探索平行线的条件例1

随着科学技术的不断发展，在中学数学教学中如何培养学生科研基础能力，已提到教学研究的日程上。若认为中学数学内容浅显，还远未涉及科研问题，从而忽视科研基础能力的培养，是极不恰当的，事实上，中学数学这些浅显内容，在未被发现之前也是难度很大的新问题，也都是通过科研探讨而获得解决的。因此，中学数学内容包含了科研能力的基本功。如果在教学的过程中能够有意识地对学生加强这方面的培养与训练，那么对于他们在未来的科研道路上获得新成果，定会起到积极的作用。

下面，我就在数学教学中如何培养学生的探索问题的能力，结合个人三十余载的高中数学教学实践，谈几点粗浅的认识。

1、在进行解题克服矛盾过程中，培养学生探索问题的能力。一切事物都是在不断地克服矛盾的过程中前进的，如果在教学的过程中，能经常不断地通过揭示矛盾而引出新知识和新方法，那么学生在遇到矛盾时，就能够抓住矛盾的关键所在，从而提出解决矛盾的设想，激起勇于探索创新的精神。

类似这些问题，在教学中应尽量把矛盾摆出，启发学生来解决。

2、从由特殊到一般进行归纳中，培养学生探索问题的能力。由一些特殊的，个别的事物之中寻求共性，从而归纳出一般的结论，这是认识事物的一种最基本的方法。事实上，无论是自然科学，还是社会科学，经常是通过归纳而提出猜测性的结论，然后再进一步检验与证明提出的结论正确与否。因此，这是一种很重要的探索问题的方法，在教学中应随时有意识地对学生进行这方面的培养和训练，从而提高学生探索问题的能力。例如：求数列的通项与前n项和的公式以及排列、组合种数公式等，教学中都应本着这种要求进行教学。

课本上归纳法这部份例题，习题很多，我们均可让学生先推导结论，再用数学归纳法证明。

3、从通过类比进行数学中培养学生探索问题的能力。

类比也是探索问题的一种重要方法，虽然由类比得到的结论不一定可靠，但类比是科学研究的最普遍的方法之一，对科学发现方面具有重要的作用。数学中不少概念、性质、定理，就是从类比推测中发现的。因此，在教学时，采用类比方法那是大有益处的，不仅可培养学生探索问题的能力，而且还可以把类似的问题联系在一起，明确他们在哪些方面共性，哪些方面没有共性，从而能再准确地掌握它们。如：不等式性质可以与等式的性质进行类比，从而更加明确等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个数，仍是等式，这一性质对于不等式来说是不成立的，只有明确了所乘（或除）的数是正（或负）数之后，才能有相应的性质。

又如：立体几何中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系可以与平面几何中直线与直线的平行、垂直关系进行类比，而提出推测，然后再进一步于以肯定或否定。如“二直线同时平行一直线则二直线平行”成立；而“二直线同时垂直于同一直线则二直线平行”就不成立；但“二直线同时垂直于同一平面则二直线平行”又成立；而“二平面同时垂直于同一平面则二平面平行”却又不成立；等等。如果学生能独立地通过类比而提出推测，进而判定推测的正误，那么，他们将能更扎实的掌握知识。

在教学过程中，我们应当尽可能地创造更多的条件和机会，让学生参加这类活动，事实上，一旦他们的设想、联想、猜想所得结论被证明正确的时候，势必大大增强其自信心，增强对数学的兴趣。

4、从条件变换来推导结论中，培养学生探索问题的能力。在自然科学领域中，经常是通过改变条件进行实验来研究可能获得的新成果。在数学领域中也经常是变换条件来研究可能获得的结论的，变换条件而提出新问题也是科研的基本功之一，因此，我们不能忽视对这种能力的培养。有关这方面的内容就更多了，这里仅举一例：

如：在“平面与平面垂直的判定定理，性质定理”的教学中，分下面三层次进行教学，使学生思维处于积极兴奋状态。

第三、要求学生阅读课本后，概括出命题⑴即为两个平面垂直的判定定理。命题⑵、⑶即为两个平面垂直的性质定理，并要求学生用语言表达。

在这节课的教学中，我们教师因势利导，适时启发，师生共同得出面面垂直判定、性质定理。这种发现情境的创造无疑对激发学生学习兴趣，提高分析问题解决问题的能力起积极作用。

探索平行线的条件例2

关键词：平行线；判定；北师大版；人教版

目前，中小学数学主要使用北京师范大学和人民教育出版社两种教材，其中沿海和新课改城市一般采用北京师范大学出版社的教材，而北方内地城市一般采用人民教育出版社的教材。两种教材究竟有哪些不同和联系呢？本论文将从新课程标准的要求、章节引言、内容结构和教学设计四方面，阐述两本教材中《平行线判定》这一课的异曲同工之处。

一、新课程标准要求

1.实施意见

《义务教育数学课程标准》在实施意见中指出，数学教学要生活化、情境化和知识系统性，最终超出生活（生活数学）并上升到“笛模型”（书本数学）。

2.课程目标

在课程目标中要求学生：探索并掌握相交线、平行线的基本判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

3.内容标准

在内容标准中要求学生：识别同位角、内错角、同旁内角。掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行。

二、两教材中的章节引言

两本教材的章节引言大同小异。都从生活出发，使用了桥梁图片，引出本章内容。介绍了生活中的一些蕴藏相交线和平行线的景象，并介绍了本章学习的主要内容。

三、两教材中的内容结构

《相交线与平行线》在初中数学北师大版教材中的第38页至第60页，使用了23页的篇幅。而人教版是教材中的第2页至第37页，使用了36页的篇幅。可见人教版使用的篇幅较多，将命题定理和平移的知识点也融入里面了。

北师大版的章节安排有：2.1两条直线的位置关系，2.2探索直线平行的条件，2.3平行线的性质，2.4用尺规作角，回顾与思考，复习题。人教版的章节安排有：5.1相交线，5.2平行线及其判定，5.3平行线的性质，5.4平移，小结，复习题。可见章节安排大致相同，不过北师大版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在后，在“2.2探索直线平行的条件”中，一起使用了两个课时。人教版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在前，在“5.1 相交线”中，而“5.2平行线及其判定”只使用了一个课时。同位角、内错角和同旁内角概念的前后，体现了两本教材的不同思路。

四、两教材中的教学设计

北师大版的课题名字是“探索直线平行的条件”，课本分两个课时，第一课时主要内容有：装修工人如何使木条a平行于木条b？利用三根木条转动模型，探索同位角概念和平行线判定（同位角），三角尺画平行线，过直线外一点画平行线。第二课时主要内容有：内错角和同旁内角概念，探索平行线判定（内错角、同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：

