三角函数变换规律例1

中图分类号：G632.41 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函数的变换具有种类多而且方法灵活多变的特点，所以很难让学生真正的掌握。但是三角变换中的基本规律和思想却是不变的，我们可以把这些规律概括为公式间的联系和运用这两种。

一、三角函数变换中常见的几种类型

1.“角”度的变换。在进行三角变换解题的过程中，三角函数中角度变换，主要体现在差角、和角、半角、倍角、余角、凑角、补角等之间相互的转换，角度的变换起到了纽带的作用。随着三角函数角度的变换，函数的运算符号、名称以及次数等都会有一些相应的变化。在对三角问题进行求解的过程当中，由于表达式时常会出现许多相异角，因此，我们就要根据三角角度间和、差、倍、半、补、余、凑等关系，用“已知角”来表示“未知角”，然后再进行相关的运算，使三角变换的问题可以顺利的求解。

2.函数名称的变换。在函数名称变换中，最为常见的就是切割化弦，这时，我们一般都会从化函数或是化形式方面着手。在三角函数当中，正弦和余弦是六个三角函数中的基础，它们的应用也是最为广泛的，其次是正切。通常来讲，在进行三角问题求解的过程当中，时常会出现一些不同的三角函数名称，这时就需要我们把这些不同的三角函数名称转换成同名的三角函数，我们最常见的转化方式就是“切割化弦”与“齐次弦代切”。

3.“形”变换。在我们对三角函数进行化简、求值或是证明等运算的过程中，有时会根据相关的需要将一些常数如1，■，2+■等转化成相关的三角函数，然后再利用相关的三角函数公式进行运算。在这些常数当中，利用常数1来进行三角函数变换运算最为普通和广泛。在进行三角变换时，我们运算时一定要遵循由繁到简、由简而易的的规律，只有这样我们才能在众多的三角函数公式中找出相关的解题思路，才能明确解题的目标，从而顺利的解题。

如：2009年辽宁高考文科试题中，已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知条件，我们很容易想到这道题需要进行“弦化切”，因此，我们利用已知整式中分母为1的条件，将“1”转化为sin2α+cos2α，从而进行解答。

二、三角函数变换的几种常用解题方法

1.“弦函数”与“切函数”间的相互转换。“弦函数”与“切函数”之间互相的转换是我们平常对三角函数问题进行解答时，常用的两种函数转化的基本手法。若是在三角函数式当中存在着正切函数，我们就能让学生在解题的时候，利用三角函数之间最基本的关系或是让“弦函数”转化成为“切函数”等方式来进行对题目的求解或证明。

2.角的等量代换。在我们解决三角函数的问题过程中，要重点的注意已知角同所求角间的相互关系，适当的使用拆角和拼角的解题技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα

证明：因为β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和变用。我们在对三角函数的问题进行解题时，时常会遇到需要对三角公式进行变用或逆用的情况，尤其是公式的变用，常常会因学生的不够熟练出现错误。因此我们要让学生能够熟练的运用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x这些三角函数的公式。

4.引入辅助角公式。辅助角公式的引入，是在三角函数变换过程中，两角和同两角差之间正弦或是余弦公式形式的变换，它是求三角函数的单调区间、周期等时最为重要的解题手段之一，就像我们将三角函数式asina+bcosα转变为■sin（α+φ）的形式，在这个三角函数式里φ被称为辅助角，而这个辅助角的大小则是由tanφ所决定的，它的象限就是由a、b两个符号所确定的。

例如在2009年重庆高考文科卷2试题中，设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的图像往右平移了■个单位长度得到了函数y=g（x）的图像，则求函数y=g（x）的单调增区间。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

则T=■=■，则解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的单调增区间就是[■kπ+■，■kπ+■]

综上所述，无论对三角函数进行求值、化简还是证明，其解题的过程都会是从已知向未知进行转化的过程，所以，我们要从中找到它们之间的差异，才能顺其自然的对三角函数进行转变。

参考文献：

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007，（5）.

三角函数变换规律例2

三角学起源于古希腊，在中国距今两千多年前的《周髀算经》中也有关于我国最早的三角测量的记载.三角函数是三角学中非常基础的、非常重要的一部分.在高中数学中，对三角函数的学习主要是三角函数的图像和性质.虽然在高中数学中对三角函数的学习要求并不高，但是我们学习起来也常常会有一些错误出现.本文将把这些三角函数中常见的错误归类出来，加以详细的探究，希望能为以后的三角函数学习提供借鉴和帮助.

一、知识性错误

数学中的知识性错误是指由于对有关所学的概念理解不清，对概念、性质混淆不清等，从而导致的错误.

（一）概念理解不清

致错分析 以上错解的原因是没有考虑函数的定义域，因为函数f（x）的定义域为x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、逻辑性错误

由于我们认知结构的不完善，所以在数学解题中就很容易出现逻辑性的错误.逻辑性错误指的是我们在解题的过程中由于违背了逻辑思维的规律而产生的错误.逻辑思维的规律，即逻辑规律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常见的逻辑性错误的类别一般为循环论证、偷换概念、虚假理由、分类不当和不等价变换这五种.在高中数学三角函数的学习中，一般会出现的逻辑性错误有分类不当、循环论证和不等价变换这三种.

