分数除法教案例1

1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；

2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．

教学重点和难点

重点：分式约分的方法．

难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．

教学过程设计

一、导入新课

问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？

答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

本性质．

问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？

答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．

二、新课

我们观察：

(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．

(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．

像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．

把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．

为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？

答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．

指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．

例2约分：

分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．

请同学说出解题思路．

答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．

当x=45时，

请同学概括分式约分的步骤．

答：

1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．

2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．

请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？

答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．

三、课堂练习

1．约分：

2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．

四、小结

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．

如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．

分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如

x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．

五、作业

1．约分：

2．约分：

3．先约分，再求值：

课堂教学设计说明

分数除法教案例2

1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流有关分数乘法的相关资料与问题。

2.进一步明确分数乘法教学的内容与要求。

3.通过对不同版本教材分数乘法的对比，提高教材比较的能力。

4.进一步提高分数乘法的教学水平。

二、活动时间

教研组老师先不集中，每人自己安排时间阅读并独立解决本方案中的问题，时间约3小时；再以年级组（或教研组）为单位集中交流问题的答案，时间约1.5小时；开一节分数乘法的公开课，时间40分钟。

三、活动前准备

数学组的每一个老师解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。指定老师准备开一节分数乘法的公开课。

1.分数乘法可以分成“分数与整数相乘”和“分数与分数相乘”两大块内容。但由于涉及运算意义的说明、计算法则的归纳以及结果的约分或化成带分数等等，内容比较丰富。请你先计算下面各题，并想一想，这些分数乘法的题目，教材应该按照怎样的顺序编排？请按照前后顺序在括号里编号。

（ ）6×，（ ）×，（ ）×，（ ）×，（ ）×3。

2. 学习任何运算常常要先明确这种运算的意义，学习分数乘法运算也不例外。我们先来研究“分数与整数”相乘的意义。

（1）你觉得“分数与整数”相乘的意义是什么？请你以8×为例说明。

（2）如果有人说：“8×有两种意义：①8×表示8个相加的和是多少；②8×表示把8平均分成4份，取这样的3份是多少，也就是表示求8的是多少。”你同意这样的说法吗？在教学中，需要让小学生掌握这两种意义吗？如果需要，那么哪一种意义应该先教学？为什么？

（3）下面是学生对“分数与整数”相乘意义的表达（以8×为例），你觉得哪些表达是对意义正确的理解？在相应的括号内打“√”。

①8×=+++++++（8个相加）； （ ）

②+++++++=8×=×8 ；（ ）

③8×既表示8个相加是多少，也表示个8相加是多少；（ ）

④把8平均分成4份，取这样的3份，算式可以是8×； （ ）

⑤求8的是多少，就是要计算8×或×8是多少； （ ）

⑥8×可以理解为有8个苹果平均分成4份，这样1份就是2个，表示这样的3份，就是6个苹果。也就是8×=8÷4×3。（ ）

（4）如果要出一些题目来评价学生是否掌握了“分数与整数”相乘的意义，那么，你可以出怎样的题目？

3.“分数与整数”相乘的内容从计算的结果上看，可以分成两类，一类是分数与整数相乘计算结果是整数，如8×；另一类是分数与整数相乘计算结果是分数，如3×。查阅现行的几套小学数学教材，只有浙教版教材把分数与整数相乘计算结果是整数的这一块内容放在三年级进行教学。这套教材在学生学习了分数的初步认识、初步的分数大小比较和加减法后教学求一个数的几分之几是多少（结果是整数）的内容。

下面是在三年级教学“求一个数的几分之几是多少”的教学片段，请你先阅读，然后思考并解决问题。

环节一：

出示图，让学生思考并填上合适的分数表示图中阴影部分的大小。说一说为什么填这个分数。

一般的学生都能填上，并能够说明理由：把一个图形等分（或平均分）成了4份，阴影部分有1份，所以，用表示图中阴影部分的大小。

环节二：

教师分步出下面两个图，并结合图形用文字表达。再让学生将文字各齐读一遍。

（1）

文字表达：涂阴影的小正方形是这个大正方形的四分之一。

（2）

文字表达：这个大正方形的四分之一是涂阴影的小正方形。

（3）出示图，并明确问题：大正方形的是一个小正方形，如果一个大正方形表示16，那么，这个小正方形表示多少？也就是16的是多少？你是怎样列式计算出结果的？

16的是多少？

学生列式计算：16÷4=4。也就是一个小正方形表示4，并明确16的是4。

教师进一步提出问题：想一想，“16的是多少”是什么意思？用什么方法计算？

引导学生回答：16的是多少，就是把16平均分成4份，求1份是多少。把16平均分成4份，求1份是多少，用除法计算：16÷4=4。

环节三：

让学生做三个练习题，巩固求一个数的几分之一是多少的意义与方法。

环节四：

与上面的过程类似，教学求一个数的几分之几是多少。

先出示图：。

再出示问题：如果这个大正方形表示16，请每一个学生都独立地解决问题：想一想，“求16的是多少”是什么意思？怎样列式计算？

在学生独立思考解决问题后，进行全班交流。引导学生得出：“求16的是多少”的意思是：把16平均分成4份，表示这样的2份。解决问题的算式与结果是：16÷4×2=8。

环节五：

让学生做三个练习题，巩固求一个数的几分之几是多少的意义与方法。

问题：

（1）你觉得，对于三年级学生来说，要完成上面的教学过程，他们需要具备哪些基础？

（2）笔者曾用上面的教学过程在三年级进行教学实践，发现学生有能力解决求一个数的几分之几是多少（结果为整数）的问题。三年级学生为什么有能力解决这样的问题呢？下面列举了可能的原因，请你根据上面的教学片段，判断哪些说法是正确的，正确的在相应的括号里打“√”，否则打“×”。

从学生已有的基础看：

对分数的意义已经有了初步认识；（ ）

单位“1”的概念已经非常明确；（ ）

已经具备用归一的方法解决整数应用问题；（ ）

分数乘法的意义学生已经掌握；（ ）

已经学习了分数与除法的关系。（ ）

从教学过程与要求看：

提供了直观图形，方便学生理解；（ ）

“先教学求一个数的几分之一是多少，再教学求一个数的几分之几是多少”体现了由易到难的原则，学生学习的难度较小；（ ）

巩固练习的题量大，有利于学生掌握；（ ）

“把求一个数的几分之几是多少的问题转化成归一问题来解决”这种转化的思路学生能够掌握；（ ）

不要求学生列出16×这样的乘法算式，只要求学生把“求16的是多少”的意义（把16平均分成4份，表示这样的2份）和算式（16÷4×2=8）对应起来，这是合理的教学要求。（ ）

4.你觉得，把分数乘法分成“分数乘整数结果是整数（三年级）”和“分数乘整数、分数（五年级或六年级）”这样两段来编写，是否有必要？请你阅读下面甲、乙两人的看法，你比较赞同哪一个人的观点？为什么？