1.情境引入

出示图片，提问学生“看到这么多图形，你有什么问题和想法想和大家交流一下吗？”引出本节课的大问题“我们该如何判断、作出两直线平行？”

2.合作探究

学生讨论、交流做平行线的方法，并上台展示。学生1：“在同一平面内，做同一条直线的两条垂线，这两条垂线平行。”学生2：“用小学学过的知识，平移三角板画出两条直线平行。”学生3：“作两组对边分别相等的四边形，得到平行四边形，平行四边形的对边平行。”学生4：“在直线一旁，作两个相等的角，这两个角的另一边互相平行。”……

3.导学达标

老师引导学生，总结以上方法，并找出共性。引出“同位角”的概念，发现“同位角相等，两直线平行”。接着再思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。

4.矫正深化

安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了随堂练习2道，习题5道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、格子图作平行线的、折纸作平行的、建筑工人调整工具作图的原理等。主要侧重操作。下一节课再学习“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

人教版的课题名字叫“平行线及其判定”，课本安排了一个课时，在学习之前已经学习了同位角、内错角和同旁内角概念，本课时的主要内容有：利用三根木条转动模型思考两直线位置关系，过直线外一点画平行线，回顾三角尺画平行线，平行线判定（同位角），木工用角尺画平行线的原理，平行线判定（内错角），平行线判定（同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：

1.情境引入

出示图片，提问学生：“看看这些图形，它们有什么共同特征？”引出本节课的内容“两直线的位置关系”。

2.合作探究一

思考三根木条转动模型，思考两直线不相交的情况。学生体会两直线不相交时候的角与线的位置特征。

3.合作探究二

思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。学生画平行线体验。

4.合作探究三

思考以前学习过的用三角板画平行线的方法，思考其中的原理。学生通过操作、演示和交流发现“同位角相等，两直线平行”。学习完判定后，再思考木工用角尺画平行线的原理，让学生进一步体验判定的内涵。

5.合作探究四

思考内错角、同旁内角与同位角的关系，想想能否用内错角和同旁内角的关系判断两直线平行。学生运用所学知识，将内错角相等、同旁内角互补转化为同位角相等，发现新的两条判定。

6.合作探究五

思考垂直于同一直线的两条直线的位置关系，运用前面所学知识，证明垂直于同一直线的两条直线平行。学生在学习的过程中，不断地应用所学知识。

7.矫正深化

安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了练习3道，习题12道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、生活中的数学原理、区分三个判定、三个判定的联系等。主要侧重知识的应用。

五、两教材中的异曲同工

两教材的知识点、内容设计、章节引言和情境引入都符合新课标要求。两本教材的课本引言和新课引入都从生活出发，引入课题，符合新课标中教学生活化和情境化的要求。两本教材的内容、结构大致相同，循序渐进，从生活现象观察里面所包含的数学原理，探索数学定理，不过人教版安排的内容比较多，习题也比较多，所以篇幅也较多，更加重视知识的系统性。

两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了木工画平行线的情境，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重从生活现象探索数学的过程，人教版更注重用数学知识解释生活中的现象。例如，北大版利用木工画平行线的方法，引导学生探索平行线的判定，判定是学生从生活中自己探索发现的，而不是强加给自己的。而人教版是在探索完平行线的判定以后，让学生去解释木工画平行线的合理性，将数学知识融入现实生活中，服务于生活。前者重视让学生自己去探索新的知识和方法，通过老师引导升华为数学定理，而后者重视利用自己所学的知识，解释生活中的各种现象，用数学原理解决生活中的问题。

两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了同位角、内错角和同旁内角的概念，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重因探索的需要创造工具，而人教版更注重使用已有的工具探索新的问题。例如，北师大版在学习平行线的判定之前，没有学习同位角、内错角和同旁内角的概念，而是为了方便探索平行线的判定，给有相应位置特征的角起个名字，是在探索中新发现的数学概念和工具。而人教版是在之前就学习了同位角、内错角和同旁内角的概念，而且在前面的习题中，引导学生，认识和区分这些角。在探索平行线的判定的时候，将这些角作为探索的工具，帮助学生探索平行线的判定。这些工具是为了探索新知而补充的知识。

探索平行线的条件例3

基本特征：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．

【例1】 （浙江）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将平面AFD沿AF折起，使平面AFD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，求t的取值范围.

图1 图2

解析：如图2，破解此题可采用两个极端位置法.对于F位于DC的中点时，t=1，随着F点到C点时，因CBAB,CBDK,CB平面ADB，即有CBBD，对于CD=2，BC=1,BD=3.又AD=1,AB=2，因此有ADBD，则有t=12，因此t的取值范围是(12,1).

突破策略：执果索因，反溯探求

解决此类问题可以执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．

题型2 探索结论

基本特征：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题．

【例2】 （海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP|｜OM｜=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解析：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c，由已知得a-c=1，a+c=7，解得a=4,c=3，所以椭圆C的标准方程为x216+y27=1．

（2）设M(x,y)，其中x∈［-4,4］，则点P和点M横坐标相同，代入椭圆方程可得其纵坐标，即P(x,112-7x216)，由已知得|OP|2|OM|2=λ2，代入两点间距离公式，再由点P在椭圆C上，可得9x2+11216(x2+y2)=λ2．整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈［-4,4］．

①当λ=34时．化简得9y2=112，所以点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．

②当λ≠34时，方程变形为x2

11216λ2-9

+y2

11216λ2

=1，其中x∈［-4,4］．

当0＜λ＜34时，轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；

当34＜λ＜1时，轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

突破策略：执因索果，直接探求

对于此类给定条件、寻求相应结论的探索性问题，我们可执因索果，直接探求结论，对于其中含参数的探索性命题，其突破策略是对参数进行分类讨论．

题型3 探索是否存在

基本特征：判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在．

【例3】 （全国）给定双曲线x2-y22=1．

过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解析：设所求直线m的方程为y=k(x-1)+1,并设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),

探索平行线的条件例4

这类问题一般命题的结论明确，需读者反溯结论成立的条件.可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件，并辅助于图形结构、隐含的条件进行分析探究，有时需通过计算推理，方可搜寻到使得结论成立的所需条件.

例1（2010年河南省）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

（1）当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

分析 ：（1）如图2(1)，分别过点A、D作AMBC于M，DNBC于N，显然当点P运动到点M、N的位置时，四边形PADE，四边形PEAD都是直角梯形，在RtDNC中，由CD=42，∠C=45°可知CN=DN=4，所以BM=BC－CN－MN=12-4-5=3，BN= BC－CN=12-4=8,所以当x值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.

