函数最值的应用例1

俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。

一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱

例1 求函数f（x）=+x（x

对于均值问题， 最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x

例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。

这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系， 通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。其实之所以均值问题会成为单招高考中的杀手锏，是因为学生不能够根据题目条件很迅速地确定答题关键，找出核心的关系式。因此，我们针对学生出现的这类问题，需要适时地调整我们的教学方法，尽量做到一题多解，并且指导学生掌握正确的学习方法，这对后期的学习会有更大地帮助。

二、明确学习目标，结合各地单招试题分析

很多学生对单招高考比较迷茫，对数学知识点更是没有很好地把握。因此，我们教师要分析各地多年来的高考试卷，结合单招改革的形式，搜集有关的试题，结合例题讲解，让学生理解并学会应用均值定理解决函数最值问题。教学过程中，我们要考虑学生的接受能力，步步为营、稳扎稳打，在学生平时的学习过程中穿插一些高考题，让他们对高考有个简单的了解，并且在讲解的过程中要注意学生的解题思路，很多学生乍一看答案都是对的，但是很多都是误打误撞的，并没有准确地理解定理运用的前提，这是解题的大忌，要做到精细和准确两手抓，确保学生明确均值定理后再开始运用。

笛С杉ê玫难生并不是老师教出来的，学习最重要的过程是反思和将知识内化，彻底理解并形成自己的思维模式才是最难能可贵的，因此我们要指导学生掌握科学的学习方法，尤其是在均值定理这一个知识点中。首先，学生得明确数学的学科性质，死记硬背是行不通的，对于均值定理虽然只有几个简单的概念，但是真正的消化并不容易，我们在上课的过程中就要帮助学生准确地理解均值定理的由来，三个条件缺一不可。其次，在我执教的过程中，我都会要求学生准备错题集，均值定理在函数最值问题中的应用范围很广，很多题目初看觉得和定理无关，其实很多解题关键都是很隐秘的，学生必然会掉到陷阱里。那么如何将这些知识做一个很好的归类呢？这就要发挥错题集的作用了，将自己经常错的和题目条件隐晦的题目整理起来，帮助自己后期系统复习，也弥补了这类知识的学习漏洞，考前将错题重新做一下相较于做新题更有价值，学习本就是不断温故知新的过程。

综合而言，均值定理的教学过程中要充分帮助学生正确地理解使用原则，并且运用不同的典型例题进行讲解，帮助学生建立基本的知识架构，并且要做到一题多解，避免学生思维单一性。最关键的是要指导学生科学的学习方法，让学生成为学习的主体，完成对知识的内化。

函数最值的应用例2

均值不等式是高中数学不等式中的重要内容，均值不等式在求函数最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。

一、运用均值不等式时应注意事项

在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。

二、把所给函数巧妙转化成均值不等式后求最值

这是一种比较难掌握的方法，因此运用此法需要具有扎实的基础知识，敏锐的观察力。下面举两个例子对此法加以介绍。

欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧，总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。

三、结语

以上通过几个实例简单介绍了利用均值不等式求最值问题需要注意的一些事项，但对于具体题目，有时可能有多种解题方法，究竟如何求出函数合理的最值，还需要我们在教和学的实践中不断探索和总结。

参考文献：

[1]王影.求函数值域的几种常用方法.解题技巧与方法，2010.

[2]蔓，孙锰.妙用均值不等式求多元函数的最值.高中数学教与学，2010，（4）.

[3]魏福军.用均值不等式求最值须注意的几点.中学生数学，2003，（1）.

[4]徐丽聘.利用均值不等式求最值.求实篇――学习方法总结，2009，（9）.

[5]刘新良，李庆社.十二种求函数值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

函数最值的应用例3

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

当x=25时，Smax=1250

正确解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S随x的增大而减小

当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，当x=2时，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

函数最值的应用例4

形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立问题中最基本的类型，它的等价转化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，则a≥

[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，则a≤[f（x）]max（x∈D）”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型中.