甲：把分数乘法分成两段来教学，它的价值比较大。对我这样的老师来说，在数学教学观念上有一定的“冲击”。原来我一直认为，分数乘法只有到五、六年级学生才可能学习，把分数乘整数结果是整数这样的内容放到三年级学习，说明了作为教育任务的数学有着自己的体系，小学生学习数学的系列可以不断地实践与探索。对于学生来说，①由于用归一的思路解决求一个数的几分之几是多少的问题，所以有利于学生更好地理解分数乘整数的意义；②用归一的思路解决问题时，要把分数的单位“1”具体化，如单位“1”代表16，这样有利于学生进一步理解分数意义中的“单位1”；③有利于学生进一步感受分数与“等分，平均分”有关系，除法也与“等分，平均分”有关系，这样分数与除法之间也就有了关系，而不是分数就是分数、除法就是除法，两者没有丝毫的联系； ④为五年级或六年级学生进一步学习分数乘法奠定了基础。

乙：把分数乘法分成两段来教学，它的价值不大。主要有以下两个理由：①在分数乘除法教学研究校本教研活动方案（一）中（详见本刊2013年第7～8期合刊）我们已经知道，在算术理论中，分数与整数相乘没有自己单独的意义与运算法则，而只是建立了分数与分数相乘的意义与法则。对于分数与整数相乘可以看成是分数与分数相乘的特别情况（即把整数看成分母是1的特殊分数），可见，把分数乘法分成两段来教学，不是突出了数学内容的整体性，让学生感受到法则的统一性，而是肢解了数学的内容，不利于学生整体把握分数乘法的知识结构；②无论是分数乘整数，还是分数乘分数，对于小学生来说，学习的难度不大，没有必要把这一内容分成两段编排，采用螺旋上升的原则。分两段编排后，势必增加教学的时间，学生学习的效率相对低下。

5.在教学“分数乘整数”的第一个例题时，如果想创设一个生活情境引入算式，那么你会创设一个怎么样的情境？

现行的人教版与苏教版教材都把分数乘法内容编排在六年级上册，下面分别是这两套教材关于“分数与整数”相乘的第一个例题，请你先阅读教材内容，然后回答问题。

问题：

（1）哪一个情境更贴近小学生的生活实际？为什么？

（2）哪一个情境更容易让小学生理解题意、弄清条件与问题？为什么？

（3）哪一个问题的解决更容易让小学生理解“分数乘整数”的意义？

6.我们知道，教学分数与整数相乘时，主要教学分数与整数相乘的意义与计算法则。人教版与苏教版教材在出现了上题（第5题）中的两个情境后，接着教材又呈现了意义与算法的内容，请你先阅读两种教材的内容再回答问题。

人教版教材 苏教版教材

问题：

（1）两种教材分别在哪些内容上呈现了分数乘整数的意义？哪些地方呈现了算法？

（2）哪一种教材在意义与算法的呈现方式上更为清晰？

（3）哪一种教材更强调学生的动手操作？更重视利用学生已有的知识与技能？

（4）你比较喜欢哪一种教材的编写过程？为什么？

7.苏教版教材除了像上题（第6题）这样呈现“分数与整数相乘的意义可以是求几个相同加数和的简便计算”外，还专门用了一个例题阐述分数与整数相乘的另一种意义，请你先阅读教材，再回答问题。

苏教版教材

问题：

（1）例2中为什么要有两个小问题？

（2）在例2中分数与整数相乘的意义是什么？请以10×为例说明。

（3）你觉得例2的教学有什么价值？

8.笔者查阅了现行的人教版教材，发现没有编排像苏教版例2这样分数与整数相乘的内容。这样的内容是否还需要教学，有了不同意见。

有人认为，现在我们已经不再区分被乘数与乘数，而且在学生一开始学习乘法时，就规定了两个因数交换位置后的大小相等、意义相同。如2×3=3×2，所以在这里学生也会明白10×=×10，前面已经教学了10×或×10都可以理解为“求10个相加的和”，因此，没有必要再教学10×可以理解为是“把10平均分成5份，表示这样的2份”这种意义了。

也有人认为，虽然学生明白了10×=×10，但并不意味着学生对于算式的意义就理解了。对于10×或×10这样的算式来说，学生不仅要知道它们是相等的，而且还要明白每一个算式都有两种不同的含义，从这个意义上说，在不再区分被乘数与乘数的背景下，对每一个算式都应该让学生明白两种意义，教学的任务更重了，所以，教材应该出现像苏教版例2这样的内容。

你觉得上面的哪一种观点更有道理？为什么？

9.在分数乘分数的教学中，要教学分数乘分数的意义与方法。下面的三句话都是以×为例，试图表达出分数乘分数的意义，你觉得这些表达都是正确的吗？ 为什么？

（1）×的意义是求个相加的和是多少。

（2）×的意义是求的是多少。

（3）×的意义是把平均分成4份，表示这样的3份是多少。

10.想一想，在分数与整数相乘的两种意义中，哪一种意义和分数与分数相乘的意义是相同的？以2×和×为例说明。

11.你觉得，学生是分数乘分数的算法（用分子相乘的积作分子、用分母相乘的积作分母）掌握得比较困难，还是理解算理（即为什么可以这样计算的道理）掌握得比较困难？

下面是人教版教材分数与分数相乘的例题，请你先阅读，并思考学生理解算理较困难的主要原因是什么。

接着教材上要求学生想一想，分数乘分数怎样计算？

下面是对形成难点的原因分析，你觉得这样的分析是否有道理？

主要原因：一是单位“1”的不断变化。从例题所创设的情境看，题目中对应着的单位“1”是一面墙，对应的单位“1”是一面墙的。而×所对应的单位“1”也是这一面墙。可见在分数与分数相乘的过程中，出现了几个单位“1”，这几个单位“1”要根据条件与问题来确定，这是造成学生理解困难的一个原因。二是算式的意义常常由规定而得，而并不是根据数量关系得到。大家知道，分数与分数相乘的意义就是“几分之几的几分之几”，这是规定。如上面例题中由“的”这样表述的句子，就得到× ，这种“硬性”的规定不利于理解。而如果从工作效率、工作时间与工作总量相互关系中得到× ，学生的理解就可能会容易一些。

12.请你先阅读下面的题目，然后回答问题。

你觉得，在教学分数乘分数时，如果采用上面的题目作为例题，那么，能够得到分数乘分数的算式吗？能够说明算理吗？如果用三四个这样类似的题目可以归纳出计算方法吗？与上面人教版教材中“粉刷墙”的这个例题比较，各有什么优点与不足？

（1）要求出阴影部分这个长方形的面积，应该怎么列式？

（2）这个大正方形的面积是多少？阴影部分的长方形面积是这个正方形面积的几分之几？

（3）阴影部分长方形的面积是多少？

分数除法教案例3

2、会解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。

3、理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。

4、能运用比的知识解决有关的实际问题。

单元重点：

一个数除以分数的意义以及计算方法，并会分数除法解决相关的问题。

单元难点：

一个数除以分数的计算法则的推导。

1、分数除法

（1）分数除法的意义和整数除以分数

教学目标：

1、通过实例，使学生知道分数除法的意义与整数除法的意义是相同的，并使学生掌握分数除以整数的计算法则。

2、动手操作，通过直观认识使学生理解整数除以分数，引导学生正确地总结出计算法则，能运用法则正确地进行计算。

3、培养学生观察、比较、分析的能力和语言表达能力，提高计算能力。

教学重点：

使学生理解算理，正确总结、应用计算法则。

教学难点：

使学生理解整数除以分数的算理。

教学过程：

一、复习

1、复习整数除法的意义

（1）引导学生回忆整数除法的计算法则：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

（2）根据已知的乘法算式：5×6＝30，写出相关的两个除法算式。（30÷5＝6，30÷6＝5）

2、口算下面各题

×3××××6×

二、新授

1、教学例1

（1）出示插图及乘法应用题，学生列式计算：100×3＝300（克）

（2）学生把这道乘法应用题改编成两道除法应用题，并解答。

A、3盒水果糖重300克，每盒有多重？300÷3＝100（克）

B、300克水果糖，每盒100克，可以装几盒？300÷100＝3（盒）

（3）将100克化成千克，300克化成千克，得出三道分数乘、除法算式。

×3＝（千克）÷3＝（千克）÷3＝3（盒）

（4）引导学生通过整数题组和分数题组的对照，小组讨论后得出：分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另个一个因数。都是乘法的逆运算。

