调性之后，我们需要知道如何证明一个函数是增函数或减函数，并对证明的步骤也很清楚，学生通过对问题的思考，能够尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发学生的好奇心以及探索学习的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的共鸣.

此外，教师通过反例、错解等进行反面辨析，也有利于学生巩固概念.此外，还能够让学生学会运用相关概念来解决其他问题，如比较函数值大小、解函数不等式、求函数最值与值域等问题.

学生要掌握数学概念，得学会从正反两个方面加强数学概念的应用.学习概念时，数学教师可以举一些正反的例子让大家判断，有意识地培养学生的逆向思维，加深学生对概念的理解与运用，帮助学生更好地理解掌握概念.

四、归纳联想，对比概念

有对比才有突出，对比两个容易混淆的概念的相同点与不同点，有助于学生区分概念，对概念有明确、清晰的认识.在教学中，教师应善于寻找，分析其联系与区别，这样教学有利于学生掌握概念的本质.

数学解决问题的概念例8

小学数学中的概念教学，有时往往被教师所忽视，具体表现在：一是没有认识到数学概念对于学生深入理解数学、解决数学问题的重要意义；二是在教学中没有很好地引导学生理解概念，并从概念出发完成对于数学问题的知识建构；三是教学过程中缺乏对学生抽象思维的培养――只重视学生形象思维下数学概念的建立与理解。教师的教学往往以形象可感的具体形象作为教学的基础，而没有在此基础上很好的培养学生的抽象思维的能力。由于概念教学的认识偏差导致教师在教学中对于概念教学总是一带而过，只重数学概念推导的结果或者结论，而不注重概念形成过程的推导与运算。这必然造成学生概念模糊，更不利于深层次的理解数学问题、解决数学问题。数学概念，是数学知识建立的基础，是弄清楚数学关系及其逻辑顺序的关键，数学概念教学的成败，直接关系到数学教学的成败。从这个意义上来讲，数学概念应该看作是构成高楼大厦的一砖一瓦，这一砖一瓦必须扎实可靠，才能保障大厦的安全与升高。

一、学生观察比较 引入概念

数学的抽象思维有赖于形象思维的培养作为基础。数学概念的引入是一个形象思维兼抽象思维的过程。在形象思维的累积中逐渐形成抽象思维能力。数学概念应该从培养学生的观察能力与比较能力入手。使学生在直观中形成概念的定位。例如在引入质数与合数的概念时，我首先让学生说说约数的概念，在明确理解约数的概念以后，我又出示1、3、5、7、9、14等数让学生观察。看这些数各自有多少个约数，根据约数的多少可以将它们划分为几类。这样学生自然就可以得出质数与合数的概念。在讲述圆锥的体积时，我让学生准备好一个等底等高的圆柱体与圆锥体。学生把盛满圆柱体的沙土倒入圆锥体内，倒三次恰好将圆柱体的沙土倒空。从而得到圆锥体的体积计算公式。数学概念的引入要关注到学生形象思维的发展，可以用直观引入方式，如圆锥体的面积计算公式通过学生动手获得。也要注意学生在已有知识上的迁移与建构，与上例中质数与合数概念的建立，必须在牢固掌握约数概念的基础上才能更好的掌握质数与合数的概念。数学上的概念是互相联系与充满逻辑关系的，很多是在一个概念的基础上再建立一个新的概念，所以概念教学应该扎实可靠、步步为营。

二、从生活的情境入手 建立概念

数学上的许多概念来源于生活，并且在生活的基础上研究形成一些较为抽象的概念。引导学生从生活的实例入手，是数学概念教学的一个有效途径。因为学生往往对生活中的实例感受真切且感兴趣。从生活中引入概念学生易于接受，并且有利于培养学生联系生活进行思考进而解决数学问题的习惯与能力。例如我在引入面积的概念时，采取了让学生比一比、看一看的方式。让学生观察比较桌面的大小与书本页面的大小。进而让学生观察学校操场的大小与公园面积的大小。使学生对面积的概念有了直观的认识。在引入重量单位的概念时，我让学生把不同的物体用天秤称重后，再用手掂量一下，从而靠手感来感受物体的重量：克、千克。在教学体积这个概念时，我让学生将水添满整个水杯，再在水杯中加入别的物体，水就会溢出来，引导学生思考这是因为别的物体具有一定的体积，当它被添加到水中时，所以水就会流出来。引导学生观察生活，利用生活中的典型例子，容易使学生对数学概念理解清晰，只有概念清晰了，学生才可能进一步解决一些数学问题。