例题1（2012年陕西理科高考压轴题）

设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.

（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间 ，1内存在唯一的零点；

（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设xn是fn（x）在 ，1内的零点，判断数列x2，x3…xn…的增减性。

解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略

（Ⅱ）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，

对任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等价于f2（x1）-f2（x2）max≤4.

即f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4.

当- >1，即b>2时，M=f（1）-f（-1）=2b>4，与题设

矛盾.

当-1≤- ≤0，即0

当0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.

综上所述，-2≤b≤2.

二、形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式

形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”问题可转化为“a≤f（x）max”来

求解；

而形如“？埚x∈D，a≥f（x）恒成立”问题可转化为“a≥f（x）min”来求解。

例题2（2013年重点中学第一次联考）

设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.

若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.

解：由题意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于：

[g（x1）-（x2）]max≥M，g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.

由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1

[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故满足条件的最大整数M=4.

三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式

该类问题可转化为“f（x1）max-g（x2）min”来求解。

例题3（2013年重点中学联考模拟试题）

设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.

如果对任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求实数a的取值范围。

解：由题意，该问题可以转化为：在区间[ ，2]上，f（x）min≥

g（x）max，

由例题3可知，g（x）的最大值为g（2）=1，

f（x）min≥1，又f（1）=a，a≥1

下面证明当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.

当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，记h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，

可知函数h（x）在[ ，2）上递减，在区间[1，2]上递增，h（x）min=

h（1）=1，即h（x）≥1.

所以当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即对任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.

四、形如“？坌x1∈D，？埚x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式

该类问题可转化为“f（x1）max≤g（x2）min”来求解。

例题4（2013年南昌市高三文科第一次模拟题）

已知函数f（x）=ax2-blnx在点[1，f（1）]处的切线方程为y=3x-1.

（1）若f（x）在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，求实数k的取值范围；

（2）若对任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）试求实数c的取值范围。

解：（1）略

（2）设g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根据题意可知g（t）max≤

f（x）min .

由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），

当c≤1时，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上单调递增，g（t）min=g（1）= +ln2，满足g（t）min≤f（x）min；

当1

g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，

由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此时1+ ≤c

当c≥3时，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上单调递减，g（t）min=

g（3）=- + +ln2.

g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.

综上，c的取值范围是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）

五、反馈训练题

1.对于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，则实数a的取值范围是__________。

2.若对任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，则实数x的取值范围是__________。

3.（2010年山东理科14题）若对任意x>0， ≤a恒成立，则a的取值范围是__________。

4.已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），对？坌x1∈[-1，2]，？埚x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数a的取值范围是（ ）

A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]

函数最值的应用例5

在高中的数学函数教学中，对于函数单调性的判断十分重要，尤其是求单调区间，利用函数的单调性来研究相应的不等式，利用函数的单调性来求最值十分重要。以下简单地举几个例子来证明利用函数单调性求最值的重要性。

一、利用函数单调性求抽象函数的最值

例题：已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足两个条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；且当x>0时，有f（x）

对于此函数的解法是：

在区间[-3，3]上任取x1与x2，不妨设x1

根据已知条件得出：f（x2-x1）

可以得到函数f（x）在区间[-3，3]之间是减函数。

因此，得到最大值的公式：f（x）max=f（-3）=6。

最小值的公式是：F（x）min=-6。

根据以上结果我们可以知道，在区间[-3，3]之间，当x=-3时其取最大值为6，当x=3时其取最小值为-6。根据该分析结果我们知道，在条件一定的情况下，类比函数f（x）=ax+b，并且a与b都不等于0，需要算出在区间[-3，3]之间的最大与最小值，要先确定函数在区间上的单调性，然后再进行计算，最终就会得出相应的结果。