（一）循环论证

论题、论据和论证是构成任何数学问题的三大要素，其中论题指的是为了真实性而需要的那个命题，论据指的是为了证明论题的真实性所需要依据的真命题，论证指的是联系起了论题和论据的具体的推理形式.只有真实的论据才能论证出论题的真假，但是论据的真实性不能不依赖于论题的真实.循环论证指的就是论据的真实性需要依赖论题的真实性的一种论证.

致错分析 上述解法看上去好像是正确的，其实已经犯了循环论证的错误，错在没有利用题设条件进一步缩小α-β的范围，产生了增根.

事实上，同理可得：.

（二）不等价变换

不等价变换是属于逻辑错误中的违反同一律原则的错误.在解题过程中，对命题进行不等价的变换，常常会出现解集的缩小或者是扩大.

三、策略性错误

在数学解题过程中的策略性错误主要指的是在解题方向上有偏差.这样的错误往往会导致解题的思路受阻而无法完成解题过程，或者解题思路过于曲折而即使做对了也非常费时费力.

（一）不善于正难则反

我们在解题的过程中一般都会习惯于从正面去思考问题，而并不去做反面的思考.但是有时候从正面来解决一个问题是非常艰难或者复杂的，甚至常常会容易出错.这就要求我们在解题的时候要灵活运用方法，当正面解题比较艰难的时候可以从反面进行思考.

例5 函数y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

错解 将原函数变形为：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，则y=（t-a）2+a，当t=a时，ymin=a，a=3.

致错分析 三角函数中通过换元便隐去了三角函数的特性，三角函数的定义域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，当a=3时，t=3，即sinx =3显然不符合题意.事实上，换元后，问题转化为二次函数y=f（t）=（t-a）2+a在闭区间[-1，1]上的最小值问题.

正解 （1）当a

（2）当-1≤a≤1时，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合题意，舍去；

（3）当a>1时，由ymin=f（1）=3，得a=2.

综合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）审题出现主观臆断

三角函数变换规律例3

（1）必修1后接着学习必修4有利于对基本初等函数有一个系统掌握。函数是初中阶段学生已经接触过的知识点，但初中是用变量与变量间关系来介绍函数概念的，其重点是研究函数解析式；而高中的函数概念则是在映射观点下的对应学，是建立在非空数集之间的一种对应关系。它的表现形式除解析式外，还可以运用图象或列表。它的核心是三要素――定义域，对应法则及值域，而且函数可由定义域和对应法则完全确定。在此基础上我们还研究了函数的单调性，奇偶性等性质，还学习了指数函数，对数函数及幂函数三种新的基本初等函数。回头我们还用它们进一步理解了函数的概念。但对于函数概念理解难以达到完美，这样需要我们学习另一类基本初等函数――三角函数。与其他函数相比它是具有很多重要的特征，它以角为自变量，是周期函数，同时也是解决其他函数问题的重要工具，与后续学习的很多内容有联系，是深化函数性质的极好教材。因此，接着必修1后学习必修4让我们对基本初等函数有一个整体掌握，形成一串牢固的知识链条。

（2）必修1后接着学习必修4有利于高一物理等学科的学习。新课程开始几年，我们按1-2-3-4-5顺序安排5个必修模块，结果发现学生在高一第一学期学习物理需要的三角函数和向量的知识，要在高一第二学期才能学习，从而造成物理老师上数学课的现象。然后我们成立课题组，通过对按1-2-3-4-5和1-4-2-5-3两种模式学科的不同年级进行全面跟踪研究后，发现后一种选课模式基本上解决了上物理课时数学知识滞后的问题，从而真正实现了新课程标准要求的“人人学会自己须用和会用的数学”的大众数学理念。

2. 第一章三角函数部分知识点教学设计与生成后的思考

（1）任意角的三角函数的概念。三角函数概念的发展前后经历了4000多年，就初、高中教材体系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定义为直角三角形的边长之比。因此，初中讨论“三角函数”仅限于三角形内的三角函数。它解决的问题限于平面图形相关的几何问题。由于我们不能把任意角的三角函数看成锐角三角函数的推广（或一般化），所以在高中学习的任意角三角函数内容应该是以函数的眼光对待，把对它的学习作为理解函数一些性质，如周期性。强调三角函数是用于刻画生产生活中周期性发生变化的一个经典模型。为了建立角度集合与实数集间的一个对应，教材引入了弧度制。接下来就用单位图给出了任意角的三角函数。教学中，大多数教师从给学生回顾初中锐角三角函数定义入手，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广到任意角三角函数，这样的方式会使学生觉得任意三角函数是锐角三角函数的一种推广。这样方法会有以下不足：①没有讲明高、初中学习的三角函数研究方法本质上不同，容易引起概念的混淆。②没有利用好单位图。其实单位图是函数周期性的一个很好体现，它是学生后续学习逐步认识三角函数周期性的重要模型。