（2）如图2(2)，分别过点A、D作AM∥DE，DN∥AE交BC于M、N，显然四边形AMED、DNEA都是平行四边形，所以当点P运动到点M、N的位置时，四边形PADE，四边形PEAD都是平行四边形，又BE=6，所以当BP=BE-ME=BE-AD=6-5=1时四边形PADE是平行四边形，当BP=BE+EN=BE+AD=6+5=11时，四边形PEAD是平行四边形.所以当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.

（3）如图2(1)，由（2）知，①当BP=1,以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

PE=5, 过点D作DNBC于N，在RtDNC中，由CD=

42，∠C=45°可知CN=DN=4，所以EN=2，在RtDNE中，由勾股定理可得DE=

DN2+EN2=25≠AD,此时以点P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形.

②当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．

因为EP=AD=5．过点D作DNBC于N，在RtDNC中，由CD=

42，∠C=45°可知CN=DN=4，所以PN=3，

PD=DN2+PN2=5．所以PD=AD，所以以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．

评注 ：本题以动点在梯形底边上运动为载体，导演了一个动态的开放探索条件性问题，整个问题以计算、推理为主线，探索发现为目标，充分体现事物之间在一定条件下可以相互转化的辩证关系，使梯形、平行四边形、菱形相互携手，各展风采.同时体现了数形刚柔并济，辅助线协同作战和谐氛围，考查特殊四边形的判定等腰直角三角形、勾股定理等相关知识.

类型二 结论探索性

探索结论型的问题的特点是：命题只给出了明确的条件，隐去了结论，要求考生需结合图形探究、发现、猜测出相应的结论，或变换命题中的部分条件探究对结论的影响；解题时读者必须全方位审题，挖掘、搜集必要的信息进行提炼，大胆推测结论，小心求证.

例2（2010年山西省）如图3，已知正方形ABCD的边CD在正方形

DEFG的边DE上，连结AE,GC.

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图4，连结

AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

分析 ：（1）同一平面内两条直线的位置关系有平行与相交，在相交中有一种特殊的位置关系――垂直，观察图形中AE、GC显然不平行，因而可以猜想AECG.

（2）延长AE和GC相交于点H.欲证AEGC，即证∠EHC=90°，也就是只要证明

∠CEH+∠7=90°.而∠CEH=∠AEB,∠AEB+∠6=90°，只需证明∠7=∠6，而∠6+∠5=90°，∠7+∠4=90°，只需证明∠5=∠4，这可由ADE≌CDG获得答案.

解 ：（1）答： AEGC.

证明 ：延长GC交AE于点H.

在正方形ABCD与正方形DEFG中，

AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°,DE=DG,

所以ADE≌CDG,所以∠1=∠2,

因为∠2+∠3=90°.所以∠1+∠3=90°.

所以∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°=-90°.

所以AEGC.

（2）答：成立

证明 ：延长AE和GC相交于点H.

在正方形ABCD与正方形DEFG中，

AD=DC,DE=DG,∠ADC=∠DCB

=∠B=∠BAD=∠EDG=90°,

所以∠1=∠2=90°-∠3,

所以ADE≌CDG.所以∠5=∠4.

又因为∠5+∠6

=90°,∠4

+∠7=180°-∠

DCE=180°-90°=90°,

所以∠6=∠7.又因为∠6+∠AEB=90°,

∠AEB=∠CEH.

所以∠CEH+∠7=90°.所以∠EHC=90°,所以AEGC.

评注 ：在“运动变化的几何图形”中，让学生探究几何图形所具有性质的“变”与“不变”是当前中考最富有活力的一类几何问题.此类问题常先设置一个让学生探索的问题情景，在获得结论之后，再创设一个题设变化、图形变化的问题环境，进一步探究对结论的影响.解决此类问题应对原命题的结构特征、辅助线的作法、解题的思维策略精心研究，然后在变化的几何图形中进一步审视原来辅助线的添作、证明方法能否迁移，进而拾级而上，抓住运动变化过程中的“不变因素”，利用“类比”的思维方法，方可获得问题的答案.从上述垂直关系的探究过程中我们可以发现，虽然经过旋转，两个正方形的相对位置发生了变化，导致AE、GC位置也发生了变化，但本质的垂直关系依然保持不变，这不能不归功于ADE≌CDG关系不变.

类型三 存在探究性

所谓“存在性”的问题，就是要求应试者在给定的部分条件下，判断某种数学对象（直线、点的坐标、几何图形、变量的取值等）是否存在的命题，这种题型有利于测试学生的猜想、判断、逻辑推理等创造性解决问题的能力.解决此类问题的方法是：先对结论作出肯定存在的假设,而后结合题设、方程的解法、定理等进行正确的计算或推理，若得出矛盾的（或不合实际意义）结果，则否定先前假设，说明结论不存在；若推出合理的结果，说明假设成立，进而知结论是存在的.

例3 （2010年陕西省）问题探究

（1）请你在图5(1)中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（2）如图5(2)，点M是矩形ABCD内一定点.请你在图

5(2)中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.

问题解决

（3）如图5(3)，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中

DC∥OB,OB=6,BC=4,CD=4.开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点

P(4,2)处.为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由.

分析 ：（1）如图6(1)，作直线DB，直线DB即为所求.

（2）如图6(2)，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心.

作直线MP，则直线MP即为所求.

（3）如图6(3)，存在符合条件的直线l.

过点D作DAOB于点A，则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心.

所以过点P的直线只要平分DOA的面积即可.

假设在OD边上存在点H，使得直线PH将DOA面积平分.

从而，直线PH必平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线I.

下面我们通过计算推理来探究验证直线是否存在.

设直线PH的表达式为

y=kx+b,且点

P(4,2),

所以2=4k+b.即b=2-4k,所以y=kx+2-4k.

因为直线OD的表达式为y=2x．

所以

y=kx+2-4k

y=2x

,解之，得

x= 2-4k 2-k

y= 4-8k 2-k

.

所以点H的坐标为( 2-4k 2-k

, 4-8k 2-k ).

因为PH与线段AD的交点F的坐标为(2,2-2)，

所以0

= 1 2

(4-2+2k)•（2-2-4k 2-k

)= 1 2 × 1 2

×2×4.

解之，得

k= 13-3 2

•(k= -13-3 2

不合题意，舍去）

所以b=8-213.

所以直线l的表达式为y= 13-3 2

x+8-213.

评注 :本题的问题探究是让学生通过画图操作探究发现：等分矩形面积的直线必须过矩形的对称中心，最容易发现的是矩形的每一条对角线所在的直线都是平分矩形面积的直线，而且这两条直线都通过交点，这点正好是矩形的对称中心，由此拓展到过矩形对称中心的任意一条直线都可以把矩形分成面积相等的两部分.而问题解决中的梯形我们可以通过作高将其转化矩形和三角形，而直线l所通过的点P（4，2）正好是矩形ABCD的对称中心，因此直线l只要平分AOD的面积即可.这样可以利用一次函数的知识用待定系数法只要确定直线l的k值.就说明了直线必然存在.