但是，需要注意的是，相对于单调性来说其是针对某一个定义域内的一个区间来说的，如果一旦离开了该区间或者离开了相关定义域就不能构成相应的单调性。而对某些函数来说，其整个定义域内的函数只能在定义域内的某个区间形成单调，一些函数根本就没有单调区间，比如常函数。而最后一点需要注意的是，一个函数在相关定义域内的相应区间具有两点，均为增函数或者是减函数，通常情况下是不能认为其在相应的点区间内是增函数还是减函数。

二、利用单调性求对勾函数的最值

对勾函数是高考数学中的重难点之一，这种函数具有很深的内涵，并且这种函数的图像是关于原点对称的，可以将二次函数与反比例函数相互结合得出。

利用对勾函数的性质求解函数的最值与一些均值不等式，其中求值的结果必须进行相应的补充。以上所举的例子无法利用均值定理进行求解，而此时则可以利用函数的单调性进行最值的求解。

根据对勾函数极值求法的规律，可以得出：

f（x）=ax+ （a，b≠0）

当a>0，b>0时，

当x>0时，函数在x= 处取得最小值，最小值y=2 ；当x

当a

当x

当x>0时，函数在x= 处则会取得最大值，最大值y也为相应的负值。

相应的结论：当ab

在高中数学教学中，利用函数的单调性求最值有很多实例，本文只是简单地列举一二进行说明，以此来体现函数在高中数学教学中的重要性。

函数最值的应用例6

导数是数学分析课程中基本概念之一，它反映了函数的变化率，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。近年来由于课改的的需要，将这一高等数学的内容扩充到中学数学选修部分，而且在近年来的高考中导数内容的比重逐年加大。由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题，求曲线的切线问题提供了一般性方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。导数的应用主要体现在求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值、最值以及证明不等式等问题，下面举例谈谈运用导数的知识解决这些问题。

一、利用导数求曲线的切线方程

函数f(x)在点x0处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率是f′（x0）。于是相应的切线方程是y一y0= f′（x0）（x一x0）。解决这类问题的关键是求切点和斜率。

（一） 已知过切点，求切线方程

分析：此类问题较简单，求出斜率f′（x0）带入点斜式方程就可以了。

例如：已知曲线f（x）=x3-3x2+1，过点（1,1）作切线，求切线方程。

解:由f′(x)=3x2-6x得k= f′(1)=-3，故所求切线方程为y-1=-3（x-1）即y=-3x+2

（二）已知过曲线外一点，求切线方程

分析：此类问题先判断点是否在曲线上，点在曲线上可用（一）法求解，若点不在曲线上应先设切点，再求切点。

例如：求过点A（1,0）且与曲线y=1x 相切的直线方程。

解：因为点A（1,0）不在曲线上，故设切点为P（x0，y0）则斜率k=y′|x=x0=-1x02

所以切线方程为y-y0=- 1x02 （x-x0）即y- 1x0=-1x02 （x-x0）

又已知切线过点（1,0）所以有0- 1x0=- =-1x02 （1-x0）

解得x0=12 所以y0=2，k=-4切线方程为y-2=-4（x-12)即4x+y-4=0

二、利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）

例如：已知aR，求函数f（x）=x2eax的单调区间

解：f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+a x2）eax

（1）当a=0时，若x0

所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数 （2）当a>0时，由2x+a x2>0解得x0；由2x+a x2

所以当a>0时，函数f（x）在区间（- ∞，-2a ）内是增函数，在区间（-2a ，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数；

（3）当a0,解得0

所以当a

三、利用导数求函数的极值

求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域，求导数f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两侧的值的符号，如果f′（x）的符号左正右负，则函数f（x）在这个根处取得极大值；如果f′（x）的符号左负右正，则函数f（x）在这个根处取得极小值；需要注意的是，如果f′（x）=0的根的左右两侧符号不变，则在这个根处的函数值不是函数的极值。