理解三角函数概念我们要多视角，如几何的、代数的、解析的等。教师的教学也不能将三角函数概念理解局限于一节课，一个章节里，了解学生的学习更是一个循序渐进的过程，因而在整个单元教学中应做到反复重视学生对任意角的三角函数概念理解的情况，从而达到对函数概念理解的又一次升华。

（2）正弦函数，余弦函数的图象与性质。我们知道，实数集与角的集合之间可以运用度与弧度的互化建立一一对应关系。而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值，于是，给一个实数x，有唯一确定的值sinx （或cosx）与之对应，由这个对应法则所确定的函数y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为R。

《必修4》在讲述三角函数后，将简谐运动作为正弦（型）函数图象的教学情景和应用。而普通高中物理课程标准在选修模块《选修3-4》才介绍简谐运动。显然，高一物理课程不讲授简谐运动，因此，高一第一学期教授学生三角函数时，将简谐运动作为正弦（型）函数图象的教学情景应用就不合适了。为此，我们采用圆周运动或教室里日光灯的电流强度随时间变化的规律作为教学的情景，因为它们的变化都呈现了周期性规律。

通过上述实验或例子，对正弦函数和余弦函数的图象形成一个较直观的印象后，我们运用单位图中的正弦线来画比较精确的正弦函数图象。在进行教学设计时，为了培养学生的学习能力和实践操作能力，首先我们课前设计了一个3～4分钟时间可播放完的“微视频”，将运用单位图中的正弦线画正弦函数图象分步展示给同学。在实验操作完备后展示给同学们课堂上集中观看“微视频”。当视频播放结束后，我们把预先设计好并打印的坐标纸发给每一个学生，给学生5分钟时间完成用单位图中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]， 的图象。当时学生表现出十分高的学习热情。制图完成后抽样展示时发现都完成得十分认真。当老师再此提出如何获得y=sinx，x ∈R的图象时，绝大多数同学能回答出将图象左、右平移（每次2π个单位长度）即可。这都是前面的实验呈现出重复次数的周期性规律的成果。至于由y=sinx，x∈R的图象获得y=cosx，x∈R的图象，学生们还回答出通过单位图中余弦线或由公式cosx=sin，将y=sinx向左平移即得。

当然，这堂课的最后成果不仅仅是获得正弦函数和余弦函数的图象，而是从图象上观察出5个关键点决定正弦函数和与弦函数在长度为一个周期内的图象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的图象上起关键作用的点为（0，0），（π，0），（2π，0），在精确度要求不太高时，找出了这五个点，再用光滑曲线连接，就可以得到函数的简图。这就形成了今后我们研究正弦（型）和余弦（型）函数图象简图的通法“五点法”。本堂课产生知识环节的教学设计是：实验―尝试―探究―提炼。四步骤体系新课程标准课堂教学以学生为本，以学生主动学习为本的理念。贯穿于教学全过程就是教师主体引导下的学生主体活动由浅入深地连续开展，更符合运用数形结合的手段研究函数的一般规律。

（3）函数y=Asin（？Ax+？渍）的图象。在A>0，？A>0的条件下，如何由y=sinx 的图象经变换获得y=Asin（？Ax+？渍）的图象呢？教材上在探究每种变换时，并没有用具体例子通过人工画图象后提炼规律，而是运用电脑软件――几何画板的功能代替了，这样过程令学生眼花缭乱，其变换规律难以体验到位。因此，在我们的教学中，对于每种变换我们均设计例子并引导学生在课堂上动手用五点法操作，然后再结合电脑动画进一步体验规律。这样的教学设计表面上因让学生动手操作花了一些时间而“降低了”课堂效益，其实际上经学生动手的过程体验而形成了理解性的知识规律，最后引导学生探讨“图象变换”法的具体过程。如何由y=sinx的图象经历平移变换和伸缩变换得到y=Asin （？Ax+？渍）的图象，每经历一部变换，五个关键点须作相应的变换，每一步变换却抓住了这五个关键点，得到的简图就可据“五点法”画出。这样学生不但掌握了研究这类函数图象的两类方法，而且了解了两类方法各自作用和互相联系性。

3. 教学后的启示与反思

（1）数学教师应该具有独立处理教材，研究并合理运用好教材的能力，而不是照本宣科。随着新课程改革向纵深发展，从传统的“教教材”到现在的“用教材教”理念的转变已经深入人心。教材仅是课程标准下提供给教师教学、学生学习知识的一个重要载体，但不是唯一载体。

在教学中，我们既考虑如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。这就是需要吃透课程标准的前提下深入研究并发现学科知识本质的东西，尤其是考虑到“因材施教”，对于教材一些“启”而未“发”的内容，我们可考虑重新按认知观设计教学，教师做到对教材上一些概念、定理、公式、法则充分理解的前提下传授给学生。比如：在研究三角函数的单调性时，学生总是吃不透函数单调性概念必须指明在特定的区间上，二者不可分割。因此出现有的同学提出y=sinx，x∈R在第一象限内是增函数问题时，教师必须强调象限角不是区间角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）内分别是减函数，而不能讲y=在其他定义域内是减函数为例，考虑它的定义域已经不是独立的区间了。文章第二部分提到几个问题，也正好是体现了“用教材教”的理念。

