小数数学公式大全例1

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”

解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；

36-14=22（只）……………………………鸡。

解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；

36-22=14（只）…………………………兔。

（答略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。（例略）

小数数学公式大全例2

3、长方形的面积=长×宽S=ab。

4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a。

5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2。

6、平行四边形的面积=底×高S=ah。

7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2。

8、直径=半径×2 d=2r半径=直径÷2 r=d÷2。

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd=2πr。

10、圆的面积=圆周率×半径×半径。

11、三角形的面积=底×高÷2.公式S=a×h÷2。

12、正方形的面积=边长×边长公式S=a×a。

13、长方形的面积=长×宽公式S=a×b。

14、平行四边形的面积=底×高公式S=a×h。

15、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式S=(a+b)h÷2。

16、内角和：三角形的内角和=180度。

17、长方体的体积=长×宽×高公式：V=abh。

18、长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式：V=abh。

19、正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式：V=aaa。

20、圆的周长=直径×π公式：L=πd=2πr。

21、圆的面积=半径×半径×π公式：S=πr2。

22、圆柱的表(侧)面积：圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高.公式：S=ch=πdh=2πrh。

23、圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积.公式：S=ch+2s=ch+2πr2。

24、圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高.公式：V=Sh。

25、圆锥的体积=1/3底面×积高.公式：V=1/3Sh。

26、分数的加、减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。

小数数学公式大全例3

2，1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数

3，速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度

4，单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价

5，工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率

6，加数+加数=和和-一个加数=另一个加数

小数数学公式大全例4

（2）空心方阵：

（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。

或者是

（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

解一先看作实心方阵，则总人数有

10×10=100（人）

再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是

10-2×3=4（人）

所以，空心部分方阵人数有

4×4=16（人）

故这个空心方阵的人数是

小数数学公式大全例5

（2）1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

小数数学公式大全例6

一、全概率公式的教学引入

在小学数学中，我们曾遇到过求解由三角形和圆的一部分和矩形拼成一个不规则图形的面积问题。具体的解题方法是把这个不规则图形通过划分，看作是由一些规则图形拼接而成，借助于一些简单公式求每一个部分规则图形的面积，进而解决问题。在高等数学中的分段函数的定积分求解问题中，当被积函数在整个积分区间的表达式不是唯一时，需要把整个积分区间分成若干个子区间，使被积函数在每个子区间的表达式是唯一的，通过计算每个子区间的定积分，最后解决分段函数的定积分问题。这两个数学问题的本质是一致的，就是当遇到一个复杂的问题，直接解决有一定的困难，此时通过把整体分解成若干个易于解决的小问题，当每个小问题解决了，那么整个问题也就解决了。在概率论，我们也有类似的想法，那就是全概率公式。

全概率公式基本思想，是借助样本空间的一种划分，把一个复杂事件分解成若干个互不相容的事件的和事件，然后利用概率的加法公式，最后由概率的乘法公式求出每一小部分交事件的概率。这些互不相容的事件，可以看作是组成这个复杂事件的各个小部分，通过概率的乘法公式，解决每一小部分的概率计算问题，进而解决整个问题。全概率公式真正体现了数学的中“整体部分整体”思维形式。所以在教学中，应当让学生理解这个重要的思维方法，以助于解决复杂的问题。

全概率公式的基本应用，就是提供了一种求复杂事件概率的方法，下面通过两个例子说明这个公式的应用。

例1.保险公司认为，人可以分为两类，一类为容易出事故者，另一类则为安全者。他们的统计表明，一个容易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者，这个概率则为0.2，若假定第一类人占人口的比例为30%，现有一个新的投保人来投保，问该人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大？

解：记B1为“投保人为容易出事故”这一事件， 则“投保人为安全者”这一事件，A为“投保人一年内将出事故”，由全概率公式，所求概率P（A）为：

P（A）=0.4*0.3+0.2*0.7=0.26.