例如：求函数f（x）=x3-27x的极值

解：f′（x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）令f′（x）=0得x=-3或x=3

当x变化时，y′、y的变化情况如下表：

由此可以看出：当x=-3时，函数f（x）有极大值f（-3）=54，当x=3时，函数f（x）有极小值f（3）=-54

四、利用导数求函数的最值

求可导函数最大（小）值的步骤是：（1）求函数的导数f′（x），解方程果f′（x）=0，

求出极值点；（2）比较函数在区间端点处的函数值和函数在极值点处的函数值的大小，确定最大者是最大值，最小者是最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较。

例如：求函数f（x）=-x4+2x2+3，X ［-3，2］的最大值和最小值

解：由f′（x）=-4x3+4x令f′（x）=0即-4x3+4x=0

解得x=-1，或x=0或x=1

又f（-3）=-60，f（-1）=4，f（0）=3，f（1）=4，f（2）=-5

所以，当x=-3时，函数f（x）有最小值-60

当x= 1时，函数f（x）有最大值4

五、利用导数证明不等式

利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型．其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性和常用的证明不等式的方法证明不等关系”．

例如：已知x>2,求证x-1>lnX

证明：构造函数f（x）=x-1-lnx（x>2）则f′（x）=1-1x =x-1x

x>2 f′（x）>0 函数f（x）在（2，+∞）内是增函数

函数最值的应用例7

中图分类号：G633.6

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。下面我把自己在多年的职高数学教学中对二次函数在高一数学中具体应用做一个小结。

一、可以帮助学生进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射 :AB，使得集合B中的元素 与集合A的元素X对应，记为 这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知 ，求

这里不能把 理解为 时的函数值，只能理解为自变量为 的函数值。

类型Ⅱ：设 ,求

这个问题理解为，已知对应法则 下，定义域中的元素 的象是 ，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成 的多项式。

，再用 代 得

(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令 ，则 从而

二、进一步论证了二次函数的单调性与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 在区间 及 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型I：函数 在区间 上单调递减，求：实数 的取值范围

解：因为函数 的图象的对称轴为直线 ，且在区间 上单调递减，所以

，即

类型Ⅱ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

三、巧妙求二次函数的最值

解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论，一般分为对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况。

1、 正向型

正向型指已知二次函数的解析式和定义域，求其最值。对称轴与定义域的相对位置关系的讨论是解决此类问题的关键，此类问题包括三种情形：轴定，区间定；轴定，区间变；轴变，区间定。

轴定，区间定

类型I：已知函数 ，当 时，求最大值和最小值。

解：

当 时， ，则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 。

轴定，区间变

类型Ⅱ：设函数 ， ，求函数 的最小值。

解： ， ， ，对称轴为 。

当 ，即 时，函数 在区间 为减函数，所以最小值为

当 ，即 时，在对称轴为 处取得最小值，最小值为

当 时，函数 在区间 为增函数，所以最小值为

综上可知， ，

，

，

轴变，区间定

类型Ⅲ：求函数 在 上的最大值

解： 的对称轴为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

综上可知， ，

，

，

2、 逆向型

逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数解析式或区间中的参数值。

已知函数 在区间 上有最大值 ，求实数 的值。

解：

当 时，函数 在区间 上的值为常数 ，不符合题意，舍去

当 时，函数 在区间 上是增函数，最大值为 ，解得

当 时，函数 在区间 上是减函数，最大值为 ，解得

函数最值的应用例8

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

故函数关系式为：.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：

即：函数关系式为：（）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数在[-2，5]上的最值.

解：

当x=1时，

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：

当时，在上最值情况是：

，

.即最大值是中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

函数在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数的值域.

错解：令

故所求的函数值域是.

剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数的单调区间.

解：先求定义域：

函数定义域为.

令，知在上时，u为减函数，

在上时， u为增函数。

又.

函数在上是减函数，在上是增函数。

即函数的单调递增区间，单调递减区间是。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数的奇偶性.

解：

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

函数最值的应用例9

这一类题主要考查利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用.通过求导将函数与方程、不等式结合起来，考查运算求解能力.