三、强化应用 巩固概念

实践证明，在应用中加深对数学概念的理解是一个有效的方法。数学概念不能以口头背诵为标准，要以真正理解为目标。学习数学的目的在于应用，学习数学概念是为应用数学奠定基础，但不能停留在对概念的浅层理解。例如方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。但是如果把等式：c+d=h 或者y=2让学生来判断，学生往往会发生错误。再如，学生即使对于正反比例的定义过目成诵，也难以理解正反比例的两种量，在教师的引导下学生通过正反比例的意义来理解正反比例的量，并且通过计算来观察结果，就会提高学生对于正反比例的理解，并且利用它的定义来正确解决数学问题。学生利用正反比例的定义来解决问题的过程，也是学生对于概念的巩固和理解的过程。因此数学概念教学要通过学生的运算，学生实际动手并且观察，才能达到巩固且正确应用的目的。

四、注重概念梳理 建立逻辑关系

数学概念的建立与应用除要加强练习指导、巩固训练外，还必须引导学生建立一定的逻辑关系。这有利于培养学生的逻辑思维能力，有利于使学生理解各种概念之间的自然联系。通过概念的梳理可以达到使学生进一步理解和巩固概念目的，并且在概念清楚的基础上培养学生的数学概括能力。例如在学习了平行四边形后，可以引导学生对长方形、正方形、三角形面积公式进行比较概括，使学生发现其中的逻辑关系。在学习了等腰三角形后，可以引导学生对直角三角形、等边三角形、任意三角形通过面积公式来认识它们之间的属性与逻辑联系。这样能够使学生建立数学逻辑联系概念，并且进一步对于概念加深认识与巩固。

总之，数学概念教学是数学教学中至关重要的环节。教师要加强数学概念的教学，以适应小学生心理特点的灵活多样的形式，使学生明确数学概念、利用数学概念解决问题，提高学生解决数学问题的效率。

数学解决问题的概念例9

概念是数学思维的基本形式，但由于概念本身比较抽象，它蕴含在各类的数学知识中，不能像计算或推理那样直接呈现，导致不少教师在概念教学出现了一些误区。数学教师如何紧扣概念属性，激活概念教学，从而真正将概念内化到学生的知识结构中？

一、目前高中数学概念教学中存在的问题分析

概念是组成数学的基石，虽然不少数学教师也认为概念在数学中的重要地位，但由于概念本身比较抽象，不像计算过程或推理过程能够左右学生的思维，于是，概念教学经常被教师所忽视，成为边缘化的内容。主要表现如下：

1.忽视概念产生的过程。概念既然作为数学的组成，就存在于数学知识中。如空间几何体就要让学生体会一些相关的空间图形的概念；函数就要学习函数的相关概念，这些概念的理解对学生掌握好相关的知识有着重要作用，它所起到的是知识储备的作用。然而，不少数学教师在教学概念时，并没有用系统的方法去渗透，而只是简单地分析。如在学习函数概念时，有些老师认为学生在初中已学过函数，就没有必要对高中函数进行新的学习。其实，初中函数和高中函数所研究的内容不一样，教师必须用发展的观点去和学生研究函数概念，从而让学生知道知识的来龙去脉。

2.忽视概念之间的联系。在学习概念时，表面上每个概念之间以独立的形式总结出来的，但如果深入去研究数学知识之间的联系，概念其实是相关联的，它的界定同以前学过的概念有着联系。但不少数学老师在教学概念时，用孤立的方法呈现概念。如集合，蕴含于集合知识关系里的概念比较多，每个概念看似独立，而实则联系得很深，有些教师在教学时，只是简单地将各个集合概念如并集、交集等说透彻，但却没有将他们之间所存在的关系探究清楚，导致学生在学习集合的基本运算时出现思维相对模糊的状态。其实，如果集合概念的学习能同学生的知识结构联系起来，学生对集合的基本运算就能有比较清晰的思路。

二、紧扣概念本质，联系实际，体验数学概念的形成过程

数学之所以有许多概念是同数学知识本身特点有着很大关系，纵观数学概念，每个概念的产生都是源自一定背景，而教师在讲解概念时，如果只是简单地将概念的定义抛给学生，让学生死记硬背，那学生对概念的理解就只是停留在肤浅的记忆阶段，而思维的发展则需要结合向纵度和深度拓展才能实现。