在学习随机变量函数的分布时，求一个离散型随机变量和一个连续型随机变量的函数的分布，也需要借助于全概率公式求随机变量的函数的分布函数。

例2.设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y是取两个值的离散型随机变量，且P（Y=-1）=0.25，P（Y=1）=0.75，求Z=|X-Y|的概率密度函数。

求导可得Z的概率密度函数：

三、总结

几年来，通过以上方式讲解全概率公式，学生对这个概率论中的难点有了很好的掌握。同时认识到，学习数学不是数学等号的游戏，而是对良好思维的形成有很大的帮助。

小数数学公式大全例7

∏p>21-1(p-1)2=∏p>2p(p-2)(p-1)2≈0。66。

该公式是陈景润证明的偶数哥德巴赫猜想上限公式,将7。8改成2就是在23页介绍的哈代和李特伍德给出的偶数哥猜的近似解公式。122页、127页介绍：不超过x的素数个数为π(x)。

π(x)≥x∏si=1pi-1pi;π(x)≥xlogx;x2∏i>1pi-1pi≈xlogx;∏i>1pi-1pi≈2logx。

素数中去掉不满足“偶数=两素数和”的素数的筛法：给定偶数除以各个平方根内的奇素数,得到各种非零的余数。如果较大素数除以较小素数得的余数与给定偶数除同一小素数得的余数相同时,偶数减该素数的差数会是合数,将素数中的这种素数去掉,剩下的素数才满足“偶数-素数=素数”。偶数的因子不含平方根内素数的特种偶数,x=2n,以根内的所有奇素数为参数P，把x数内包含的奇数，全体P数,每P留下(P-1)个数的数量,全体P数,再每(P-1)留下(P-2)个数的数量,或者把x数内包含的奇数,全体P数,每P留下(P-2)个数的数量。就是x数内对称素数数量。孪生素数的常数内涵素数全缩小成对称素数的常数与数全缩小成素数的常数的比例：

∏p>2p(p-2)(p-1)2≈∏p>2(p-2)(p-1)∏p>2pp-1≈∏p>2(p-2)(p-1)×logx2≈0。66;∏p>2(p-2)(p-1)≈1。32logx。

素数缩小成对称素数的常数与数缩小成素数的常数的比例，称为再全缩小素数的常数。

由连乘积求素数个数的算式与对数参数的素数个数的算式的等式，两边同乘以再全缩小素数的常数，得到两种形式的对称素数下限的数量。

r(x)下限≈x2∏i>1pi-1pi∏p>2（p-2)(p-1)≈xlogx×1。32logx；两边同乘以∏p|xp-1p-2。

r(x)≈x2∏i>1pi-1pi∏p>2(p-2)(p-1)∏p|xp-1p-2≈xlogx×1。32logx∏p|xp-1p-2；p|x表示p整除x。

r(x)≈x2∏i>1pi-1pi∏pxp-2p-1≈(1。32)xlog2x∏p|xp-1p-2；px表示p非整除x。

r(x)≈x2∏p|xp-1p∏pxp-2p≈2∏p>21-1(p-1)2?xlog2x∏p|xp-1p-2；左边是哥猜爱好者爱用的连乘积形式的公式，右边是数学家爱用的对数形式公式，都认可公式是个时有起伏但总是阶段增加的函数。青岛王新宇发现的∏［(P-2)/(P-1)］≈1。32/log(x),与两种素数个数公式的乘积,统一了数学家与爱好者的偶数哥德巴赫猜想的下限解的公式。

哥德巴赫猜想的解的公式的创始人哈代曾说过：“如果哥德巴赫猜想有一天被证明，其方法应该类似于我和李特尔伍德的方法，不是圆法无力，而是我们的分析工具不够。我们不是在原则上没有成功，而是在细节上没有成功。”现在来看看公式的细节：