例1 已知函数φ（x）=ax+1，a为正常数.

（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调区间；

（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1<-1，求a的取值范围.

解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间.第（2）问求解的关键是将已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1<-1转化为函数的单调性，进而构造新函数，利用导数求解.

（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1<-1，

点评：该题信息给出的是不等式，不少同学在转化时无从下手，挖掘不等式的本质可知，其实不等式对应的是函数的单调性问题.拨开云雾看问题，分析出h（x）具备的单调性后，就可以无招胜有招.

在代数中，“元”是很重要的概念，不少问题都带有两个“元”，即x1，x2，在解方程组时最根本的方法是消元.但是本题中的两个元x1，x2如何转化？从上面的分析可以得知，挖掘出隐含的函数单调性，即达到了“消”的目的，从该题中挖掘出蕴含的思想方法，诠释其内容，回到基本概念中去，分析题目的信息，联系基础知识与基本思想方法，联系已知与未知的关系，获得解题思路.在具体运算求解过程中，需要解决含参不等式恒成立问题，这类题考查同学们分析问题、解决问题的能力，一般情况下可以分离参数，转化为新函数的值域（最值），或直接求导，分类讨论求值域.

通过导数把函数的单调性问题化为不等式问题颇受各地命题专家的青睐.虽然试题千变万化，但是解决问题的思想方法基本相同.

在建立目标函数后，另辟蹊径，极富成效的进行变形，问题就迎刃而解.对试题的异样的分析与解答，拓宽我们的视野，提高思维的灵活性，加深对数学本质的认识，提升数学综合素养.所以，在平时的学习中要善于注意一题多解，一解多用.

应用二 利用导数研究函数的极值及参数的取值范围 用导数研究参数的取值范围，其实质就是转化为研究函数的单调性、极值与最值的问题，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.问题的难点在于如何联系参数和所求得的函数的极（最）值，破解的方法是根据题目的要求，画出函数的大致图象，探求函数极（最）值，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

例2 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.

点评：（1）根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.

（2）在形式上的二次函数问题中，极易忽略的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在函数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意.

应用三 利用导数研究方程根的分布

研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题，主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.

利用导数证明不等式，就是把不等式问题转化为函数问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.

函数最值的应用例10

某些函数的结构并不复杂，可以通过适当变形，由初等函数的最值及不等式的性质直接观察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：变形为y＝1=X2＋2/3，故当x=0，时，yma

二、反函数法

由原函数反解出x=￡(y)，根据x的范围求出y的范围，进而得到y的最值的方法称为反函数法，此方法适用于能顺利求得反函数的函数，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函数， 类似地，此方法也可推广到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范围的函数，

三、配方法

配方法是求解“可化为二次函数形式”这一类函数的最值问题的基本方法，有着广泛的应用，

四、换元法

引入新变量对原函数式中的代数式或三角函数进行代换，将所给函数转化成容易求最值的简单函数，进而求得最值的方法称为换元法，形如y=ax+6的函数求最值常用此法，用换元法解题时要特别注意变元前后自变量的取值范围要保持一致。 　 　五、不等式法

通过对原函数式进行变形，利用等基本不等式求函数的最值的方法称为不等式法，用不等式法求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的应用条件，即不等式中的两项必须都为正，两项的和一定时积有最大值、积一定时和有最小值，必须能取得到最值，

点评：利用不等式法求最值时，要注意函数取到最值时，相应的x的值是否存在，如果不存在，则此最值不能取到，此时要考虑用其他方法来解题，点评：用不等式法和判别式法都只能求出例8中函数的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考虑换用其他方法，

七、单调性法

如果能确定函数在某个区间上的单调性，就可以求出该函数的最值，求解函数在给定区间上的最值问题常可试用这种方法，函数的单调性可以直接用单调性的定义来判别，也可结合函数的图像来研究，或者用导数法来判定。