（2）教学设计与生成应熟悉基本课型，规范操作须始终把学生的发展摆在首位。教学工作的主阵地是课堂。因此，学科教学能力是任何一个数学教师必须具备的基本能力。通常说教学有法，教无定法。所谓“有法”就是指教学应遵循一定教学规律与原则，每位数学教师应对新课程标准下高中数学教学基本课型“概念课”“习题课”“复习课”等进行系统梳理与探究，形成个人课堂教学的风格，而“教无定法”则是将其运用在具体课时进行教学设计与生成时做到“因时制宜”灵活使用。

如何在教师的教学工作中，始终将学生的发展放在首位？我想必须从以下几点入手：①在教学设计时教师必须站在教学者的角色上，按知识产生发展及生成的认知规律去思考教学的基本环节；②教学生成做到问题引入尽量给出合适的情景，探究知识过程中通过预设好适合的问题串，引导学生充分思考后步步为营朝知识产生的路径推进，切忌用师生交流替代生生间交流，培养学生学习过程中同伴互助的团队精神，以达到既学习到学科知识，又提升了学科学习的文化素养，从而形成较完美的学习过程。尤其是课堂结束时的总结，更适合在学生间的交流与对话中形成，从而全面培养学生的自主学习能力；③作为课堂学习的延伸，教师在布置学生课外作业时，一方面要做到基础性与综合性比例适当，重视课本习题在巩固知识与方法的基础作用和引领作用，对于教辅上的习题，必须做到适当的取舍，考虑到学生层次差异可布置适合每层学生发展的习题；另一方面必须留出时间给学生对明天学习内容的预习，必要时可给学生提供学习新知的自学提纲或突破知识学习重难点的“微视频”，以充分调动学生预习的灵动性，服务于明天的课堂。

三角函数变换规律例4

三角函数是考试的重点，也是我们得分的关键，由于已经是第二轮复习，学生对于公式，定理的掌握基本熟练，我给他们准备了导学案，要求课前完成。

题型一：三角函数的化简求值问题

此题是三角函数公式，定理的考查，两角和差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”，“－”的变化特点。在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，本题的易错点是符号，角的关系，为了巩固知识，安排了一个变式训练1：

三角函数变换规律例5

1.教学内容在深度、广度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材编写应遵循的一般原则。螺旋体现在学习主题的相同而内容的深度、广度的不同；上升体现在层次的提升，以及课程内容的深度、广度的适度加深上，而不是简单地再现或重复[2]。

图像变换是高中函数学习的一项重要内容，主要涉及到图像的平移、伸缩（纵向和横向）、翻折等。高中阶段对于这些变换的研究主要体现在指数函数、对数函数、三角函数图像的变换上。指数函数、对数函数图像的变换出现在高中数学必修1教材上，三角函数图像的变换出现在高中数学必修4教材上。从指数函数到对数函数，再到三角函数，研究图像变换的载体改变了，教学内容的深度也在改变；从平移变换到伸缩变换，教学内容的广度也随之改变。教学内容的呈现顺序如下图所示。

2.教学内容呈现的方式过于依赖合情推理，未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演绎推理是新课程教材的一大亮点，它有利于在知识传授的同时渗透方法论的教育，有利于帮助学生掌握科学的学习方法。教材编写者在编写教材时除了将“合情推理和演绎推理”作为独立的教学内容外，同时还用合情推理和演绎推理来引领数学的发现。但在具体操作时，尚存在教学内容呈现的方式过于依赖合情推理现象，忽视学生已有的学习基础，忽视学生思维发展规律的现象，显得机械单一。这对学生科学的探究素养的形成是不利的。对苏教版高中教材指数、对数、三角函数图像变换编写进行比较，可以发现这三部分教学内容在呈现方式上都强调了以图识性、数形结合的思想，基本都按“作图观察——理性思考——得出具体结论——一般化”的方式编写。比较如下。

（1）作图观察

①指数函数图像平移变换作图如下：

②对数函数图像平移变换作图如下：

③三角函数图像平移变换作图如下（由于相位变换、周期变换和振幅变换呈现的方式完全相同，故此处只呈现相位变换教材编写的方式）：

（2）理性思考

①指数函数：函数y=2x-2中x=a+2对应的y值与函数y=2x中x=a对应的y值相等；

②对数函数：函数y=log3(x+2)中x=a-2对应的y值与函数y=log3x中x=a对应的y值相等；

③三角函数：函数y=sin(x+1)图像上横坐标为t-1的点的纵坐标，与函数y=sinx图像上横坐标为t的点的纵坐标相同。

（3）得出具体结论

①指数函数：将函数y=2x的图像向右平移2个单位长度，就得到函数y=2x-2的图像；

②对数函数：将函数y=log3x的图像向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3(x+2)的图像；

③三角函数：函数y=sin(x+1)图像可以看做是将函数y=sinx图像上所有的点向左平移1个单位而得到的。

（4）一般化

①指数函数：以“思考”的形式呈现：“函数y=ax+h与函数y=ax(a>0，a≠1，h≠0)的图像之间有什么关系？”