2∏pi>21-1（pi-1)2≈21∏π(x)∪∞i=2pipi-1∏π(x)∪∞i=2pi-2pi-1≈(logp2max)∏pi>2pi-2pi-1≈1。32,∏pi>1pi-1pi≈1eγlogpmax≈1(0。5)eγlogp2max≈1(0。89)logp2max≥1logx; π(x)≈x2∏π(x)i=2pi-1pi;x数的主体区解公式用的参数的pmax=pπ(x)，下限解公式的pmax为任意大或选用pπ(x)，公式中∏的下标、上标变化的原因是公式的特殊需要，求x数的主体区的解，参数是“不大于x平方根数的素数”，求x数的较准确的解，参数是“小于x平方根数的素数,可补偿主体算式的误差”，求x数的下界限的解，参数是“大于x平方根数的素数”，求x数的吻合对数形式公式的解，参数是“无穷多的素数”，下标只用》号就可以了，对数参数的公式适合求下限,连乘积公式适合(用计算机)求准确解。因为素数公式缺少平方根内的解，对称素数公式缺少首尾两个平方根内的解，各公式参数P特为超过x,又减少了解，还特为采用了分母为大于(0。89)logx的logx参数,多层次减少了解。特为选用不含小素数因子的偶数(让公式去掉了只增不减的参数),简称为下限。特为为了去除公式与实际的差距,又再去掉1。32,进一步减少了解,简称为底限。所以公式下限、底限都是可靠解。分析工具的升级：

偶数x用幂数代替,对数用指数代替,若底数不一样,要用转换系数。取xlog2x≈e10n102n≈1010nlog10-2n≈100。4342×10n-2n≥100。2171×10n≥1。e10102为104。34-2＞102。17,e1001002为1043。4-4＞1021。7,e100010002为10434-6＞10217。细节成功：公比是10的等比数列的项减去公差是2的等差数列的项,其差数大于被减数的一半。指数减一半等于求平方根数。2011年,青岛小鱼山的王新宇用幂的指数差运算发现了数学家求解偶数哥德巴赫偶数猜想公式的底限。偶数x大于104。3，r(x)的底限大于x。

底限公式函数y=x/(logx)2在坐标系中的图像,在x=e2时,有最低点,e2/22≈2。7182/22≈1。84。例：eee2≈15。187。39>2,e2(2)2≈4。12>2,取x=e2m,e2m(2m)2≈21。442×2m22m≈21。442×2m-2m>1,函数往右增大,往左也增大,对数形式的求解偶数哥德巴赫偶数猜想r(x)底限大于一。

x连续扩大成平方数时下限公式的解：

1。32×102m/（（log10）×2m）2≈1。32×102m/（（5。3）×4m）≈102m-0。6m-0。6。

102-1。2≥100。8,104-1。8>102，106-2。4>103，指数差是公比为2的项与公差为0。6的项的差。偶数x≥104,r(x)公式的下限大于x。

π(x)≥2时,r(x)底限公式大于一的证明：

xlogx≈12(x)xlog(x)≈x×π(x)/2π(x)≥2≥x,xlog2x≈1xxlogx2≈(π(x))2xπ(x)≥2≈(x)2x≥1,π(x)≥2,r(x)公式底限≥1。

xlog2x≈14xlog(x)2≈(π(x))24π(x)≥2≥1,π(x)≥2,r(x)公式底限≥1。

连乘积形式的下限公式大于一的证明：

小数数学公式大全例8

一、以“形 ”为起点——充分利用教材使学生感受“数形结合”

“形”具有形象直观的优势 ，但也有其粗略 、繁琐和不便于表达 的劣势 只有 以简洁的数学描述 、形式化 的数学模型表达“形”的特性．才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。以“形”为起点 ，充分利用教材使学生感受“数形结合” 在北师大版第九册教材 《点阵中的规律》教学时．我不断地问自己“利用点阵来研究数的规律”其更为深入的价值在哪?在深入分析研究教材 的基础上，我认为本节课的教学 旨在让学生体会到我们借助点阵可以研究数 的规律．而这些规律 如果仅仅研究数将是很困难的．以“形”为起点 ，使学生探究出更多的“数”的规律教学设计时，我充分让学生利用 自己手中的点阵图认真观察 ，提出活动要求：(1)独立思考．从不同角度观察正方形点阵。你发现点阵中有哪些不同的排列规律，并在图中表示出来 (2)组内交流 。说一说你发现 的排列规律 ．试着用算式表示出来 。