如人教版必修一《函数的概念》，本课直接出示了概念两字，是高中必修教材中为数不多的直接出现概念字眼的。函数是高中数学重要的内容，它是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想，可以说，高中函数是链接高等数学的重要基础。学生在初中阶段已学过函数，但高中函数所描述变量之间的依赖关系更为复杂，同时要求学生用集合与对应的语言来刻画函数，最终理解对应关系在刻画函数概念中的作用。教师如何引领函数概念？为了让学生有个铺垫，我先和学生一起复习了初中所学的函数概念，并强调函数的模型化思想，然后引入生活例子：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题等能反应函数概念的数学例子，从而让学生体会到函数在生活的运用，当学生对函数有了一定理解之后，函数概念里的自变量、定义域、函数值、值域等相关的概念的理解，我就结合集合和对应的知识，并同生活情景联系起来，使学生对函数概念有一个感知的理解过程，进而再上升到理性认识。

三、运用数学概念，构建数学模型，在解决问题中内化概念

由于概念蕴含在学生的数学知识结构中，并不是以某个填空题或问答题形式出现，而是蕴含在学生的理解某个知识点或解题过程中的数学模型。因此，当学生形成某个数学概念后，教师如何让学生的概念内化到知识体系中，从而让概念的内涵和外延在学生的脑中生根发芽，进而帮助学生利用概念解决问题？

如人教版必修三《算法初步》，算法是数学及其应用的重要组成，是计算科学的重要基础，在高中安排算法学习的目的在于利用已用的数学知识分析问题和解决问题，优化解题方法，完善数学思想。算法的概念是什么？其实，教材上并没有给出算法一个精确化的概念定义，而是将它描述为：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤。但学生通过学习了解到算法所蕴含的概念含义之后，学生的知识结构里如何内化算法概念？其实，如果教师自己理解算法的概念，就知道了只有将将算法融入到各种问题的解决中，学生基于算法的数学思想才能形成，进而理解概念在解决问题中的重要作用。如喝一杯茶所需要的算法步骤，这是生活中的常识问题，学生可能呈现的算法是将步骤展示出来，然后计算时间，找到最优化的策略，但是，如果高中生还是以这样的思维去解决问题，那么，算法概停留在初步的阶段，教师要结合高中生的知识水平，引入统筹方法，通过数学计算策略将这类算法上升到科学总结层面，这样才能不断丰富学生的算法概念结构。

总之，概念是数学思维的基本形式，教师要意识到概念对培养高中生的数学思维，构建数学模型有着举足轻重的作用。要让高中生真正掌握概念的属性，需要教师全面把握概念属性，挖掘教材中蕴含的概念，有效抓住概念同生活实际的联系、同解决问题的联系，从而真正将概念内化到学生的知识结构中，促进学生数学思维能力的发展。

参考文献

数学解决问题的概念例10

《高等数学》的主要内容是微积分，微积分的思想方法普遍适用于社会实践和其他学科。这是因为微积分是用一种运动的思想来研究客观事物变化的规律。《高等数学》是我校高技班各专业开设的一门重要的文化基础课程，他们学习《高等数学》我认为有两个任务：一是学习微积分的基本原理。学生通过一个阶段的系统学习掌握微积分的有关基本概念，从而在思想方法上，得到辨证的、严谨的、逻辑思维锻炼：二是努力培养会用所学到的数学原理去分析实际问题和解决问题能力。学生通过一个阶段的学习后，了解了微积分的概念来源于实践，由实际问题抽象为定义，并且经过必要的习题训练后，努力培养自己应用微积分去分析问题、解决问题的能力。

传统《高等数学》的教学过于注重理论，忽视概念产生的实际背景和数学方法的实际应用，如何在淡化理论的同时，加深对数学概念的理解和应用?从理论的角度来讲十分困难，为此可以在讲解数学概念时，尽可能从学生熟悉的生活实例或与专业相关联的实例引出，从而激发学生学习兴趣的热情。