类型四 规律探索性

命题的形式常常是给出几个具体的数、式或图形（包括将图形按某种要求进行分割后得到的图形面积、周长等），根据已有的知识经验探究其中的隐含变化规律，从而猜想出一般的结论.解决此类问题一般从特殊情况、或最简单情况入手，进行研究，拾级而上找到问题的规律.

例4 （2010年浙江省宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：

多面体[]顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体 4 4

长方体 8 6 12

正八面体8 12

正十二面体 20 12 30

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 .

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是

.

（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y，求x＋y的值．

分析 ：(1)观察四面体容易发现共有6条棱，正八面体共有6个顶点.通过分析表格中多面体的顶点、面数、棱数数据之间的关系，可以发现他们有一个共同的关系,顶点数与面数之和比棱数多2，用数学表达式可表示为：

V+F-E=2.

(2)设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，代入上述表达式得：2x-8-30=2，

解之得x=20.

(3)因为多面体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，所以这个多面体共有棱数为

24×3 2 =36(条). 又依题意可知这个多面体的面数为

x+y，由猜想的公式V+F-E=2可得

24+(x+y)-36=2 ，所以

x+y=14.

类型五 综合探索性

此类问题的情景是它的条件和结论都不确定，需要读者从提供的素材中选择某些作为条件，某些作为结论，然后组合成一个新的命题，并加以探究与证明.改变了传统的“条件―结论”型的封闭模式，为读者提供的是一个“探究――猜想――证实”数学环境.

例5 （2010年巴中市）如图8，AB是O的直径，C、D是半

圆弧上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE交于点F，①弧AD=弧CD；②DEAB；③AF=DF.

（1）写出以①②③的任意2个条件，推出第3个（结论）的一个正确命题，并加以证

明.（2）以①②③的任意2个为条件，推出第3个（结论）可以组成多少个正确命题？不必说明理由.

分析 ：（1）若AD〖TX(〗=CD〖TX（〗，DEAB,则AF=DF.

连结AD、BD，因为∠DAC=∠B，又AB是O的直径，DEAB，

所以∠ADB=∠AED=90°，所以∠ADE=∠B，所以∠ADE=∠DAC，所以AF=DF.

（2）可以组成3个正确命题.若①、②则③；若①、③，则

探索平行线的条件例5

解题方法指导

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，再加上题意新颖，构思精巧，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

（1） 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行切入.

（2） 反演推理法（反证法）：假设结论成立，根据假设进行推理.

（3） 分类讨论法：当命题的题设和结论不唯一确定，则需要按可能出现的情况加以讨论.

（4） 类比猜想法：由一个问题的结论或方法类比猜想出另一个类似问题的结论或方法.

热点问题解析

一、 结论的开放与探索

例1 （2011·江西）已知抛物线y=-（x-m）2+1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C.

（1） 写出m=1时与抛物线有关的3个正确结论；

（2） 当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；

（3） 请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）.

【分析】（1） 将m=1代入y=-（x-m）2+1化简；（2） 令y=0时得出（x-m）2=1得A，B的坐标.令x=0时得出OC=m2-1，求出m的实际值；（3） 根据m值的不同分情况解答.

【解析】解：（1） 当m=1时，抛物线的解析式为y=-x2+2x.正确的结论有：① 抛物线的解析式为y=-x2+2x；② 开口向下；③ 顶点为（1，1）；④ 抛物线经过原点；⑤ 与x轴另一个交点是（2，0）；⑥ 对称轴为x=1；

（2） 存在.当y=0时，-（x-m）2+1=0，即有（x-m）2=1. x1=m-1，x2=m+1.点B在点的右边，A（m-1，0），B（m+1，0）.点B在原点右边，OB=m+1.

当x=0时，y=-m2+1，点C在原点下方，OC=m2-1.当m2-1=m+1时，m=2或m=-1（因为对称轴在y轴的右侧，m>0，所以不合要求，舍去），存在BOC为等腰三角形的情形，此时m=2.

（3） 如：①对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1的顶点都在直线y=1上；② 对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1与x轴的两个交点间的距离是一个定值；③ 对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2.

【点评】这类题目是在给定条件下，探索相应对象是否存在.本题综合考查二次函数的知识点.此类函数开放题，具有发散性，其基本解题方法：假设存在，演绎推理，得出结论.

拓展问题 已知二次函数y=a（x2-6x+8），（a>0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

（1） 如图2，连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′，恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2） 如图3，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3） 如图3，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由.

二、 解题方法的开放与探索

例2 （2008·江苏南京）如图4，已知O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP=10 cm，射线PN与O相切于点Q.A，B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为t s.

（1） 求PQ的长；

（2） 当t为何值时，直线AB与O相切？

【分析】第（2） 小题是一道条件探索性问题.其解法是“执果索因”，要得到直线AB与O相切，即要分类讨论，但就其解题策略来说也属于解题方法的开放与探究问题.

四边形OCBQ为矩形.BQ=OC=6.

① 当AB运动到如图5所示的位置时，

BQ=PQ-PB=8-4t=6.解得t=0.5（s）.

② 当AB运动到如图6所示的位置时，

BQ=PB-PQ=4t-8=6.解得t=3.5（s）.

所以，当t为0.5 s或3.5 s时直线AB与O相切.

【点评】此题考查三角形相似、矩形的判定以及直线和圆的位置关系，综合性较强，注意分类思想和数形结合思想的应用.这类题目常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系，考查同学们的综合解题能力.

拓展问题 如图7，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x s.

（1） Q点的坐标为（_______，_______）（用含x的代数式表示）.