学生在图形的帮助下．了解图形中点的个数1，4，9，16，25……这些有规 律的数 是完全 平方数 ．进而利用图形动手画一画可以发现更重要 的规律

1． 从一角向外扩展来看 ：

1=1，4=1+3，9=t+3+5，16=1+3+5+7，25=1+3+5+7+9+1 l

每一个正方形数都可以写成几个连续奇数的和，奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。进而学生们发现 了重要 的奇数列前 n项和公式 ： ．

1+3+5+7+9+……+(2n—1)--n

2． 斜着看 ：

1=l

4=1+2+1

9=1+2+3+2+1

16=l+2+3+4+3+2+1

25=l+2+3+4+5+4+3+2+l

每一个正方形数都可以写成从 1开始连续 加到点阵中的行数再递减加到 1的连加算式 进而学生们发现了求和的重要公式：1+2+3+4……+(n-I)+n+(n一1)+……+4+3+2+1=n2 看似一节看图找规律的数学课．正是 因为有了图形 ．激发了学生学习的欲望，锻炼了学生的思维 ．在短短的一节课中学生们总结出了一条又一条的重要公式．以“形”为起点，学生们尝到了“数形结合”带给他们的快乐。

二、以“形”助“数’在直观中理解数学概念、构建数学模型

借助 图形的直观性将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感 ，让学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型．为理解数学概念奠定基础。教师通过以“形，，助“数”．突出图的形象思维 ，促进学生形象思维与抽象思维的有机结合，化繁为简，化难为易 ．让学生用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学概念 ．解决数学问题，形成数学思想的 目的。

案例1在学 习了分数的意义和基本性质后我设计了如下的活动 。利用方格纸(中学 中的坐标系)帮助学生再次认识“方格纸”中的分数。

小数数学教学中，只有到了学习折线统计 图时才出现了坐标系的影子。但方格纸却是学生数学课上常用的学具 ．把方格纸上画出相互垂直的两条数轴 ，这就是数学家笛卡儿发明的平面直角坐标系了。由于分数是由分子、分母这两个位置上的自然数构成的．所以可以用平面上的点表示它。把分数如图 4所示 ：用横轴点表示分母，纵轴上的点表示分2/3可以用过横轴上“3点的纵线与过纵轴“2”这一点线的交点 A来表示，可以用的B点来表示。5/7、4/9、7/10该样表示呢?

学生很快就把分数表示在图中。这样表示分数我们能发现什么呢?如果将 0点 (也称坐示原点)与这些点分别连接起来 ，再用一把直尺放在横轴上 ．按逆时针方向将直尺绕原点 0慢慢旋转，扫到的第一个分数是1/6 ，第二个是4/9，然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我们发现．通过很麻烦的通分可以比较这六个分数的大小，现在我们用直尺逆时针扫过分数的顺序也是比较分数大小的又一个新方法，分数从小到大排列为1/6

将某一个具体的平面图形平均分、涂阴影来表示分数 。是从分数的意义角度 ，而这里实际上是将直线与分数建立了联系(也就是用直线斜率表示分数)。学生从这个角度去认识分数，不仅能初步感受到分数的大小是由分子、分母两个数共同决定 的．而且可 以对坐标系有一个初步的了解．对以后的数学学习是非常有益的。学生在我精心设计的课堂上再次体会了数与形的完美结合，学生把分数画到方格 纸(坐标系 的时候．我想他们对分数 的理解又有 了独特的想法。

案例 2前不久我听了一节“两位数乘两位数，，的评优课。这位老师是把枯燥的计算教学课与图形——“点子图”联系在一起，数与形的有机结合．发散了学生的思维。例题是 ：同学们站 队用“点”来表示 队列 中的学生 ，14x12或 12x14得多少7下面是学生利用手中的点子图想出解决这道计算题的策略(图5)。