2、巩固分数除法意义的练习：P28“做一做”

3、教学例2

（1）学生拿出课前准备好的纸，小组讨论操作，如何把这张纸的平均分成2份，并通过操作得出每份是这张纸的几分之几。

（2）小组汇报操作过程，得出：将一张纸的平均分成2份，每份是这张纸的。

4÷2

5

（3）引导学生数形结合，对照不同的折法，说出两种不同的计算方法。

A、÷2＝＝，每份就是2个。

B、÷2＝×＝，每份就是的。

（4）如果把这张纸的平均分成3份呢？让学生从上面两种方法中选择一种进行计算，通过操作对比，让学生发现第二种方法适用的范围更广。

4、引导学生观察÷2和÷3两个算式，概括出分数除以整数的计算法则：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数。

三、练习

÷3÷3÷20÷5÷10÷6

分数除法教案例4

1.挖一条引水渠，第一天挖了全长的

，第二天比第一天少挖20米，还有800米没挖完．这条引水渠一共长（

）

A. 1003米                               B. 1030米                               C. 780米                               D. 1300米

2.×120×

＝

×

×120，这里运用了(

)。

A. 乘法交换律                               B. 乘法结合律                               C. 乘法分配律

3.15÷

=（

）

A. 4                                         B. 25                                         C. 36                                         D. 90

4.有一块三角形的铁皮，面积是

平方米。它的底是

米，高是

(

)米

A.                                             B.                                             C.

5.=（

）

A. 0.1                                         B.                                          C. 1

D. 1

二、判断题

6.>

7.一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．

8.在一个圆内剪去这个圆面积的

，剪去部分的面积是余下部分的

．

9.8×x可以简写成8x。

三、填空题

10.加法的交换律和结合律、乘法的________、________和________，不仅适用于整数运算，而且也适用于________和________运算．

11.一个数列共5个数，其中最大的一个数是c,且相邻的两个数相差5，这5个数的和是​________。

12.=________

13.比90的

多2的数是________。

14.一颗人造卫星绕地球5周需

小时。用同样的速度绕地球12周需________小时。

四、解答题

15.王大爷共养山羊和绵羊480只，绵羊只数是山羊的

。山羊和绵羊各多少只？

16.一段路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。如果两队合修，几天可以完成？

五、综合题

17.选择适当的方法计算．

（1）2016×

（2）6÷[（

﹣10%）×1.2]

（3）0.63×2.5+0.063×75

六、应用题

18.体育老师买足球和篮球共用240元，其中买足球用去钱数是买篮球用去的钱数的

，买足球用去多少钱？

参考答案

一、单选题

1.【答案】

D

【解析】【解答】解：设这条引水渠一共长x米，

x-x-(x-20)=800

x-x-x+20=800

x+20=800

x+20-20=800-20

x=780

x÷=780÷

x=1300

故答案为：D.

【分析】根据题意可知，此题应用方程解答比较简便，设这条引水渠一共长x米，依据等量关系：全长-第一天挖的长度-第二天挖的长度=剩下的长度，据此列方程解答.

2.【答案】

A

【解析】【解答】×120×＝××120，这里运用了乘法交换律.

故答案为：A.

【分析】观察算式可知，交换120和的顺序，据此计算简便.

3.【答案】

B

【解析】【解答】解：15÷=15×=25

故答案为：B.

【分析】整数除以分数（0除外），等于整数乘分数的倒数，再根据整数乘分数计算方法进行计算.

4.【答案】

B

【解析】【解答】设三角形铁皮的高x米，则

x=

故B

【分析】

本题考查了分数除法应用题，题干内容稍显繁杂，但是本题思路清晰，容易理解。

5.【答案】

D

【解析】【解答】

=

=1

故答案为：D

【分析】观察数字和运算符号特点，此题要先算乘法，再算加法；由此根据分数乘法和加法的计算方法计算即可.

二、判断题

6.【答案】

正确

【解析】

7.【答案】

正确

【解析】【解答】解：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。原题说法正确。

故答案为：正确。

【分析】由于除数不能为0，所以一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，所有的除法都可以转化成乘法来计算。

8.【答案】正确

【解析】【解答】解：

=

=

原题计算正确.

故答案为：正确

【分析】以这个圆的面积为单位“1”，用1减去剪去的分率即可求出余下部分的分率，用剪去部分的分率除以余下部分的分率即可求出占余下的几分之几.

9.【答案】

正确

【解析】【解答】规定数字与字母相乘，数字在前字母在后，字母与数字之间可以用个小圆点，还可以省略不写。

【分析】用字母表示数有关的问题

三、填空题

10.【答案】

交换律；结合律

；分配律；小数；分数

【解析】【解答】加法的交换律和结合律、乘法的交换律、结合律和分配律，不仅适用于整数运算，而且也适用于小数和分数运算.

故答案为：交换律；结合律；分配律；小数；分数.

【分析】整数的加法、乘法运算定律对于小数和分数同样适用，据此解答.

11.【答案】

5c－50

【解析】【解答】根据题意，最大的数是c

，

所以这些数从大到小一次是：c、c－5、c－10、c－15、c－20，所以，这些数的和是：

c＋（c－5）＋（c－10）＋（c－15）＋（c－20）＝5c－50

【分析】用含字母的数表示数，并求值

12.【答案】

【解析】【解答】解：

=

=

故答案为：

【分析】只含有除法，按照从左到右的顺序计算，把除法转化成乘法计算即可。甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。

13.【答案】47

【解析】【解答】90×

＋2

＝45＋2

＝47

所以，这个数是47。

【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出90的

是多少，所得的积再加上2即可，弄清运算顺序是关键。

14.【答案】32

【解析】【解答】

＝

×12

＝32（小时），

所以，用同样的速度绕地球12周需32小时。

【分析】用同样的速度，说明绕地球转的速度不变；先求出绕地球1周需要多长时间，再求出

12周需要的时间。关键是先求出不变的单一的量，再由单一的量求解。

四、解答题

15.【答案】

480÷（1+）=280（只）

480-280=200（只）

答：山羊有280只，绵羊有200只。

【解析】【分析】把山羊的只数看作单位“1”，用除法即可求出山羊的只数，然后用减法即可求出绵羊的只数。

16.【答案】

解：1÷（

+

）=6（天）

或30÷（30÷10+30÷15）=6（天）

答：如果两队合修，6天可以完成。

【解析】【分析】方法一：将这条路的长度看作单位“1”，两队合修用的天数=1÷（甲队每天修全长的几分之几+乙队每天修全长的几分之几），其中甲队每天修全长的几分之几=1÷甲队单独修用的天数，乙队每天修全长的几分之几=1÷乙队单独修用的天数；