（2） 当x为何值时，APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

探索平行线的条件例6

中图分类号：G633．6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）05-031-001

面向全体学生，实施课堂教学民主化。保证数学思维活动这条主线的贯穿与畅通。没有学生的思考与实践，就没有真正的数学学习。教师的主导作用就是要想办法让每一个学生主动参与，只有让学生的思维活动得以充分暴露，教师再给予释疑、评价、点拨，去触及学生的“灵魂”，才能够真正唤起学生主动参与的意识。学生在自主探索、发现学习的过程中，是需要足够的思考和想象的时间的，教师不要急于公布“谜底”，如果学生确有困难，可略加暗示，或通过转换角度去降低问题的难度，如果学生对问题感到困惑，可“等一等”，再疏导；当意见发生分歧时，可“议一议”，再统一；当思维发生偏差时，可“导一导”，再纠正，只有这样，面向全体学生，学生的主体作用才能真正落在实处，学生的数学素养才能提高。因此，教师要注重定理及例题教学的发现教学，精心创设发现的情境，摸透教材，把握课堂教学的节奏，舍得花时间，引导学生去探索，去研究，去发现知识之间的联系，达到教学的目的。

一、定理的发现教学

思维是在实践活动中发现和发展起来的，在定理的发现教学活动中，学生由被激发起好奇心及探索的欲望。因此，他们就会积极地去探索、研究，根据已有的知识以及获取的感性材料，在自己的头脑中进行分析、综合，创造出新的“产品”，进而可提高学生的心理品质、发展思维能力。在这种教学过程中，学生能经常地根据要求努力地去探索、研究，久而久之就会自然地养成良好的学习习惯，也会逐步培养和发展探索问题的能力，这无疑是大有裨益的。

如：线段的垂直平分线定理的教学，我是这样设计的：

1.（1）线段垂直平分线的定义是什么？（2）任意画线段AB，再画它的垂直平分线CD。（3）点与点之间的距离是什么？（4）在CD上任取一点P，连结PA、PB，再任取一点Q，连结QA、QB。

2.指导学生实验：（1）分别量出点P、Q到点A、B的距离，并且比较它们的大小。（2）要求学生在CD上再任取几个点，按上述要求完成。

3.引导学生认真整理、分析数据、写出结论，在教师的指导下进行分析、综合。由学生得出相应的结论：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

4.指导学生论证，要求学生能根据已学过的知识进行严格推理论证，然后再指出这是线段的垂直平分线的定理。

再比如：学生在学习相似三角形的性质以后开始学习相似多边形的性质定理时，可采取：

（1）与相似三角形的性质对比，让学生自己去猜想相似多边形的有关性质。

（2）学生相互讨论，教师进行适当点拨，让学生叙述出来。

（3）根据学生的叙述进行推理论证。

二、例题的发现教学

作为每一位数学老师都知道，在传授新知识以后，总要配上一些巩固新知识的例题。而教师在讲解例题时，应教给学生如何去发现一道题的解法，讲的关键是展示思路的发现过程，把一些生动的思维过程展现在学生面前，不能只展示“成品”。因此，例题的教学，教师应把主要精力放在题意分析和思路发现上，达到训练学生思维，培养学生能力的目的。

1.平面几何的例题教学中，例题的条件由少到全，图形由简到繁，步步深入。

[原例] 已知：ABC中，∠ACB=90°，角平分线AD与高CH相交于点F，DEAB，垂足为E。求证：四边形CDEF为菱形。

方法：（1）复杂图形简单化。（2）由条件联想结论。

教学设计：

（1）如图a，ABC中，∠ACB=90°，角平分线AD与高CH相交于点F，图中有哪些线段相等？说明理由。

（2）在第一问题的基础上增加一个条件DEAB，垂足为E，又可得哪些结论？说明理由（如图b）。

（3）由第1、2问让学生猜想四边形CDEF是什么四边形（如图c）。

（4）指导学生进行推理论证。

a b c

2.注重图形的变式，训练学生多角度思考问题，且能注意考虑问题思考的全面性。比如，学习了相似三角形的判定定理后，我选择这样一组变式图形，旨在让学生发现证明三角形相似的方法的多样性，熟悉基本图形，培养学生的观察能力。

教学设计：

A.图（1）要证明ADB∽AEC，已经具备了的条件是______，还需添加的条件是______，也可直接由什么条件，得ADE∽ABC。

B.图（2）要证ADE∽ACB，已经具备的条件是______，还需添加的条件是______。

探索平行线的条件例7

在中考实验复习教学中，教师要引导学生进行观察、实验、猜想、验证、分析、交流与评估等物理活动，探究物理的原理、规律、结论的“变”与“不变”，先从容易探索的问题情境入手，在获得相关结论后，再创设实验的连续变化的问题情境，进一步探究结论可能发生变化或影响.

例1 只有一个电流表，一个定值电阻R0，一个未知电阻Rx，合适的恒定电压的电源， 一个开关，导线若干， 求测 Rx的阻值.

解析 （1）将R0和Rx并联，先将电流表与R0串联，测流过R0的电流， 记为I0.

（2）再将电流表移动和Rx串联， 测流过Rx的电流， 记为Ix.

（3）待测电阻的表达式：Rx=UxIx=I0R0Ix.

变式一 只有一个电流表， 一个0～20 Ω的变阻器R0， 一个未知电阻Rx， 合适的恒定电压的电源、一个开关， 导线若干， 求测Rx的阻值.（要求不得改动电路）

解析 （1）把电源、电流表、开关、Rx与滑动变阻器串联起来.

（2）测量当滑阻为最大电阻R0时的电流I1.

（3）把滑阻调至0 Ω，记录电流表电流为I2.

（4）待测电阻的表达式：Rx=I1R0I2-I1.

变式二 只有一个电压表，一个定值电阻R0，一个未知电阻Rx，合适的恒定电压的电源， 一个开关，导线若干， 求测 Rx的阻值.

解析 （1）将定值电阻R0与未知电阻Rx 串联，再经开关和导线接到电源的两端.

（2）将电压表并联到R0两端，测出电压数值是U0.

（3）再将电压表并联到Rx两端，测出电压数值是Ux.

因为两个电阻是串联关系，通过它们的电流是相等的，所以有UxRx=U0R0.

（4）待测电阻的表达式：Rx=R0UxU0.

不断变换问题的条件和结论，层层推进，揭示问题的本质，从不断变化中寻找物理实验的规律性，展示物理知识发生、发展和应用过程，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，在“不变”的本质中探究“变的”的规律，使知识融会贯通.

2 对物理实验题的类比联想进行变式探究

类比联想是以类比为方法、以联想为导向的探求物理规律和探索解题思路的策略，在中考实验教学中，要适时引导学生运用类比方法观察实验现象、联想和分析问题，根据问题的特定条件探索解题思路，在运用类比的过程中，使学生学会思考，培养探究能力，克服思维定势，提高应变能力.

例2 用天平、量筒、烧杯、细线和水，如何测固体物质的密度？

变式一 天平、量筒、烧杯，如何测液体的密度？

变式二 现有天平（无砝码）、量筒、烧杯和水，如何测定某未知液体的密度？

变式三 用弹簧测力计、量筒、烧杯、细线和水，如何测固体物质的密度？

变式四 用弹簧测力计、量筒、烧杯、细线和水，如何测液体物质的密度？

在中考实验复习中，通过训练引导学生多侧面、多角度地思考问题，让学生多探讨、多争论，能有效地训练学生思维的完备性、深刻性和创造性.