这个案例教学伊始，教师直接创设点子图的数学活动 ．通过这些活动激活学生的形象思维 ，透过数学潜在的“形”与“数”的关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合。为研究“两位数乘两位数”借助直观来理解算理。进而为培养学生的抽象能力打下良好的基础．有效地实现原有知识与新知识之间的链接．诱发学生探索与学习的欲望，激活学生的思维 这说明以“形”助“数”，能把许多抽象概念和性质 、运算化为直观形象。将这些较难的数学问题．借助图形，可帮助学生建构数学模型，找到解题的捷径。

三、感悟“数形结合”思想——从“方法”到“思想”的飞跃

通过教学实践 ．我深刻地感受到一种数学思想的渗透决不是一朝一夕能够达到的．只有在点滴的教学中渗透“数形结合 ”思想．使学生逐步学会看数想形 、看形想数 ．才能使学生 的思维得到飞跃。

运用数形结合思想有时能使数量 之间的内在联系变得 比较直观 ．成为解决 问题 的有效方法之一 在分析问题的过程中．注意把数和形结合起来考察 ．根据问题的具体情形 ．把 图形的问题转化为数量关系的问题 ．或者把数量关系的问题转化为图形的问题．使 复杂 问题简单化 ．抽象问题具体化 ．化难为易。

(一)在学习完分数加减法后 ．我设计一道题 ：“一杯牛奶 ，小明第一次 喝了半杯 ，第二次又喝了剩下的一半．就这样每次都喝了上一次剩下的一半 问小明喝了五次后．一共喝了这杯牛奶的几分之几” 。

学生一般把五次所喝的牛奶加起来 ．列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的几分之几。但这并不是最好的解题策略这时有学生敢于创新提出画一个正方形(如图6)，并假设这个正方形的面积为单位l。

学生从图中直观地得出．从第一次开始每喝一次 都 减 少一 半 ．所 剩 的数量依次为最后计算结果为 。

在这里．根据数学问题的条件和结论之 间的内在联系．充分利用数形结合 的思想方法，使数量关系与空间形式巧妙、和谐地结合在一起 学生正是在这样的学习过程中，体会“数形结合”的思想．达到了一次从“方法 ”到“思想 ”的飞跃

(二)数轴上找倒数 ．深化对“倒数”的认识

乘积是 l的两个数互为倒数——倒数的概念对于学生来说并 不难理解 从教材的编排上看 ．“倒数的认识 ”是为后面学习分数除法而专门设置的 学生对这个概念的理解仅仅停留在对语义理解的层面上 ．形象的解释为分子分母互问颠倒的两个数互为倒数倒数的概念除了为后面学习分数除法做准备外．恰当的利用“数形结合”的思想 ．使分数与数轴上 的点之间有机的联 系起来 ．使学生的思维得到飞跃。

在《倒数》一课中，我设计了这样几个练习，使学生感悟“数形结合”思想。

通过找倒数并标在数轴上这一活动 ．由于已经看到了真分数与假分数分别在 1的左右两边。学生很快得 出了“真分数 的倒数都大于 1，假分数 (不等于 1)的倒数小于 1”的结论 ．有些学生还发现 了 “分数越大倒数越小 的规律 (分数大于0)”。

由于数轴实现了数与形的联姻 ．将数与直线上的点建立 了对应关 系．揭示 了数与形的内在的联 系 数轴使抽象的数有“形”可依。在小学数学教学中．我们 巧用这种带有箭头和刻度的射线(其实就是数轴的正半轴)，可以帮助学生感知数的大小与位置的关系

“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具 ．而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一 ．它也是数学学科 的 “一般原理”．在数学学习中是至关重要的 对于学生“不管他们将来从事什么工作．唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法 、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生 ”在小学数学教学中．学生懂得“数形结合”的数学思想方法后．对 于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的