方法二：两队合修用的天数=这条路的长度÷（甲队每天修的长度+乙队每天修的长度），其中甲队每天修的长度=这条路的长度÷甲队单独修用的天数，乙队每天修的长度=这条路的长度÷乙队单独修用的天数。

五、综合题

17.【答案】

（1）解：

2016×

=

×

=2015×

+1×

=2014+

=2014

；

（2）解：

6÷[（

﹣10%）×1.2]

=6÷[

×1.2]

=6÷0.6

=10；

（3）解：

0.63×2.5+0.063×75

=0.63×2.5+0.63×7.5

=0.63×（2.5+7.5）

=0.63×10

=6.3．

【解析】【分析】（1）把2016化成2015+1，再运用乘法的分配律进行简算；（2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法；（3）运用乘法的分配律进行简算．

六、应用题

18.【答案】解：240÷(1+)

=240÷

=150(元)

分数除法教案例5

我们常常听许多教师感叹：自己的课堂怎么就很少有让人感动的“惊人”一幕，而更多地只是表现为平静、平淡与平凡，难以有名师课堂中时不时出现的瞬间的精彩，他们怎就会出现那么多生成性资源?

其实，课堂何处无“芳草”。教学资源无处不在、无时不有、无人不遇，它或许就在你的身边和手头，只是你没有一颗敏感的心，这可能就是你与名师的差距。

一、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不经意”时

案例：一位教师在教实验教材二年级下册《角的认识》时，先让学生把用两根红色小棒组成的活动角学具叉开一些，再让学生说一说这样变化后的感觉：许多学生都认为“角变大了”，这一观点也正是教师需要的答案。突然，有一个学生说：“现在这个角像花一样开放了。”这一回答让教师很惊奇，于是也就顺着学生评价道：“是啊，是像花一样开得很鲜艳。”

评析：学生的奇思妙想常常发生在教师的不经意间。上述案例中，学生的回答“现在这个角像花一样开放了”让教师不知所措，于是就采取“是啊”、“很好”等模糊措辞来一言带过，以求在学生的不经意间仍然“回归”教学预案?其实，教师不妨借用学生这些花一样的语言来与教学预案自然并有效地“接轨”。例如上述案例中，教师就可以追问学生：“你为什么认为现在这个角像花一样开放了呢?”，估计学生就会说出“因为这个角变大了”之类的数学语言，这不就又符合本课的中心思想了吗。教师这样“追查”，可以让学生对教师的评价不再糊涂，而是听得真切和明白。

由此可见，有时教师的“不经意”中发生的事情需要教师很“在意”，琢磨学生的“语意”， 理解学生的“心意”。

二、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不注意”时

案例：一位教师在教学实验教材二年级下册《认识线路图》时，出示了教材例题中的一幅小明游览公园的平面图。教师首先抓住平面图中心位置“艺术广场”作为参照物，说一说其他景点分别在艺术广场的什么方位，以此复习旧知“东，南、西、北”以及“东南、东北，西南，西北”等八个方向，然后引入新授内容“运用这些方位词描述线路图”。

其中，学生描述“竹林在艺术广场的北面”、“月亮湖在艺术广场的西南面”时，教师都能在学生刚报出景点名的同时就很快地在图上找到这些景点，然后用教鞭指点该景点让其他学生以此评判回答学生接下来描述的方位是否正确。然而，当第三个学生报出“儿童乐园”时，教师却一时在图中找不到这一景点，之后在下面学生纷纷用手势指点的帮助下才找到了目标，回答的学生因教师的这一“卡壳”而语止等待教师完成定位后才继续说下去“……在艺术广场的西北面”。

评析：在上述案例中，“教师一时找不到景点”恰恰不是教学的尴尬，而是一个很好的促成教学资源的转折点，此时，教师不妨让回答学生先把话“儿童乐园在艺术广场的西北面”说完，然后教师再根据这一句话来寻找“儿童乐园”景点的坐标，而不是依靠其他学生的帮助才完成任务，这样就可以再次让学生体会确定位置的教学价值。

由此可见，有时教师的“不注意”如果处理得当，反而可以引发学生的“注意”，也让学生更有“主意”。

三、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不如意”时

案例：一位教师在教学实验教材五年级下册《分数的基本性质》时，学生通过操作、观察、比较，抽象归纳出分数的基本性质“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变”后，准备沟通“商不变性质”与“分数基本性质”之间的联系。

然而，当教师让学生回忆“商不变性质”时，学生都因遗忘而哑口无言。此时，教师只好自己说出商不变性质，然后通过已经学过的“分数与除法的关系”来让学生发现它们各部分名称的对应关系和变化规律。

评析：在上述案例中，“学生的哑口”出乎教师的意料，学生的遗忘让教师黯然，无奈之中只能自说自话，从而保证教学得以继续进行。其实，教师不必为学生的“不配合”而神伤，完全可以采用“倒行逆施”的教学策略来维持教学路线的“生计”和激发教学情感的“生机”，把原先预设的“由分数与除法的关系来沟通分数基本性质与商不变，陆质之间的关系”的教学思路灵活地变通为“由分数基本性质和分数与除法的关系来椎想回忆出商不变性质”，这异曲同工的效果同样可以达到沟通分数基本性质与商不变性质之间关系的最终目的。

由此可见，有时教师的“不如意”并不可怕，可怕的是教师不会“见风转舵”，教学缺乏“软着陆”的弹性。

四、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不同意”时

案例：除数是两位数的除法，教与学的重点和难点都在于试商。通常，教材主要介绍“首位试商法”(如除数是32和38时，都看作30，再通过口算试出商是几)，“四舍五人试商法”(如除数是32和38时，分别看作30和40，再通过口算试出商是几)。

在一堂课上，一位教师让学生讨论：哪种试商方法比较好?学生1认为，当把除数32看作30时，被除数也应该“舍”；当把除数38看作40时，被除数也应该“入”，这样试商更准确。．学生2则认为，除数、被除数各自分别“四舍五人”，试商更准确。遗憾的是，教师不清楚哪种方法准确率更高，于是回应：还是课本介绍的“首位试商法”好。

分数除法教案例6

我们常常听许多教师感叹：自己的课堂怎么就很少有让人感动的“惊人”一幕，而更多地只是表现为平静、平淡与平凡，难以有名师课堂中时不时出现的瞬间的精彩，他们怎就会出现那么多生成性资源?