一、从实际问题引出新的概念

(一)由实际问题求解的过程导出数学概念，使学生感到数学并不抽象，它是与生活和生产的实际紧密相联系的，学起来不觉枯燥，从而产生学习数学的兴趣。例如，在讲导数概念时，我们通过求变速直线运动瞬时速度的过程，归纳出求解方法步骤，撇开具体意义，就得到“导数(变化率)”的概念。还可根据不同专业的学生，介绍些与变化率有关的问题。对于机电类专业学生可介绍圆周运动的角速度是转角对时间的导数、非恒定电流的电流强度是电量对于时间的导数等变化率问题，而对于经济类专业学生可介绍产品总产量对时间的导数就是总产量的变化率、产品总成本对产量的导数就是产品总成本的变化率(边际成本)等等。又如，我在讲极限概念时，引用短跑运动员在比赛的过程中，运动员与终点的距离随时间的增长是趋于零的变化情况，即s(t)0。

(二)用实际问题解释数学概念、内容，使学生容易理解并接受数学概念，且不觉得深奥。例如，我在讲曲线曲率时，首先讲骑自行车掌握车把左右偏转的幅度，偏转小，线路弯曲程度就小：偏转大，线路弯曲程度就大，随即讲曲率是研究曲线弯曲的程度，从而给曲率下数学定义，最后再由自行车行驶的轨迹、火车铁轨的敷设对曲率的大小的要求，借以阐明研究曲线曲率的实际意义。又如，在讲函数极值是函数在某点处的局部性质而不是函数的整体性质时，举了我市九峰山的第一峰顶的高度，体现了函数在该出的极大值，但它比起第八个峰于第九个峰之间的波谷底部的高度要低，进而说明极大值，并非最大值，极小值并非最小值。

这样，用与学生专业学习有关的实例讲概念，用生活中常见例子做比喻，即能够帮助学生正确的理解概念，也有利于拓宽学生思想，提高把实际问题转化为数学问题的能力。

二、用数学概念解决实际问题

因为数学概念来源于客观事物，它一但脱离了客观事物的具体内容，就能够更广泛地指导实践，应用于解决生活生产实际问题。但是在教学环节中不是一味地讲实际应用，应该遵循由实践得到理论，再由理论应用于实践。

(一)在讲应用数学概念解决实际问题前，应先举一些解决数学本身的例子，让学生理解概念，借以掌握已学的知识，然后，归纳总结出解题方法和步骤，为下一步解决实际问题作准备。

例如，在讲完函数最大(小)值的概念后，安排如下的几个例子。

1、求在[－2，6]上的最值；

2、求在[，]内的最值；

3、在半径为R的圆内作等腰三角形，求三角形的底与底边上的高之和的最大值；

4、用三块等宽的木块做成一个断面为梯形的水槽，问斜角多大时，水槽截面积为最大。

前两个例子，是直接应用定义求。般函数最大、最小值问题，通过讲解使学生掌握了求最值的一般方法和步骤，接着讲后两个最值在数学本身问题上的应用，使学生进一步加深理解解题的方法与步骤。

(二)应用数学概念解决实际问题举例时。应由浅入深，层层相扣

在讲定积分应用于计算液体的静压力这一节课时，举了求不同形状平面浸没在水中的压力问题，例如：

1、形状为等腰梯形，竖直闸门受水的压力：

2、水平放置的水管其断面，当半满时所受的压力；

3、端面不同形状，浸没深度不一的薄片受水的压力等等；

4、葛洲坝一、二号船的闸门，受水的压力。

在计算以上压力时，先要求他们，写出各种情况下的压力元素dp，进而指导学生应适当选择坐标系，写好各种形状图形的边界曲线方程，确定积分区间，利用定积分求出各题压力。

通过以上例子的计算，由浅入深，由简单到复杂，把学生动脑的积极性慢慢调动起来，把他们带入一个生动的学习情境，让他们了解解决问题的一个过程。同时，通过讲解与学生自我练习，大大激发学生们学习数学的兴趣，特别通过对葛洲坝一、二好船闸门受力的计算，使学生大开眼界，解题的过程使学生明确数学并不是没有用处，恰恰相反学好数学可以指导我们今后生活实践或工作实践。

(三)应用数学概念解决实际问题举例后，应仔细挑选练习题布置课后作业，巩固学习内容

这一环节不容忽视，如果说教师上课是为了讲清概念，教师通过例子解题示范起着引导作用的话，那么课后作业练习将是让学生深入理解和掌握基本概念，训练基本功，进而应用所学知识去分析实际问题，我在挑选学生课外练习题时注意到：

1、有一定量深入理解基本概念的题目；

2、有一定量掌握基本运算方法的题目；