四、数 与形巧联系——小学生能够理解的几个中学数学公式

小学课外数学的教学中．尤其是巧算的教学中经常会用到平方差 、完全平方公式 ，由于没有学过初中的代数式的相关知识．这些公式的掌握学生只能单纯靠记忆。其实 ．如果巧用图形．将这些公式与图形结合起来 ．与平面图形的面积计算联系起来．这些对于小学生来说十分深奥的公式也是完全可以理解 的

(一 )平方差公式 ：

学生在学习过用字母表示数 、用含有字母的算式表示长正方形面积的计算公式之后 ，学生再看到 a2很容易想到它表示边长为 a的正方形的面积 ，而(a+b)(a-b)应该是长(a+h)宽(a-h)的长方形 的面积 ，有这些做基础 ．学生理解起平方差公式应该并不困难 。

小数数学公式大全例9

2016年将是四川最后一次自主命题，随着高考改革的推进，从2017年起，四川普通高考各科全部使用全国统一命题试卷，对于数学这门学科而言，解三角形一直是高中数学中的重要内容，它具有较强的综合性，如解三角形试题往往与平面向量、三角函数、不等式、立体几何、解析几何等相结合，题目灵活，能够解决一些实际性问题等，因而成为高考试题的热点和必考点[1].

1.解三角形的考点分析

解三角形就是求解出三角形的所有边和所有角，正、余弦定理则是解三角形的一个有力工具，由于正余弦定理本身与三角函数相联系，因此对于涉及解三角形中的求角、求边的问题和判断三角形的形状等问题时，需要结合“正、余弦定理”、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、诱导公式等进行三角函数变换，多者相互结合求解三角形.

从表1和表2“2013―2015年四川卷和全国I、II卷解三角形所涉及内容”综合来看，二者对于解三角形问题大部分涉及利用正、余弦定理结合三角函数求解三角形边、角、面积等，少部分解三角形问题涉及不等式及向量方面的知识.从分值来看，四川卷每年基本都有一道解答题涉及解三角形，全国卷也将解三角形纳入重点内容.从出题意图来看，解三角形可以考查学生知识的综合应用和灵活应用的能力.

2.三角函数与正、余弦定理结合解三角形

利用三角函数与正、余弦定理结合解三角形，虽然题型相对简单，但是所涉及知识面较宽，尤其是三角函数中两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式等诱导公式的灵活应用是学生的一大难点，同时解三角形时还隐藏着一些条件，比如三角形内角和180°，三角形三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等.

例1（2013课标全国Ⅰ，理17）（本小题满分12分）如图，在ABC，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为ABC内一点，∠BPC=90°.

（1）若PB=，求PA

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

分析：根据已知条件，在PAB中利用余弦定理即可求解PA，利用正弦定理即可解出tan∠PBA.

解：（1）由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

（2）设∠PBA=α，由已知得PB=sinα.

在PBA中，由正弦定理得=，

化简得cosα=4sinα.

所以tanα=，即tan∠PBA=.

小结：本题主要考查学生对正、余弦定理的理解和应用及一些较简单三角函数诱导公式.

例2（2013四川，理17）（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-.

（1）求cosA的值；

（2）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.

分析：利用三角函数和与差的诱导公式和二倍角公式对已知条件进行化简，即可求得cosA，最后结合正余弦定理求解出c的值即可求得向量在方向上的投影.

小结：本题主要考查学生应用正弦定理和余弦定理、三角函数中和与差、二倍角诱导公式及平面向量的投影等知识，所涉及知识面较宽，考查学生知识的综合应用和灵活应用的能力.

3.不等式与解三角形结合

三角形中涉及求角、边、面积范围时，就会应用到不等式的相关知识，比如基本不等式等，在“解三角形”的过程中，要从研究角和边的取值范围开始，充分考虑三角函数值的符号和三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，三角形内角和180°，三角形的形状等已知或隐含条件，尽可能缩小角和边的取值范围，只有这样，才能避免产生增根或“扩大”所求变量的取值范围[2].

例3（2014课标全国Ⅰ，理16）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ABC面积的最大值为？摇 ？摇.