②对数函数：以“思考”的形式呈现：“函数y=loga(x+b)与函数y=y=logax+(a>0，a≠1，b≠0)的图像之间有什么关系？”

③三角函数：直接告知一般化结论：函数y=sin(x+φ)（其中φ≠0）的图像可以看做是将函数y＝sinx的图像上所有点向左（当φ>0）或向右（当φ

教材教学内容的呈现强调了从特殊到一般，利用归纳推理的方式进行数学发现，再进行逻辑推理。这是一种常用的数学研究的方法，学生在初三学次函数图像的变换时实际上已经接触这种方法了。但这种方法是否适用于所有不同学段的学生？学生在不断获取新知的过程中，思维方式和学习能力是否始终不变？数学的重要结论是否一定要通过合情推理的形式发现呢？数形结合思想的运用是否一定要从形开始，依图识性？能否依性作图？能否改变教学内容的呈现方式，以适合不同层次学生发展的需要？

二、同一主题教学内容呈现的基本原则

三角函数变换规律例6

三角函数是高考的热点和重点，每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质，还具有自己独特的特性――周期性和对称性，使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。在每年的高考中，围绕三角函数的考题具有新意，给人新颖的感觉，这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考，谈谈自己的几点看法：

一、三角函数的化简、求值、求最值

三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。

求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。

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三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。

二、三角形中的三角函数，即解三角形

分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题

此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：

第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。

第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。

三角函数变换规律例7

数学复习课的目的，在于帮助学生将前面在较长时间内所学的知识澄清，巩固，掌握知识的本质联系，熟练解题技能与技巧，提高分析问题能力和综合运用能力，而不只是知识的简单重复与罗列.然而，由于复习的时间短、任务重，不少教师忽视了基本知识与规律的复习，而采用课堂增加例题量、课后加大练习量的方法.尽管“题海”增大了题目的覆盖面，但它却难以提高学生分析问题和解决问题的能力.因为它偏离了学生的实际，偏离了教书规律，一味“填鸭式”，不利于学生积极性、创造性的发挥.事实上，从心理学角度来说，大量的练习会使学生的大脑活动由兴奋转向抑制.实际练习量的多、深、难，常会使学生穷于应付，头昏脑涨，处于一知半解的迷糊状态，导致他们只会机械模仿，有“举一”而无“反三”之功.一旦题目稍微变化，便会束手无策.那么，怎样提高复习课的教学质量呢？

一、基础知识的复习，注意转换

由于数学知识的逻辑性强，缺乏趣味性，加之学生的注意力集中时间较短，如果单元复习知识按照课文的先后顺序把所学过的知识（概念、法则、共识、定力、公理）原本地复述一遍，就会导致学生乏味，缺乏联系，不便记忆，难以理解.针对这个问题，可以采取如下方法：首先列出文章的主要知识，然后适当归类排队，给出知识联系的框架结构，再用数学编码.如以下三角函数知识要点的梳理：三角函数基本概念，三角函数的恒等变形（化简，求值，等式的证明），三角函数的图像和性质，三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等.对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合，一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究.易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值范围的变化，以防出现增根或失根；遇到参数或字母时，应注意分情况进行讨论.然后，由主干知识点、基本方法回顾练习.

二、例题讲解，应重视变化

是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.

2.在对例题进行解答之后，应注意例题的以点带面功能，有意识地在例题的基础之上进一步引申扩展，挖掘问题的内涵和外延，指导学生对新问题的探讨，以激发思维，启迪智慧，开阔视野，让学生通过对同一题目条件改变的比较，达到分析问题能力的升华，同时也可以培养学生对知识的迁移能力.把文字语言翻译成数学符号语言，然后运算.例如有关数列的问题.首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差（比）、项数是什么，能分清，然后选用适当方法求解.最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.

例如，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是什么？

三角函数变换规律例8

1.教材内容的扩展加强了对函数概念的理解。

如：“分段函数”的例、习题、由实际问题判断函数的图像。（思考题“漏壶”）

教学中适当增加了一些此类问题。对于学生理解函数的对应思想、感受函数的一些性质（增减性、最值、函数变化的速率……）有很大的好处。

2.九年级学次函数时，学生已具有了研究方向和简单的研究方法。

在一次函数的教学中，使学生明确了学习函数的内容和方法，当学习反比例函数、二次函数时，就会水到渠成。经过循环往复，会使学生对函数的学习有了系统性的认识。

例如：

研究内容：自变量的取值范围、函数的图像、函数的增减性等。

研究方法：画函数图像，观察归纳，数形结合等。

相关的问题：图像与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。

二、几何推理论证、规范书写的要求时段，优势突现。

八册上“全等三角形”，严格推理论证的书写要求十分必要。与其它教材相比优势突现。教学中注重符号语言的训练，稳扎稳打，步步为营。增强了学生思维的条理性，丰富了学生数学交流的语言，提升了学生推理论证的能力。