其实，课堂何处无“芳草”。教学资源无处不在、无时不有、无人不遇，它或许就在你的身边和手头，只是你没有一颗敏感的心，这可能就是你与名师的差距。

一、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不经意”时

案例：一位教师在教实验教材二年级下册《角的认识》时，先让学生把用两根红色小棒组成的活动角学具叉开一些，再让学生说一说这样变化后的感觉：许多学生都认为“角变大了”，这一观点也正是教师需要的答案。突然，有一个学生说：“现在这个角像花一样开放了。”这一回答让教师很惊奇，于是也就顺着学生评价道：“是啊，是像花一样开得很鲜艳。”

评析：学生的奇思妙想常常发生在教师的不经意间。上述案例中，学生的回答“现在这个角像花一样开放了”让教师不知所措，于是就采取“是啊”、“很好”等模糊措辞来一言带过，以求在学生的不经意间仍然“回归”教学预案?其实，教师不妨借用学生这些花一样的语言来与教学预案自然并有效地“接轨”。例如上述案例中，教师就可以追问学生：“你为什么认为现在这个角像花一样开放了呢?”，估计学生就会说出“因为这个角变大了”之类的数学语言，这不就又符合本课的中心思想了吗。教师这样“追查”，可以让学生对教师的评价不再糊涂，而是听得真切和明白。

由此可见，有时教师的“不经意”中发生的事情需要教师很“在意”，琢磨学生的“语意”， 理解学生的“心意”。

二、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不注意”时

案例：一位教师在教学实验教材二年级下册《认识线路图》时，出示了教材例题中的一幅小明游览公园的平面图。教师首先抓住平面图中心位置“艺术广场”作为参照物，说一说其他景点分别在艺术广场的什么方位，以此复习旧知“东，南、西、北”以及“东南、东北，西南，西北”等八个方向，然后引入新授内容“运用这些方位词描述线路图”。

其中，学生描述“竹林在艺术广场的北面”、“月亮湖在艺术广场的西南面”时，教师都能在学生刚报出景点名的同时就很快地在图上找到这些景点，然后用教鞭指点该景点让其他学生以此评判回答学生接下来描述的方位是否正确。然而，当第三个学生报出“儿童乐园”时，教师却一时在图中找不到这一景点，之后在下面学生纷纷用手势指点的帮助下才找到了目标，回答的学生因教师的这一“卡壳”而语止等待教师完成定位后才继续说下去“……在艺术广场的西北面”。

评析：在上述案例中，“教师一时找不到景点”恰恰不是教学的尴尬，而是一个很好的促成教学资源的转折点，此时，教师不妨让回答学生先把话“儿童乐园在艺术广场的西北面”说完，然后教师再根据这一句话来寻找“儿童乐园”景点的坐标，而不是依靠其他学生的帮助才完成任务，这样就可以再次让学生体会确定位置的教学价值。

由此可见，有时教师的“不注意”如果处理得当，反而可以引发学生的“注意”，也让学生更有“主意”。

三、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不如意”时

案例：一位教师在教学实验教材五年级下册《分数的基本性质》时，学生通过操作、观察、比较，抽象归纳出分数的基本性质“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变”后，准备沟通“商不变性质”与“分数基本性质”之间的联系。

然而，当教师让学生回忆“商不变性质”时，学生都因遗忘而哑口无言。此时，教师只好自己说出商不变性质，然后通过已经学过的“分数与除法的关系”来让学生发现它们各部分名称的对应关系和变化规律。

评析：在上述案例中，“学生的哑口”出乎教师的意料，学生的遗忘让教师黯然，无奈之中只能自说自话，从而保证教学得以继续进行。其实，教师不必为学生的“不配合”而神伤，完全可以采用“倒行逆施”的教学策略来维持教学路线的“生计”和激发教学情感的“生机”，把原先预设的“由分数与除法的关系来沟通分数基本性质与商不变，陆质之间的关系”的教学思路灵活地变通为“由分数基本性质和分数与除法的关系来椎想回忆出商不变性质”，这异曲同工的效果同样可以达到沟通分数基本性质与商不变性质之间关系的最终目的。

由此可见，有时教师的“不如意”并不可怕，可怕的是教师不会“见风转舵”，教学缺乏“软着陆”的弹性。

四、教学之“芳草”，可能盛开在教师“不同意”时

案例：除数是两位数的除法，教与学的重点和难点都在于试商。通常，教材主要介绍“首位试商法”(如除数是32和38时，都看作30，再通过口算试出商是几)，“四舍五人试商法”(如除数是32和38时，分别看作30和40，再通过口算试出商是几)。

在一堂课上，一位教师让学生讨论：哪种试商方法比较好?学生1认为，当把除数32看作30时，被除数也应该“舍”；当把除数38看作40时，被除数也应该“入”，这样试商更准确。．学生2则认为，除数、被除数各自分别“四舍五人”，试商更准确。遗憾的是，教师不清楚哪种方法准确率更高，于是回应：还是课本介绍的“首位试商法”好。

分数除法教案例7

高于学案

龙泉九中数学教研组   何清宇   陈礼勇 　执笔

内容摘要：我校数学教研组探索在DJP教学模式下的高效课堂教学，总结出了“基于学案、课前预习；明确目标、科学投放；展示交流、目标达成；反馈矫正、成果展示”四环节模式。课前安排专门时间，组织学生据案自学；课上投放学习目标，使学习目标为师生共知，成为学习过程的引领和评判；课堂中组织全体同学展示交流预习的体会与疑惑、典型例题的方法与思想，让全体同学完成对知识的确认与内化，达成教学目标；利用课堂检测、课后定时练习等手段即时进行信息反馈，再利用课余时间或晚自习辅导，进行“三清”补救，并适时地对学生学习成果进行展示。

 

关键词：预习、目标、交流、矫正、展示

 

我们学校积极探索“DJP”理念下的高效课堂教学模式。为此，学校于2009年3月组织全体数学教师到双槐中学学习，借鉴了双槐中学的数学教学课堂模式。但在实践中发现，我校相当一部分学生对课上分组展示交流不感兴趣，认为自己已经自学懂了还要讲，是多此一举、浪费时间，课上显得无所事事、无精打采。也有部分未认真预习的同学，把别人答案抄在自己学案上，课上滥竽充数、应付过关。学生对当堂知识掌握的深度和广度都不理想，停留于知识表象的堆砌与累积，未形成真正系统的知识结构，方法零碎缺乏系统。并且一些新授课，一不留意，就落入了习题讲评课的窠臼。这令老师们感到很苦恼。为此，我们对DJP教学模式下如何构建高效课堂进行了大胆的探索与尝试。经过近两年的实践研究，初步形成了“基于学案、课前预习——明确目标、科学投放——展示交流、目标达成——反馈矫正、成果展示”四环节的课堂教学模式。从目前的教学实践看，效果良好。特别是在3月19日何远忠老师的区级高效课堂示范课上，得到了参与教研活动的老师们的一致肯定与好评，许多老师对此模式很感兴趣。此结合何远忠老师的教学示范课（北师版数学八年级下第三章分式第四课时《分式的乘除》），对此种教学模式作一介绍，供参考。

1．基于学案、课前预习

此环节为学生利用自习课和课余时间，自主学习、探究，完成教材阅读和学案预习，即“据案自学”。在以前教学过程中，同学们普遍反映需要预习的科目多，可供自己支配（即预习）的时间少，完成了作业就不想预习，预习成为了一种负担而不是个人主动需要。老师们也经常感到学生的预习流于形式，普遍缺少深入思考，效果不佳。针对这一现象，为给学生课前预习提供条件，让学生有预习的时间，保证预习实效，我们学校将每天最后一节课安排为预习课，规定学生只能将此课用于数学、英语、物理、化学科的预习，每科预习时间分配约为10—15分钟。由于落实了预习时间与组织保证，故学生的预习效果较好。以本节课为例，全班74人，有73人对数学学案的预习完成了教材解读和挖掘教材，只有一位同学只完成到解读教材处，且抽样调查预习的正确率接近98﹪。