分析：已知条件中（2+b）（sinA-sinB）=（c-B）sinC，既有边又有正弦值，联想到利用正弦定理，统一变量，再观察化解后的形式和余弦定理相似，则可求出cosA，进而利用面积公式S=bcsinA求出面积的最大值.

小结：本题主要考查学生对正弦定理和余弦定理的理解和综合应用，以及解三角形与基本不等式的结合.

总之，解三角形虽然涉及内容较多，需要结合“正、余弦定理”、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、诱导公式等进行三角函数变换，进而求解三角形，但是从2013―2015年四川卷和全国卷I、II分析解三角形的考点来看，解三角形大部分涉及利用正、余弦定理结合三角函数求解三角形边、角、面积等，少部分解三角形问题涉及不等式及向量方面的知识.学生需要灵活应用正余弦定理与三角函数的结合，才能真正掌握解三角形的相关知识.

小数数学公式大全例10

0 前言

位于山坡或山脚下的工厂和城镇，除了应及时排除建成区内的暴雨径流外，还应及时拦截并排除建成区以外、分水岭以内沿山坡倾泻而下的山洪流量。由于山区地形坡度大，集水时间短，洪水历时也不长，所以水流急，流势猛，且水流中还夹杂着砂石等杂质，冲刷力大，容易使山坡下的工厂和城镇受到破坏而造成严重损失。设计的任务就在于开沟引洪、整治河沟、修建构筑物等，以便有组织的及时地拦截并排除山洪径流，保护山坡下的工厂和城镇的安全[1]。因此洪峰流量的确定对于防洪设施的规模至关重要，但几种方法在推导理论、公式形式、适用条件上有较大差异，计算结果也不尽相同，故研究确定适用于本地区的洪峰流量计算方法十分重要。

1 山区小汇水面积洪水计算的特点

（1）资料缺少、系列较短、常无实测资料。（2）集雨面积小。（3）汇流时间快，在数小时甚至数十分钟内，其洪峰流量已汇集到出口位置或防洪区。（4）确定洪峰流量时，一般不考虑暴雨的时空分布特点，按全面积均匀降雨计算。（5）区域性明显，易诱发山地灾害和洪涝灾害。

2 洪峰流量的计算方法

2.1 推理公式法

水利科学研究院水文研究所公式，该公式是一种半理论半经验的公式如下：

QP=0.278Ψ■F？子=0.278■

式中：QP――设计洪峰流量，m3/s；Ψ――径流系数；S■――暴雨雨力mm/h；τ――流域汇流时间，h；n――暴雨强度递减系数；F――汇水面积，km2；L――主河槽长度，km；m――汇流参数；J――主河槽平均坡降。

2.2 经验公式法

（1）水利电力科学研究所经验公式：汇水面积在100km2以内，用公式：

QP=KS■F■（m■/s）

式中：S■――暴雨雨力（mm/h）；F――汇水面积（km2）；K――洪峰流量参数。

（2）公路科学研究所经验用式：QP=CS■F■（m■/s）

式中：C――系数，按地貌确定：石山区：C=0.6～0.55；丘陵区：C=0.5～0.40

黄土丘陵区：C=0.47～0.37；平原区：C=0.4～0.30；S相应于设计频率的一小时降雨量（mm），可自当地雨量站取得；F汇水面积（km2）。

当F

汇水面积小于10km2采用公式为：QP=KFn（m■/s）

式中K――径流模数；n――面积参数，当F

2.3 室外排水公式法

雨水设计流量，应按下列公式计算：QS=qΨF

式中：QS――雨水设计流量（L/s）；q――设计暴雨强度[L/（s・ha2）]；

径流系数；F汇水面积（ha2）。

3 计算方法的比较

从流量公式的基本原理看，几种计算方法近似相同，即流量等于径流系数（流量参数）、暴雨强度和汇流面积的乘积；但在雨量统计、暴雨强度、产汇流计算等方面的处理方式上存在较大区别。