3 对中考实验题横向联系进行变式探究

一些实验题可以从不同角度拓展，可以一题多解；可以弱化条件，探索结论，通过让学生大胆探索，积极寻找解决问题的方法，培养学生的发散思维.

例3 现有如图1所示的长方体小金属块，实验室备有毫米刻度尺、调节好的天平、砝码、弹簧秤、量筒、玻璃棒、足够的水、细线等.请你自行选择仪器，进行必要的测量后，计算小金属块的密度，要求：（1）至少两种方法，其中一种方法必须运用浮力的知识；（2）写出操作步骤并用适当的符号表示要测量的物理量；（3）写出计算金属块密度的表达式.

解析 该题既是开放性的设计实验题，又是一道计算题，要求考生自选仪器，自己设计方案测定金属块密度，给考生以广阔的思维空间.克服了以往实验考核模式归一，器材统一，步骤相同，结论样板化的通病.此题有多种解法，考生将各显神通，创设各具特点的实验方案，从而有效地考核考生的创新能力和创新意识，提高实验考核的选优功能.

变式一 选择器材：弹簧秤、刻度尺、金属块.

解析 实验步骤：（1）用细线系住金属块挂在弹簧秤上测出金属块的重力为G；（2）计算出金属块的质量为m=G/g；（3）用刻度尺测出金属块的长a、宽b、高c.计算金属密度的表达式ρ=G/abcg.

变式二 选择器材：天平、量筒、水、金属块.

[HJ1.35mm]解析 实验步骤：（1）用天平测出质量m；（2）用量筒先装适量的水，体积为V1；（3）将金属块轻轻放入量筒内，读出水面对应的刻度V2；（4）计算金属块的体积为V=V2-V1；计算金属密度的表达式为ρ=mV2-V1.

变式三 选择器材：弹簧秤、量筒、水、金属块.

解析 实验步骤：（1）用弹簧秤测出金属块的重力为G；（2）计算出金属块的质量为m=G/g；（3）用量筒测量出金属块的体积为V.计算金属密度的表达式为ρ=G/Vg.

变式四 选择器材：天平、玻璃杯、水、细线.

解析 实验步骤：（1）用天平测出玻璃杯和水的总质量为m1；（2）用细线系住金属块，缓慢浸没在水杯中，溢出部分水后，测出玻璃杯、水、金属块的总质量为m2；（3）取出金属块，再用天平测出玻璃杯和剩余水的总质量为m3；（4）计算金属块的质量m=m2-m3，金属块的体积V=m1-m3ρ水.计算金属块密度的表达式为ρ=m2-m3m1-m3ρ水.

变式五 选择器材：天平、弹簧秤、玻璃杯、水、细线、金属块.

解析 实验步骤：（1）用天平测出金属块的质量为m；（2）用弹簧秤测出金属块的重力为G；（3）将金属块浸没在水中，用弹簧秤测出视重为G′；（4）计算金属块排开水的体积V=G-G′ρ水g，计算金属密度的表达式为ρ=mgG-G′ρ水.

变式六 选择器材：弹簧秤、玻璃杯、水、细线、金属块.

解析 实验步骤：（1）用弹簧秤测出金属块的重力为G；（2）将金属块全部浸没在水中，用弹簧秤测出视重为G′；（3）根据阿基米德原理F浮=ρ水gV排.计算出金属块的体积为V=V排=F浮ρ水g=G-G′ρ水g；（4）根据公式G=mg=ρVg，计算出金属块密度的表达式为ρ=GVg=GG-G′ρ水.

通过变式训练，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，形成一个有规律可循，帮助学生在问题的解答中寻找解决类似问题的思路和方法.

4 对物理实验条件变化进行变式探究

许多物理实验在中考复习中，应认真挖掘实验中丰富的内涵，变换不同的条件背景，引导学生对原理推广探究，使学生不断地完善知识结构，教会学生从情景或条件中提出问题，在实验的过程中懂得怎样观察，能从实验的可行性、数据的可靠性及实验结论进行简单评估.培养举一反三、触类旁通的能力.

例如：探究灯泡电功率的大小――观察小灯泡的亮度.

变式一 探究灯泡串联――观察小灯泡的亮度.

探索平行线的条件例8

在近几年的中考试题中，探索性问题屡屡出现，出题的角度越来越新颖，考察的能力要求越来越高，深受关注.但是，数学探索性问题的出现在一定程度上给学生的解题带来了诸多困难，也给教师的教学提出了新的挑战，为此，笔者现就数学探索性问题的解题策略作探讨.

2.“探索发现”型问题的解题方法

此类问题由于题型新颖、综合性强、结构独特等，一般并无固定解题思路模式，但是可以从以下几个角度考虑.

2.1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.

2.2反演推理法，即先假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.

2.3分类讨论法.当命题的题设和结论不唯一，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况，分门别类加以讨论求解.

2.4类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密论证.

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.

3.“探索发现”型问题的分类及知识运用举例

3.1条件探索型：这类题结论明确，需要去探索发现使结论成立的条件.

对应的解题策略有：

（1）模仿分析法.将原的题设和结论视为已知条件，分别进行演绎再有机地结合起来，推导出所需寻求的条件.

（2）设出题目中指定的探索条件，将此假设为已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系，通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件.

例1：已知，如图ABC内接于O，（1）当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？（2）在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，ABC∽CBD∽ACD？（3）画出符合（1）、（2）题意的两种图形，使图形的CD=2cm.

解析：（1）当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角;

（2）∠ACB是直角，当CDAB时，ABC∽CBD∽ACD;

（3）作直径AB为5的O，在AB上取一点D，使AD=1，BD=4，过D点作CDAB交O于C点，连接AC、BC，即为所求（如图所示）.

评注：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设―求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求.看似平常，实际上非常精彩.

3.2结论探索型：这类题条件已知但无明确结论或结论不唯一，需要探索与条件相对应的结论.

对应的解题策略有：

（1）运用定义或定理直接导出结论;（2）通过具体到抽象，特殊到一般的归纳获得结论，再给出严格证明;（3）通过类比，联想，猜测出结论，再加以证明.

例2：（2007北京市改编）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;

（2）在ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）.

（2）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.

如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点.

因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，

所以BCF≌CBG.所以BF=CG.

因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC.

可证BDF≌CEG.所以BD=CE.

所以四边形DBCE是等边四边形.

评注：这是一道以探索结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探索结论.因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大有好处。

3.3存在探索型：这类问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在.

解题的策略与方法：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在;否则，说明不存在.

例3：（2005年湖北省黄冈改编）如图在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四边形OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.

（1）求出直线OC的解析式.

（2）设从出发起运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出的值;如不可能，请说明理由.

分析与解答：（1）设OC的解析式为y=kx，将C（8，6）代入，得k=，yx.