2．明确目标、科学投放

  我校老师们在制订一节课的学习目标时，本着以下三原则：（1）科学，符合课标要求，既不降低，也不拔高，让学生做得到；（2）知识目标有可测量性，在星级达标环节可检测；（3）语言表述简洁明了，通俗易懂，让每一个学生能充分理解。教学目标投放的时机和方式，则根据不同学科、不同教学任务、不同课型而灵活选择。可以在课前板书于黑板，一次性展示，让学生在候课时朗读；也可以在课堂教学过程中分层逐步展示，将问题一个一个的解决；还可以按“板书提纲—— 讨论交流——再板书提纲——讨论交流——总结（口头或板书投放目标）”的方式随板书提纲展示。 在课堂快结束时，教师再引导学生回顾目标，小结课堂学习目标完成情况，使学习目标真正成为教学过程的引领，成为学习进程与质量的评判。

案例   《分式的乘除》学习目标为：

①会类比分数乘除法法则，猜想、归纳分式的乘除法法则，能口述，并能用字母表示；

②会运用分式的乘除法法则进行分式的乘、除法运算，进一步发展对数、式的运算能力；

③能将自己的理解清晰、准确、简洁地与他人分享。

【投放方式】板书于黑板左侧，生齐读。

3．展示交流、目标达成

3．1科学论证、环节定位

我们把课堂上的展示交流定位为“教师对学生预习效果考查的过程，学生充分预习后表达对知识的理解与想法的过程，全体同学对新知识的认识确认与内化的过程，教学目标高度达成的过程，每一位同学增强信心、提升动力的过程。”

3．2高于学案、二次备课

课前，学生使用手中的学案，“据案自学”，教师依据学案进行二次备课，确定教学主线。教师进行二次备课时，着重做好四方面工作：一是抽样调查预习情况，做好学情分析；二是设计与学案当堂知识内容相平行或是对新知识内容高度概括的“知识疏理”，以考察学生对知识的发生、生长过程的理解与掌握；三是，对例题、习题做数据或表述方式的修改，或是结合当前中考新考向，对题型做一定的补充。在知识难度、能力考查、题型类型方面，高于学案；四是修改星级达标题，让检测更针对学生学习水平，同时让每一知识目标、每一题型都有相应的检测题进行检测。

3．3结合学科、分解环节

课堂上，学生搁置学案，在规定时间内完成老师提供的学习内容与材料（教师二次备课确定的内容），并就学习内容材料交流展示自己的见解与理解，达成教学目标。该环节是一堂课的主体和核心，分知识疏理、典例精讲、星级达标、反思小结四部分。

3．3．1  知识疏理

知识疏理部分重在让学生领悟知识点的发生、生长过程，让学生掌握新的知识点，达成知识点的确认与内化。

案例  《分式的乘除》

原学案学习内容

教师二次备课后出示的学习内容

一、学习准备：

1、计算

（1）         （2）   

（3）        （4）     

二、解读教材

2．思考：与同伴交流总结并完成真空：两个分式相乘，把   作为积的分子，把分母的   作为积的分母，用字母表示    。

两个分式相除，把   后再与      ，用字母表示       。

三．拓展教材

4．分子分母出现多项式的运算

根据已学可知，，

这里字母a.b.c.d可以代表整式，但a.c.d不

全为零。

 

（一）、基础知识 

（1）、计算：①     ， ②      。  分数的乘法法则是：  （口  述） ；

类比分数的乘法法则，我认为分式的乘法法则是：       用公式表示：      

（2）计算：①       ②       

分数的除法法则是： （口  述） ；

类比分数的除法法则，我认为分式的除法法则是：       用公式表示：           

（3）说说你对公式中的字母a、b、c、d是怎能样理解的。

（4）回忆：                     

化简：     

（5）结合预习，想一想，分式乘除法混合运算顺序？分式的求值怎样做？

【活动方式】教师课前将学习内容板书与黑板上，课上学生定时（3分钟）完成，并争取讲解展示（每小组一小题），教师追问点拨。

【设计意图】学习这部分内容，是让学生领悟知识的生成、生长过程，掌握新的知识点。对学案内容做出一定的修改，是为了避免让学生产生“就学案讲答案”的厌倦情绪，避免交流时的“照本宣科”。此部分内容紧密结合学案内容，编排上与学案内容又稍有不同，是对学案内容和方法的另一种呈现。展示交流既是让学生展示预习心得，又是检测学生通过预习是否真正掌握此处知识要点。通过讲解、交流、展示，让全体同学完成对知识意义的确认，达成知识的内化。

【观察结果】大多数学生能非常顺利地说出分式的乘除法法则，并能用公式表示。知道公式中的字母a、b、c、d可以表示单项式，也可以表示多项式，并知道b、c、d均不为零。并有同学对他人的讲解提出了不同见解或优化建议。

3．3．2  典例精讲

这一环节重在让学生交流展示解决典型例题的方法与思想，达成方法、思想的优化与迁移。

案例：《分式的乘除》

学案学习内容

教师二次备课后出示的学习内容

例1：计算

①   ②   ③ 

解略

即时练习1：①     ②

③

例2观察书上例题，用分式乘除法法则进行计算：

①  ②

③

即时练习2：

①  ②

（1）    化简①

 

② 

 

  ③ 

 

④

 

⑤

（2）化简求值，其中，

 

分数除法教案例8

一、创设情境：一天，孙悟空请猪八戒吃西瓜，猪八戒贪吃，孙悟空分给他1/2，他嫌少。“猴哥，多分点吧！”于是孙悟空分给他2/4，他还想多要；后来孙悟空分给他4/8，这下猪八戒满意地笑了，觉得自己赚了一个大便宜，你觉得猪八戒真的赚了大便宜了吗？

学生发表看法说明三个分数是相等的。

生1：1/2、2/4、4/8都表示这个西瓜的一半，所以没有赚到便宜。

生2：三个分数化成小数都等于0.5。

生3：通过折纸来观察这三个分数是相等的。

生4：我根据分数和除法的关系，把1/2看成1÷2，2/4看成2÷4，4/8看成4÷8，被除数和除数同时扩大2倍、4倍，商不变。

（这位学生能主动把分数和除法联系起来，用商不变的性质来说明这三个分数是相等的，面对她的回答，我不知道怎样灵活引领。）

二、接下来按照我的教案预设引导学生观察、探究：这三个分数什么变了？什么没变？

学生在具体研究的基础上说说自己发现的规律，逐步完善分数的基本性质。

（练习）

三、沟通联系：你能用商不变的性质来说明分数的基本性质吗？

学生感觉困难，无言以对……

【反思】

我认为这样的设计符合学生的认知规律和心理特点。由于学生刚学习了分数的意义和分数化小数，对1/2、2/4、4/8三个分数相等的想法，我预设学生可能会动手折一折、看一看，联系“一半”来思考，还可能把分数化成小数来比较。面对生4：依据分数与除法的关系，用商不变的性质来说明三个分数是相等的生成性回答，我惊慌失措，这是我始料未及的。如果及时捕捉这一生成性资源，那下面的教学怎样展开？怎样引导学生去探索知识？容不得我多想，在执行教案和生成学案的两者中，我选择了前者，课堂上学生探究了、发现了，可是用商不变的性质说明分数的基本性质时学生的无言以对……面对学生生成性的有效资源，我错失了教学的良机。课后我对自己的教学行为认真地进行了检讨，假如当时我能随情而教，随机而变，随势而导，以商不变的性质为生长点引发分数的基本性质，寓分数的基本性质的研究于商不变的性质中，学生对知识的理解会更深刻、更透彻、更全面。在课堂教学过程中，面对“生成”，教师采取不同的处理策略，将直接影响学生智慧的生长和主动发展。