三、三角形全等条件的探索对教法与学法都有很好的指导作用。

1.创设了研究性学习的素材，为教法及学法的更新提供了范例。

2.体现了研究问题的思维方式（分类探索），为八年级下册研究四边形（边、角、对角线）、九年级下册研究三角形相似的条件探索提供了研究的思维方式。教学中充分利用教材中这一部分的结构点，借用于后面的教学。

四、三视图的内容比较正规、深刻。从教材上看，教学要求比其它版本略高

教学中掌握好两个阶段的侧重点，初期，把握基本几何体画三视图的教学，使学生对三视图有一个较全面的认识。后期，加强判断几何体的三视图。增强对物体三个方向正投影的认识。

五、归纳知识间的相互联系，形成认知体系。

教材中“和圆有关的位置关系”的编写结构，知识的系统性很强，认知方式集中且突出，使学生容易形成认知规律。

点和圆的位置关系———点与圆心的距离与半径的关系。

直线和圆的位置关系———直线与圆心的距离与半径的关系。

三角函数变换规律例9

一、新课标下三角函数试题的特点

新课标卷高考数学文理科试题差异明显，文科注重考查基础知识，理科则是知识与能力考查并举；试题的呈现形式灵活多样，没有固定的模式；分值大致稳定在20分左右，必做题15分左右，选做题5分左右；在第（17）题出现三角函数题，一般都会对学生的个性品质和心理素质进行考查。

二、新课标下三角函数试题的考点追踪

1.三角函数的概念、图象与性质

三角函数的定义，五点法作图，图象变换，根据部分图象求函数解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，单调性，图象的对称性；含有参数的三角函数问题；在知识交汇处命题，综合性较强，思维含量较高，需要仔细审题，方可准确解答。

2.三角恒等变换

恒等变换是三角函数的核心内容，是高考的热点，每年必考。试题灵活性大，能力要求较高。常常以三角函数式的化简、求值形式出现，常与三角函数的图象、性质结合，也与解三角形联系在一起考查。考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形应用。

3.三角形中的三角函数问题

这类题常考常新，亮点纷呈。常以三角形为载体，考查正、余弦定理，三角形面积公式，平面几何中重要的定理，三角公式的灵活运用，凸显三角函数的实用性。在（17）题中出现时，已成为解答题能否取得高分的分水岭，与以往的三角题相比，突出思维含量，减少了运算量。对恒等变换、逻辑推理、数据处理以及遇到障碍时绕过障碍重新选择思路等方面的能力要求较高，同时还有函数与方程思想，考生的个性心理品质的考查。

点评：三角形面积最值的求解策略基本有两种方法：建立函数模型求解，利用不等式求解。法一通过解三角形，建立关于三角函数模型，利用三角函数的性质求最值，渗透函数思想；法二借助于基本不等式来求最值，不失为上策。

考情汇总：2007至2015年均可见到解三角形问题，选择题、填空题、解答题中都出现过。

4.坐标系与参数方程

新课标下对三角函数的考查也经常出现在三选一的解答题（23）题中，也是大多数考生首选的题。常见曲线的参数方程，极坐标方程都与三角函数紧密相关，一般考生能顺利解答第一问，第二问就比较困难。若能准确理解参数方程中参数的几何意义，极坐标方程的意义，充分发挥三角函数的工具性作用，则可以轻松求解，稳妥得分。

点评：这两道题都涉及了求两动点之间距离的最值问题，例5利用椭圆的参数方程借助于三角函数求最值；例6只需要将曲线C1的普通方程化成极坐标方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用极坐标方程求解显得简便。

考情汇总：2007至2015，每年在（23）中均出现，而且灵活性越来越大，不是想象的送分题了，解答须谨慎。

三、备考建议

三角函数变换规律例10

函数这部分内容，几乎涉及到中学里所学的数学思想方法，例如：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想.函数的解题方法，用到了很多典型的基本方法，例如：配方法、待定系数法、数学归纳法、换元法、消元法、反证法等.

复习时首先要重视基础，基础知识的掌握要全面，其次要注意函数图像的平移变换、伸缩变换、对称变换以及函数图像的翻折变换，这些都是高考出现频率高的问题，应熟练掌握.

有关函数的综合问题一般难度较大，失分较严重，要增加复习力度，要重视有关一次函数、二次函数、指数与对数函数的综合问题，重视应用问题中函数模型的构建，要掌握用解析几何的思想和方法解决代数问题，掌握用导数方法研究函数的性质及解决实际问题的方法.

例1 （2007年山东高考题）设函数f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0．

（Ⅰ）当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln( +1)> - 都成立．

解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(-1,+∞)，f′(x)=2x+ = .设g(x)=2x2-2x+b，其图象的对称轴为x= - ∈(-1,+∞)，

g(x)min=g(- )=- +b．当b> 时，g(x)min=- +b>0，

即g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立，

当x∈(-1,+∞)时，f′(x)>0,当b> 时，函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当b> 时，函数f(x)无极值点．