3.1 水科院推理公式适用条件

流域面积小于500km2，在40～50km2较为适宜；适用于长历时降雨；天然小流域。优点：考虑了不同地区参数的影响，反映不同流域的实际情况；除计算洪峰流量外，可推求时段洪水总量和洪水过程线。缺点：公式中的洪峰流量径流系数Ψ、汇流参数m的计算或选取，与实际情况不符；暴雨公式为i=SP/tn形式，t0时，i∞，不尽合理。[2]

3.2 水科院经验公式适用条件

汇水面积小于100km2；适用于天然小流域。优点：适用方便，计算简单。缺点：峰流量K的选取未考虑人为措施的影响；地域性强，可能会造成较大误差；不能推求洪水总量和洪水过程线。

3.3 公路科学研究所经验使用条件

汇水面积小于10km2；适用于有降雨资料的小流域。优点：适用方便，计算简单。缺点：参数影响较大，计算中有时会造成较大误差。

3.4 室外排水公式适用条件

集雨面积小于30km2，适用于短历时降雨，人为措施影响较大的地区。优点：暴雨强度公式优于水科院推理公式中暴雨强度的计算，集水时间由地面集水时间和渠道行洪时间组成，比较符合实际情况。缺点：流系数Ψ取值仅考虑地表的性质，选用较为粗糙；地面集水时间t1的取值仅凭经验，受主观因素影响大；不能推求洪水总量和洪水过程线。

4 实际工程计算实例及选用方法的比较

某矿山工程位于山脚下，该地区降雨量大、降雨历时长，易形成洪水造成危害，为保证本工程不受山洪的威胁，故需考虑截水、排洪。根据《防洪标准》GB50201-94-4.0.1～4.0.6条，该工程前一期工程中已对整个山区区域考虑了整体防洪，已建成并投用了XX防洪沟，针对该工程的实际情况，只需对本期工程的局部小面积雨水进行收集排入XX防洪沟即可。对以上几种计算方法进行了验证及比较。

4.1 工程概况

影响该工程分水岭以内的汇流面积约5公顷，面积较小，地势较平坦属于一般的小山坡。

4.2 采用200年重现期经验公式计算结果如下：

（1）水利电力科学研究所经验公式：QP=KS■F■=0.5×57.8×0.05■=3.92m■/s

（2）公路科学研究所经验用式：QP=CS■F■0.5×57.8×0.05■=3.92m■/s

（3）当F

（4）公路科学研究所经验公式：QP=K■Fn=23.04×0.05■=1.152m■/s

（5）暴雨强度各种参数计算流量结果如表1和表2。

表1

表2

4.3 计算过程中发现，洪峰流量的计算结果对部分参数的选取十分敏感，如经验公式中的K、室外排水公式中的径流系数ψ和地面集雨时间t等。在本工程实际计算中推理公式未能得以应用，主要原因当地实际重现期内气象资料不全，由此也可以看出此方法对于参数的选取存在很多人为因素，实际计算套用图表也存在一定参数选用误差。

5 计算方法的选用

通过以上计算可以看出，水科院的公式适用于流域面积较大、汇流时间较长，气象资料较为健全的地区；经验公式法主要用于计算结果的对比参考；室外排水公式法适宜于集雨面积较小、汇流时间较短的小流域。对于面积大、人为因素影响比较大或者面积小、人为因素影响也小的流域，采用以上计算方法计算均有利弊，此时应分析流域的具体情况，综合比较各计算结果，合理选取确定洪峰流量。

6 结语

以上各种计算方法，有时在数值上差别很大，设计涉及面广，影响因素复杂，因此在计算中要选取合理的方法。为适应防洪工程技术发展的新需要，使防洪设施规模更科学合理，有必要对小流域的洪水及暴雨资料进行测量分析，除引用地区性公式和参数外，应从本流域的洪水调查入手，对调查的历史洪水位、洪峰流量计算及频率的确定做多方考证，取得第一手资料。在有条件时，可收集和分析本地的暴雨及防洪设施洪水观测资料，验证各公式使用的参数是否适合于本地区。最后在多种方法的基础上综合分析，适当注意安全的情况下，合理选取设计值。