【再回首】

假如再回到当时的课堂，面对生4的回答我会这样智慧地引领：

生4：我根据分数和除法的关系，把1/2看成1÷2，2/4看成2÷4，4/8看成4÷8，被除数和除数同时扩大2倍、4倍，商不变。

随即出示商不变的性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

师引领：依据商不变的性质，根据分数和除法的关系，你能猜想分数可能会有什么性质？

学生猜想，板书。

商不变的性质：被除数和除数 同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

分数的基本性质：分子和分母 同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。

引导验证：①“练一练”涂一涂、填一填，在直观的基础上验证；②例1，（正面验证）1/3、2/6、3/9是相等的？（反面验证）为什么这三个分数不和1/2相等？

形成结论。

……

【感悟】

1.学会从执行教案走向生成学案。

随着新课程改革的不断推进和课堂教学改革的不断深化，部分教师的教学理念有了改变，他们开始关注学生原有的知识经验，因而在进行备课活动时，十分注重对学生原有情况的分析，并结合对已具教育形态的教材文本的分析加工，开发、设计出符合新课程理念精彩的教学预案。但由于他们自身综合素质的影响，自身文化底蕴薄弱，教学机智不强，面对动态的课堂不能很好地把握，课堂上只能力不从心地执行和落实着教案。

分数除法教案例9

在教学过程中，教师的教与学生的学脱钩，从而导致效率极低甚至是零的教学，叫低效或无效教学。

什么是高效教学？高效教学是新课程背景下催生的一种教学理念，即指在正确的教育教学思想指导下，通过教师的有效行为，取得最佳的教学效果，促进学生有效的发展。在新课程理念下，高效的数学教学要以学生的进步和发展为宗旨，教师必须具有一切为学生发展的思想，运用科学的教学策略，使学生乐学、想学、学会、会学，促进学生的全面发展、主动发展和个性发展。可见，二者有着本质的区别。下面就以两个教学案例来判定什么是有效教学，什么是是低效教学。

二、两个教学案例给了我们答案

【案例一】

1.创设情景。

（1）师：小朋友们，你们喜欢体育运动吗？看来，每个小朋友都很喜欢体育。瞧，我们学校的小朋友正在开运动会呢！

（2）（课件出示主题图）操场上多热闹！你从图上都看到了什么？

（3）师：小朋友们观察得真仔细，那你能根据这幅图提出一些用除法计算的问题吗？

2.探究算法。

（1）师：刚才小朋友们提出了一些除法计算的问题，并列出了算式。这些算式你会计算哪一个，你就来说哪一个，并说说你是怎样想的？

（2）比较两组算式，师：象21÷5和25÷3就是我们这节课要研究的除法，请同学们自己思考一下，这样的除法可以怎样去计算，然后把你的算法在小组内交流。

生独立思考，研究算法，在小组内交流。全班交流各种算法，并对各种算法进行评价。

（3）师：刚才我们用画图、想乘法、想口诀……计算出了21÷5和25÷3，知道这两个算式计算时都是有多的，我们就把多的这个数叫做余数，用……来表示。现在谁能看图，说说这两个算式各部分所表示的意义。

生看图说各部分所表示的意义，进一步理解余数的意义。

（4）师：刚才我们认识了余数，还能用各种方法计算有余数的除法，其实除法也能用竖式来进行计算。猜一猜，除法的竖式会是怎么样的，与加减法的竖式有什么不同？

课件出示竖式的写法，让学生说说竖式各部分所表示的意思。

（5）试一试：用竖式计算13÷3、47÷6。

关于案例一的思考。纵观本节课教学，课堂气氛活跃，孩子们学习效果也较好。但课后会发现本节课“生活味”冲淡了“数学味”，对孩子的数学学习产生了一定的负作用：孩子过多地关注生活情节，孩子们对生活情景的兴趣大于对数学知识本身的兴趣；由于情景中的生活因素较多，使教学花费时间较多，导致练习的量不够，使课堂教学没有达到高效。

我在改进上次课的基础上，又重新设计、上了一次课。

【案例二】

1.把握起点。

（1）师：小朋友们，知道这节课我们要一起研究什么知识吗？

生：有余数的除法。

（2）师：你认为什么样的除法是有余数的除法？

生根据自己的经验回答，借机了解生的认知基础。

生1：就是除起来有多的除法。

生2：就是点6个点再写一个数的除法。

……

（3）师：看来小朋友们对有余数的除法已经有了一些了解，谁能来说一个有余数除法的算式。

生举例：7÷3 10÷4

2.感知意义。

（1）观察生举的算式，说说与以前学过的除法算式有什么不同？

生1：这个除法算式算起来还有多1个的。

生2：找不到乘法口诀的。

生3：不能直接算的。

（2）师：大家觉得在我们的生活中，什么时候会用7÷3这个算式去计算？

生1：妈妈买了7个苹果平均分给3个人。

生2：有7本本子平均分给3个同学。

生3：有7元钱，买3元一本的本子，可以买几本？……

（3）师：小朋友们能不能用你喜欢的方式表示出7÷3这个算式呢？

生出现的方法有：摆学具、画图、编数学问题……

（4）师：小朋友用很多方式表示了这个算式的意思，谁能说说7÷3等于多少？

师板书，介绍有余数除法的意义和写法。

（5）师：谁能结合你举的例子来说说这个算式各部分的意思。

3.探究算法。

（1）师：象这样有余数的除法算式还有很多，谁还能再来说几个？

（2）刚才说的这些算式你会计算吗？我们来选择一个，试着算一算，在小组里交流一下，看谁的方法又好又多。

生独立思考，研究算法，在小组内交流。

全班交流各种算法，并对各种算法进行评价。

（3）师：刚才我们用画图、想乘法、想口诀……计算出了这道题。其实我们还可以用竖式来进行计算呢？谁会写除法的竖式。

指名说，师板书，并加以说明。

（4）试一试：从剩下的题中选择一个进行计算，说说方法。

（5）小结：计算有余数的除法可以用什么方法？应注意什么？你觉得哪一种方法最好？为什么？

关于案例二的思考。我们欣喜地看到，整节课孩子们自始至终处于思维的活跃状态，他们被数学问题所吸引，他们为解决问题而思考，课堂教学活动成了学生自主探究的活动。整节课，孩子们时而安静地思考、时而踊跃地发言，时而安静地书写、时而大胆地表达……。课堂上动静交替，孩子们积极参与，教师的组织者、引导者、合作者的角色得到充分的体现，课堂教学效果显著。