②b= 时，f′(x)= =0有两个相同的解x=- ，

x∈(-1,- )时，f′(x)>0，x∈(- ,+∞)时，f′(x)>0，

b= 时，函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点．

③当b< 时，f′(x)=0有两个不同解，

x1= ，x2= ，

b

即x1∈(-1,+∞)，x2∈[-1,+∞)．

b

由此表可知：b

x1= ，

当0

此时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

由此表可知：0

x1= 和一个极小值点x2= ；

综上所述：

b

（Ⅲ）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)，令函数h(x)=x3- f(x)=x3-x2+ln(x+1)，则h′(x)=3x2-2x+ = ．

当x∈[0,+∞)时，f′(x)>0，所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增，

又h(0)=0．x∈(0,+∞)时，恒有h(x)>h(0)=0，

即x3>x2-ln(x+1)恒成立．

故当x∈(0,+∞)时，有ln(x+1)>x2-x3．

对任意正整数n取x= ∈(0,+∞)，则有ln( +1)> - ．所以结论成立．

点评：用导数研究函数的性质尤其是单调性与极值是高考试题中的必考内容，本题的前两问继承传统没有大的变化，第三问利用导数证明不等式，有一定的新意.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查函数与导数知识的还有安徽、北京、天津等.综合分析可预测2008年，函数与导数知识仍为必考内容，函数的单调性与极值仍是热点，另外，应注意导数在不等式证明、研究曲线的切线性质、实际应用题中的应用.

二、数列与数学归纳法：

函数是高考的主线，而数列是一种特殊的函数，一直是高考的热点，因此，解数列题要注意运用方程与函数的思想方法，分类讨论的思想，等价转化的思想等数学的思想与方法去解题，①等差数列的求和公式是关于n的二次函数，所以解题时可借助二次函数的性质求解；②等比数列的求和公式中分母出现1-q,解题时要注意分母为零的情况，要分|q|>1,|q|

数列问题与数学归纳法是密切相关的，经常需要利用合情推理，从特殊到一般，观察分析归纳得到数列中各项之间的递推关系，然后进行证明求解.纵观近几年各地高考试题，主要有两种表现形式：一种是以图、表等形式给出彼此间关系，确定图、表中某一行或某一列中项的规律性质；另一种是借助函数、方程等条件给出项之间的关系，然后确定数列的通项、前n项和的关系式或比较其中某些项的大小关系.

例2 （2007年湖南高考题）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第

行；第61行中1的个数是．

第1行 11

第2行101

第3行 1111

第4行10001

第5行 110011

…… …………………………………………

分析:观察杨辉三角形可知，第1次全行的数都为1的是第1=21-1行;

第2次全行的数都为1的是第3=22-1行;

第3次全行的数都为1的是第7=23-1行;

第4次全行的数都为1的是第15=24-1行;…，

所以，第n次全行的数都为1的是第（2n-1）行；

因为第7行8个数为：1，1，1，1，1，1，1，1；

第6行7个数为：1，0，1，0，1，0，1；

第5行6个数为：1，1，0，0，1，1；

所以第63行64个数为：1，1，1，1，1，1，1，…，1；

第62行63个数为：1，0，1，0，1，0，1，0，…，1；

第61行62个数为：1，1，0，0，1，1，0，0，…，1，1；

第61行62个数中1的个数为：15×2+2=32.

点评:本题这种图表题型近几年一直在考，解决关键是准确理解图表前几行或列中各项之间的关系，找出规律特点，然后运用合情推理，把此规律特点运用到所求的问题上，问题即可迎刃而解.

例3 （2007年山东高考题）设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，a∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}的通项；

（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn．

解：（Ⅰ）a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，n=1时，a1= ；

假设n=k时，ak= ；则n=k+1时，3k•ak+1= -(a1+3a2+…+3k-1•ak)= -( + +…+ )= - = ，

ak+1= ；由数学归纳法原理知：an= ．

（Ⅱ）bn= ，bn=n3n．

Sn=3+2×32+3×33+…+n3n，①

3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1． ②

②-①得 2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n)．

即2Sn=n3n+1- ， Sn= + ．

点评：数列是年年高考必考内容之一，一般一个大题，1-2个小题.本题主要考察等比数列的通项公式、前n项和公式及推导方法，考察数列知识的应用能力和转化的数学思想.同时本题也体现对常规题目运用通性通法解决问题的能力.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查数列与数学归纳法的还有全国卷、上海卷、浙江卷.综合分析可预测2008年，高考数列部分要求不会有大的改变，仍重点考察等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式及常用的求通项、求和的方法，但须注意两点：（1）数列与其他知识的结合（如函数、导数、解析几何等），尤其是用函数与方程思想方法解决数列问题；（2）树立应用意识，能利用数列的有关知识解决实际生活中的一些问题.

三、三角函数

三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数.本部分基本的解题规律为： 观察差异（或角、或函数、或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.

变是本部分的主题，角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的变换、三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变的意识是关键，但题目不可太难，要立足课本，掌握课本中常见问题的通性通法，自觉对课本习题进行归类，并进行分析比较，从中发现解题规律与技巧.另外要注意加强三角函数应用意识的训练.