（2）易得梯形的周长为44.

①如图当Q点在OC上时，P运动的路程为，则Q运动的路程为（22-t）.

过Q作QMOA于M，则QM=（22-t）×.

S（18+10）×6=84.

假设存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积，

则有t（22-t）×=84×，即t-22t+140=0.

=22-4×140<0，这样的t不存在.

②如图，当Q点在BC上时，Q走过的路程为（22-t），故CQ的长为：22-t-10=12-t.

S=（CQ+OP）AB=×（12-t+t）×6=36≠84×，

这样的t也不存在.

综上所述，不存在这样的值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积.

3.4规律探索型：是指在一定的条件下，探索有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.

解题的策略与方法：根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征.

例4.（2007四川乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0），将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP;又将线段OP按逆时针方向旋转45°，长度伸长为O的2倍，得到线段OP;如此下去，得到线段OP，OP，…，OP（n为正整数）.（1）求点P的坐标;（2）求POP的面积;（3）我们规定：把点P（x，y）（n=0，1，2，3…）的横坐标x、纵坐标y都取绝对值后得到的新坐标（|x|，|y|）称之为点P的“绝对坐标”.根据图中点P的分布规律，请你猜想点P的“绝对坐标”，并写出来.

解：（1）（2）略.

（3）由题意知，OP旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点P分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，

①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P落在x轴上，此时，点P的绝对坐标为（2，0）;

②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P落在各象限的平分线上，此时，点P的绝对坐标为（2，2;

探索平行线的条件例9

由于数学开放性题是一种新题型，并且具有不完备性、不确定性、发散性、创造性。因此，它较以前的封闭题，综合性更强，知识的覆盖面更广，要求学生通过观察、比较、分析、联想、推理、判断等一系列的探究活动，才能得到结论，因此对学生的综合素质要求更高。刚接触数学开放性题，学生总是无从下手，特别是基础较差的学生，解答这类题目的时候更是无所适从。目前的教科书的习题主要是传统的封闭题，而新兴的数学开放性题对老师亦是一项新的挑战。

那么，在数学教学中，如何让学生掌握解答数学开放性题的有效方法呢？本人就此谈一点肤浅的体会与做法。

一、多阅读、多收集、多积累数学开放性题的资料、信息

数学开放性题是近几年才出现在中考数学试题的，是一种新题型，而我们所用的教材、辅导资料都是传统的封闭题，极少有这种类型题的练习，更不要说有系统的教学措施。因此，在平时广泛阅读关于数学方面的报刊、杂志，并借助网络，把有关数学开放性题的信息、习题进行摘录，再进行分类收集，还与有联系的封闭题进行比较，最后把这些题目进行变形，派生出新的开放性题。

二、充分利用课本的习题，改编成为数学开放性题

数学开放性题虽然是一种新题型，与传统的封闭题有很大的区别，但是可以通过对传统的封闭题改编成为数学开放性题，本人就是对课本的习题进行改编，来充实开放性题的教学。改编的方法有：

①给出结论，寻求结论成立的充分条件。例如，把“已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：ABD≌ACE”（人教版第二册《几何》第29页的例4）改为：已知，如图1，AB=AC，∠1=∠2，要使ABD≌ACE。请添加一个条件，并说明理由。

②弱化习题条件，使其结论多样化。例如，把“已知直线y=kx+b经过点（9，10）和点（24，20），求k与b”（人教版第三册《代数》第110页的例2）改为：在直角坐标系内，有一点A（9，10）请写出经过点A的一次函数的解析式_______________。

在解答这类条件开放性题时，应由给定的结论出发，探索应具备怎样的条件才能使结论成立。它要求学生善于从所给的题目的结论、条件出发，逆向追索，逐步探寻。

③隐去习题的结论，使其指向多样化。例如，把“AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°求证：DC是O的切线”（人教版第三册《几何》第107页的第2题）改为：如图2，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°由此可推出哪些正确的结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连的辅助线不能出现在结论中）

④既定的条件下，探究结论的存在性。例如：如果竹篱笆的长是80米，能不能围成一个面积为500平方米的矩形养鸡场？并说明理由。（把第三册《代数》第43页B组第1题进行改编）

在解答这类结论开放性题时，一般由给定的已知条件探求相应的结论，首先应充分利用已知条件或图形的特征进行猜想，透彻分析在给定的条件下确定命题对象的结论是否存在，然后进行论证。

⑤既定的条件下，采用一题多解法。例如，已知：如图3，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。（人教版第二册《几何》第145页的第9题）

方法一：先证∠EAF=∠ECF，再证∠EAF=∠CFB，得AE∥FC，且AF∥EC可证得结论。

方法二：先证ADE≌CBF，再证CE=AF，且CE∥AF可证得结论。

方法三：先证ADE≌CBF，再证∠AEC=∠AFC，且∠EAF=∠ECF可证得结论。

方法四：先证ADE≌CBF，可得AE=CF，再证EC=AF可证得结论。

用一题多解法解题时，应从各条途径，多角度地思考问题，探索尽可能多的可行的方法。

⑥在给定的条件或关系，进行综合的探索。例如，把“求证：等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端点距离相等。”（人教版第二册《几何》第79页的例4）改为：已知：如图4，ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于O，给出下列四组条件：（1）AB=AC（2）∠ABD=∠ACE（3）AE=AD（4）∠BEO=∠CDO，在这些条件中哪两个条件可以证得BO=CO（用序号写出所有的情形），并选其中一种情形写出证明过程。

在解答这种类型题时，要根据题目的条件或结论，利用所学过的知识，从多个角度去思考、分析，大胆猜想，寻求尽可能多的答案，然后对所得的答案进行认真筛选、推理、计算，最后确定满足题目要求的答案。

三、在平时教学中渗透数学开放性题的教学

因为解答数学开放性题要求学生要有较高的综合能力，而对一般的学生来讲，有很大的困难，所以在平时的教学中渗透开放性题的教学。使难点分散，学生容易接受，并把课本的习题改编成开放性题，然后穿插到平时的教学中去。在教学过程中通常采用下列方法：

①举例教学。例如，在讲解勾股数时，除了3、4、5，你们还可以举一些勾股数的例子吗？再如，在讲无理数时，请你写出五个无理数__________。

②一题多解教学。例如上面讲到的第二点中的第5小点的一题多解。

③变式教学。即在平时的教学中，讲完书本的例题或习题后，把条件进行删减、变形或隐去结论，让同学进行讨论。

例如，已知ABC，P是边AB上的一点，连结CP。（1）∠ACP满足什么条件时，ACP∽ABC；（2）AC∶AP满足什么条件时，ACP∽ABC。（第二册《几何》第233页的例5）改为：已知（如图5）ABC，点P是边AB上的一点，连结CP，满足__________条件时，ACP∽ABC。或者把此题变形为：已知ABC，点P是AB边上一点，过点P（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线最多有（ ）