三、对这两个案例的评述

1.两次教学的不同点。这两个案例都注重学生数学学习兴趣的培养，都注重学生主体作用的发挥，都注重让学生充分经历数学知识的建构过程。案例一强调数学的“生活味”，体现“生活―数学―生活”的教学过程。而案例二更强调数学的“数学味”，使孩子们在认知的冲突、问题的解决中体验到成功，使孩子们在学习数学的过程中理解数学，培养观察、分析、比较、联想等思维能力。相比较而言，第二种教法更能体现数学课的特色，更能以数学自身的魅力来吸引学生，同时使课堂教学更高效。

2.案例二创设了有效的数学学习情境，使情境具有“数学味”。这里所说的“情境”不仅仅指“生活情境”，孩子的认知起点、思考性的问题等都是一个有效的教学情境。案例二就是以学生自身对有余数除法的认知来作为一个教学的情境，这样能在一上课就使孩子们明确本课的学习内容，使孩子们迅速调动认知体系中与本节课知识有关的认知，为学习新课做好准备；同时，又能使教师了解到学生的认知起点，对教学做出相应的调整；另外，还可以使一部分已经有所认识的孩子在上课开始就体验到成功，促使他们今后能更主动地通过各种渠道去学习数学。这样的教学情境比起案例一中的生活情境能起到更全面的作用，能使孩子们在上课开始就体会到数学课的“数学味”。

分数除法教案例10

Abstract: with the development of the new curriculum reform, the teachers' teaching concepts, teaching methods, teaching behavior are constantly changing. Classroom questioning as teachers' participation in the student activity is a way of being more and more teachers use. Of the cases are adopted teachers "questions" means, its purpose is to deepen the students' mathematical knowledge to understand and grasp. But from the teaching effect and the performance of the students' class to see, and not to the teacher the expected effect. So, in mathematics classroom teaching, how to effectively, valuable cross-examine? Is our reflects an important question.

Keywords: cross-examine reflection

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：

一、数学课堂中的追问案例

【案例】一

《两位数加两位数的口算》一课，教师通过主题图引入例题“46＋23”后。

师：可以怎样口算呢？

生1：先算40＋20＝60，再算6＋3＝9，最后算60＋9＝69.

师追问：还有不同的算法吗？

生2：先算6+3＝9，再算40+20＝60，最后算60+9＝69。

（生2刚说完，就有少数学生议论：“这不是跟刚才一样吗？”）

师追问：还有吗？

生3：先算46+3＝49，再算49+20＝69

师：你真聪明！还有吗？

生4：先算23+6＝29，再算29+40＝69.

师追问：还有吗？

生5：先算46+20＝66，再算66+3＝69.

师：真不错，还有吗？

生6：先算23+40＝63，再算63+6＝69。

师：想想看，还有吗？（学生表情变得茫然，迟迟没有学生举手）

………

【案例】二

《除数是小数的除法》一课，巩固练习时教师让一位成绩一般的学生板演0.756÷1.8。该学生经过思考，完成了计算。（算式1）

老师见学生做得不对，师问：“请你检查一下，计算正确吗？”

学生听老师这样说，知道做得不对。立即把刚才的算式擦掉，重新计算，过了一会儿，又完成了计算。（算式2）

老师看到学生还是不对，又提醒他，问：“再想想，刚才老师是怎么讲的？

学生一听，知道又做错了。赶紧擦掉算式，手忙脚乱地重新计算起来。过了三四分钟，又做好了。（算式3）

老师一看，这一次学生的错误更加离谱，不禁有些生气，语气加重略带责备地说：“刚才老师讲过，除数是小数的除法，要把除数和被除数同时乘10、100、1000，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法进行计算。你再看看你的计算，到底错在哪儿？”

学生经过老师的启发，又赶紧重新计算，没费多少时间就做好了。（算式4）

老师看到学生终于做对了，露出了笑容，随口问了一句：“你再说说，你为什么这样计算？你是怎样想的？”听到老师要他说说为什么这样做，他以为自己又做错了。不等老师的话说完，赶紧把刚才的算式又擦掉。

二、 追问案例中的反思

针对学生答问反馈的信息进行有效追问，引导学生探索和表达自己的想法，是增强课堂提问有效性的一个重要环节。那么，在数学课堂教学中，如何进行有效、有价值的追问呢？笔者认为可以从四个方面考虑：

1、追问目的。教师备课时就要明确追问的目的：为探求新知？为沟通新旧知识的联系？为突出教学重点？为解决教学难点？为引起学生的兴趣和注意？为促使学生思考？为总结归纳？……。要尽可能剔除可有可无、目标模糊不清的追问，保留针对性强，有实际意义的追问。使追问恰到好处，为教学穿针引线，达到“一石激起千层浪”的效果。

2、追问内容。设计追问内容时首先要根据教学目标和教学重难点确定。要在知识的关键点、理解的疑难点、思维的转折点、规律的探求点进行追问。如案例一中，教师本来想通过追问，让学生体会算法的多样化，但教师一味地“还有吗”的追问，使学生忽略了最优化的算法，学生绞尽脑汁地想出一些思维层次较低、重复的方法来迎合老师的算法多样化，却没有用心理解先算几十加几十，再算几加几，然后在相加的算法。其次，追问要考虑学生的实际水平，追问内容要难易适中，使问题贴近学生的“最近发展区”，从易到难，层层推进，激活学生的思维，让不同的学生都体会到成功的喜悦。如案例二中，学生第一次计算7.56÷1.8时，之所以错误就在于学生对除数是小数的除法的计算方法的理解有偏差，误将7.56÷1.8变化为756÷18。这时教师可以这样追问：刚才教师教学例题时说过，除数是小数的除法，要把除数和被除数同时乘10、100、1000，把除数是小数的除法转化成除数是小数的除法进行计算。你再看看你的计算错在哪儿？学生做好后教师还可以继续追问：现在你回过头想一想，计算除数是小数的除法时，最关键的步骤是什么？也许这样追问，既帮助学生分析了错误原因，又对计算方法进行了再一次的回顾与思考，可以免除这名学生许多的挫折和失败，既对学生的学习有利，又能节约教学时间，提高教学有效度。

3、追问方式。追问一般有跟踪追问、因果追问、逆向追问、发散追问等等。不同的追问内容应选择不同的追问方式。如教师提出一个小问题学生回答后，紧接着再追问几个小问题，一般属于跟踪追问。案例一中生1和生2的方法被一些学生理解为同一种类型，显然这部分学生并没有理解两位同学的算法，生1是先算十位再算个位，生2是先算个位再算十位。此时教师就可以引导追问：你能看懂他们的算法吗？真的是一样吗？学生回答后再追问：你发现有什么不一样呢？通过这样的追问，可以将学生提出的具体的口算方法提升到理论的高度，使学生真正理解算法多样化。课堂中许多教师喜欢用 “为什么”、“你是怎样想的”来追问，这类追问属于因果追问，它能展示学生的思维过程和方法，是新课程所倡导的教学理念，因而是课堂教学中最常见的一类追问方式。逆向追问，即反问，能够引导学生针对某一具体问题进行多角度多层面的分析和研究，培养学生的反思能力。案例一中的“还有吗”属于发散追问，这类如果运用得好，能激发学生的求异、创新思维，可以在一题多解、算法多样、学生举例等环节中适当运用，但不能只用“还有吗”这类单调语句，否则容易造成学生“听觉疲劳”。当然，除了教师追问学生外，根据教学内容和学生实际，还可以采用学生相互追问、学生追问教师的方式，这些都有助于提高教学的有效性。