例4 （2007年浙江高考题）已知ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC．

（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为 sinC，求角C的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，两式相减，得AB=1．

（II）由ABC的面积 BC•AC•sinC= sinC，得BC•AC= ，由余弦定理，得cosC=

= = ，所以C=60°．

点评：本题考察三角函数在三角形中的应用，新课标对解三角形要求没有降低，同时加强了对应用意识的要求，因此，与应用有关的数学知识成为考察重点.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查三角函数的还有山东卷、全国二卷、湖南卷、安徽卷、江西卷等，综合分析可预测2008年，高考对三角部分的考察将保持4个稳定：内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定，考察重点仍是三角函数的概念、性质和图像，求值与三角变换，另外要注意加强三角函数应用意识的训练.

四、圆锥曲线与平面向量：

本专题的重要内容是直线与二次曲线的位置关系，而这种关系可从方程的观点出发，把直线与二次曲线的关系问题等价于直线方程与二次方程联立的方程组解的问题，即等价于消元后的一元二次方程的判别式情况，这是代数方法研究两曲线位置关系的基础.学习本部分内容，不仅为了掌握圆锥曲线的定义和性质，还要通过对他们的研究，进一步学习如何用代数方法研究几何问题，即掌握坐标法.

这类问题常涉及到：

（1）直线被二次曲线截得的弦AB，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)则弦长|AB|= + ，与弦AB有关的三角形面积的计算及最值问题.

（2）二次曲线上有关已知直线对称的两点问题.

（3）直线与二次曲线相交、相切条件下某些关系的建立及其一些字母范围的确定.

处理以上问题常常用到一元二次方程的根与系数关系，整体思想，“设而不求”、间接考虑问题的思想方法和数形结合思想.

例5 （2007年山东高考题）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)，由已知得：a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b2=a2-c2=3.椭圆的标准方程为为 + =1．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立得y=kx+m， + =1．得

(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，

Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0，x1+x2=- ，x1•x2= ．

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= ，

因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0)，

kADkBD=-1，即 • =-1，

y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，

+ + +4=0，

9m2+16mk+4k2=0．解得：m1=-2k，m2=- ，且均满足3+4k2-m2>0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；

当m2=- 时，l的方程为y=k(x- )，直线过定点( ，0)．

所以，直线l过定点，定点坐标为( ，0)．

点评：由于新课标降低了对双曲线的要求，因此有关椭圆的内容成为重点，本题主要考察直线与椭圆的位置关系，解析几何的思想方法以及运用解析法处理问题的能力，考察函数与方程的思想方法，同时本题也体现了对常规题目运用通性通法解决的要求.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查圆锥曲线的还有广东卷、湖南卷、江西卷、全国卷、陕西卷、天津卷、浙江卷、重庆卷等，综合分析可预测2008年高考本板块以下内容将会是命题的热点：（1）求指定曲线方程或轨迹方程；（2）圆锥曲线的定值、定点问题；（3）圆锥曲线的最值问题；（4）圆锥曲线中的对称问题.

五、立体几何与空间几何体：

立体几何考察的重点在空间图形上，突出对空间概念和空间想象力的考察.立体几何的基础是对点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法.

空间几何体是空间直线与平面问题的延续和深化，要熟练掌握概念、性质、面积、体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解，会用类比的思想方法研究线面的垂直与平行关系.

例6 （2007年山东高考题）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB∥DC．

（1）求证：D1CAC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

（1）证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，

连结C1D，DC=DD1，

四边形DCC1D1是正方形．DC1DC1．

又ADDC，ADDD1，DCDD1=D，

AD平面DCC1D1，

D1C 平面DCC1D1，ADD1C．

AD,DC1 平面ADC1，且ADDC=D，

D1C平面ADC1，又AC1 平面ADC1，D1CAC1．

（2）连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN，

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使DE1∥平面A1BD，须使MN∥D1E，

又M是AD1的中点．N是AE的中点．

又易知ABN≌EDN，AB=DE．

即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使DE1∥平面A1BD．

点评：本题主要考察空间直线和平面平行的判定定理的应用，考察同学们的空间想象力和逻辑思维能力，另外第二问以开放形式给出条件，考察了同学们的创新意识与发散思维能力，是一道较好的文科试题.

在2007年各地高考试题中，比较典型的考查立体几何还有全国卷、安徽卷、江苏卷、天津卷、广东卷等.综合分析可预测2008年，高考内容不会有太大的变化，文科仍以简单的逻辑证明为主，主要是线线、线面、面面的平行与垂直.要求同学们记牢4个公理及相关推论，等角定理，8个相应的判断定理和性质定理及有关的结论.注意作题的规范化.

六、概率与统计

对于概率、统计这部分内容，要注意课本例题、习题的示范性、规范性、导向性的功能.概率、统计的考察以基本知识为主，应注意课本例题习题的形式，特别是概率，背景不宜太复杂，切忌过度拔高而脱离高考和学生的实际.

例7 （2007年山东高考题）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件A，“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C，则Ω={（b，c）|b，c=1，2，…，6}，

A={（b，c）|b2-4c

B={（b，c）|b2-4c=0，b，c=1，2，…，6}，

C={（b，c）|b2-4c>0，b，c=1，2，…，6}，

所以Ω是的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个.又因为B,C是互斥事件，故所求概率P=P(B)+B(C)= + = ．