A.2条 B.3条 C.4条 D.5条

通过在平时的教学中渗透开放性题的教学，消除了同学们对这种题的恐惧心理，并且在平时的解题过程中，教会学生观察、分析、综合、类比、推理、归纳等思维方法，有利于培养学生的发散思维和创新能力。

探索平行线的条件例10

随着教育改革步伐的迈进和新课程改革的实施，我国的普通高等院校招生考试也进行了较大的改革。就江苏省而言，自1998年以来，从高考科目设置上已经进行了五次重大调整，自2008年开始实行“3+学业水平测试+综合素质评价”考试方案。除了考查学生的基础知识和基本技能外，还有具有一定的难度，选拔优秀的人才进入高等院校学习。

纵观近四年的数学试题，试卷结构相对比较稳定，卷Ⅰ的题型均为填空题和解答题，其中填空题为14个，解答题为6个，卷Ⅱ为理科附加题，三个题目均为解答题，其中21题为选做题，22和23题为必做题，严格按照考试说明的要求进行了试题编拟；从试卷内容来分析，突出了对双基内容的考查，强化了数学知识间的内在联系和数学思想的渗透，注重知识的创新和应用性，在实际问题中考查学生解决问题的能力、探索精神和创新意识；从试题难度来分析，除2010年外的其他年度试题的难度基本保持一致，2010年试题的运算量大，梯度比较明显，区分度高，对考生的数学综合能力提出了较高要求。因此，在上述理论和现状分析的基础上，本文对近年数学试题的考查热点从以下几个方面进行了比较深入的探讨。

①考查内容的范畴

近四年来，江苏省数学试卷均体现了对“双基”内容的考查，涉及基础知识和基本技能的考查占有较高比例。以2008年试题为例，基础内容的考查约占试卷的60%，其中填空题的1-8题是考查基本概念的容量题，9-12题为考查基本技能和基本数学思想方法的中等难度题，计算两角和与差的15题和考查立体几何直线与平面位置关系的16题属易做题，利用导数解决三角函数的17题和利用二次函数考查直线圆的关系的18题属中等难度题。而在刚刚结束的2011年高考中，江苏卷总体难度适中，前十个填空题容易入手，卷Ⅰ的解答题仍集中在对三角函数、立体几何、应用题、解析几何、函数、数列等主干知识的考查，对于新增内容复数，概率，统计，算法语言，推理等也进行了较为全面的考查，符合新课程高考重点考查基础知识和能力的大趋势。

高考是选拔性的考试，从整体角度来看，08-11年间，试卷内容对集合、复数、流程、概率、统计、圆锥曲线的考查呈平稳趋势，立体几何、三角及三角函数、导数、数列、函数及导数的考查呈上升趋势，是命题的热点；而在对能力的考查上，仍集中在运算、思维、空间想象、分析和解决问题、创新等方面。

②试题的开放性

开放性试题是近年来高考命题的热点，就数学学科而言，开放性可分为探索结论型（给出了问题的条件，但未给出问题的结论或需要探索问题的结论）、探求条件型（给出了问题的结论，需要探索结论成立的充分条件）、探索存在型（给出了问题的条件，但问题的结论不确定）、探求规律型（由已知条件，探索问题的一般性特征）和探求方法型（根据已知条件，通过建模等方法探索问题的解决思路）等。

新课程高考实施以来，数学江苏卷的开放题型令人耳目一新。据不完全统计，2008年试卷中，填空第10题为数阵的探求规律型问题，解答第18题为以二次函数为载体的与圆和直线位置关系相关的探索结论型问题，第19题是与数列相关的探索存在型问题；2009年试卷中，第19题为以实际问题为背景的与函数相关的探索条件型问题；2010年试卷中的第9题为与圆和直线位置关系相关的探索条件型问题；2011年第20题为与数列通项相关的探索规律型问题等。因此，近年试卷中的开放题型多为探索条件型、探索存在型和探索规律型，考查内容多集中在函数、直线和圆的位置关系、以及数列等，值得引起广大师生的重点关注。

③命题的情境化

以生活化的情境为背景来考查学生在实际问题中应用数学知识和思想的能力是近年来高考命题的主流趋势。如2008年第7题是以老人平均日睡眠时间为背景的流程问题、第17题是以污水处理工厂为背景的函数最值问题，2009年第6题是以学生投篮练习为背景的概率问题、第19题是以生活满意度为背景的数学建模问题，2010年第4题是以棉花质量为背景的概率问题、第17题是以测量电视塔高度为背景的涉及三角函数、导数、不等式性质的综合问题，2011年第6题是以收信数量为背景的概率问题，第17题是以包装盒涉及为背景的考查函数和导数知识的建模问题。可见，当前的情境题型主要集中在易于生活相关的概率问题和解答题中的应用题，重点在于考察学生数学建模的能力，从数学的角度思考、分析和解决问题，是对知识和能力的双重考查。

④数学思想的渗透

教育其根本目的是立足于人的终身发展，促进潜能和综合素养的提高。新课程高考不但注重学生知识的获得和能力的提高，对数学学科来说，更重要的是数学思维的形成和数学观念的渗透。

数学是一门较为抽象的学科，数学思想和方法均蕴含在教材和习题中，需要不断地发掘，并在练习中实践和拓展。高中数学常见的思想和方法有：函数思想、方程思想、数形结合法、分类讨论法、化归与转化、类比、特殊化与一般化等。高考的选拔性决定了试卷题目的难度，特别是解答题，一般为某些数学思想的综合运用，本文不再举例赘述。

在上述热点分析的基础上，本文进一步从基础性、试题难度、知识网络化、创新性等方面对今后数学试题的命题走向进行了思索。

㈠基础性

高考虽为选拔性考试，但也必须以基础知识和技能为基础。历年试题中，基础内容的比例保持在60%左右，基本能够使学生到达本科录取的水平。集合、复数、概率、算法、平面向量等内容几乎必考，而且多为概念和简单计算，函数、方程、三角、数列、几何等专题训练，也是重点复习内容。

㈡试题难度

继2010年数学试题难度出现高峰后，根据新课程改革和考试说明的要求，数学试卷的结构、分值和题量将保持相对稳定，继续以“低起点、多角度、优选拔”的方式发展。

㈢知识网络化

高考是对学生数学知识体系的综合考查，重视基本概念、知识和技能，以知识模块为主干，注重网络化、综合性和横向联系，通过适度的综合练习，促进学生数学能力和素养的不断提升。

（四）创新性