线性规划例1

1.静态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数的最值

例1（2015年湖南卷）若变量x，y满足约束条件则z=3x-y 的最小值为（ ）

解析：作出可行域（图略），作直线l：3x-y=0，平移直线l利用数形结合法求最值。答案：选A

命题点睛 要求考生理解目标函数的意义：把z=3x-y看作一条“动直线”l，观察其位置，从而确定目标函数取得最值时所经过的点。动中有静，动直线l牵引出最优解（定点），从而得到z的最小值。

2.动态可行域下形如z=ax+by+c 截距型线性目标函数最值的逆向问题

例2 （2015年福建卷）变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m 等于（ ）

A、-2 B、-1

C、1 D、2

图1

解析 将目标函数看作动直线l：2x-z=0，当z取最大值时，动直线l纵截距最小。故当m≤0时，不满足题意;当m>0时，由可行域如图1所示，其中 是最优解，代入目标函数得：，得m=1。故选C。

命题点睛 以动制静，动直线l的位置与参数m的符号相互制约，由两条动直线l：y=2x-z与l1：y=mx牵引出定点B最优解。解含参数的线性规划问题，要善于从已知的可行域（动态区域）中找出不变的（静态）区域。困难在于对参数m的符号讨论，以确定可行域，往往还要将动直线l的斜率和可行域边界的斜率比较，否则找出最优解很容易出错。思维从静态到动态模式跳跃式开放性发展，更能考查学生的创新应用能力。

二、一线牵引出非线性目标函数的最值

1.斜率型

例3 （2015年全国卷） 若x，y 满足约束条件 则的最大值为 。

解析 作出可行域（图略），由斜率的意义知是可行域内的动点P（x，y）与原点连线的斜率。答案：3

命题点睛 形如型的目标函数，其表示可行域内的动点P（x，y）与定点M（a，b）连线的斜率。将直线PM绕点M旋转，且确保动点P在可行域内，这样由动点与定点的连线牵引出斜率的取值范围。

2.距离型：点点距、点线距

例4 （2016年山东卷） 若变量x，y满足 则x2+y2的最大值是（ ）

A、4 B、9

C、10 D、12

解析x2+y2表示可行域内的动点（x，y）到原点O（0，0）距离的平方，可得x2+y2的最大值为10。故选C。

命题点睛 点点距离型实质就是动点与定点连线的长度。

变式探究1（点线距）：（2016年浙江卷文・4改编）

若平面区域

（1） 的最大值是 。

（2）的最大值是 。

答案：（1）（2）

3.向量数量积型（夹角型、投影型）

例5 （2016年浙江卷） 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|（ ）。

A、 B、4

C、 D、6

答案：C

变式拓展2：（夹角型、投影型） 已知点A（3，1），O为坐标原点，点P（x，y）满足则

（1） 的最小值是 。

（2） 的最大值是 。

（3） 的取值范围是 。

解析 如图2所示，（1）

当且仅当与 反向时，取等号;

（2）的最大值即在方向上的投影，为

（3）的最小值即在方向上的投影，为

其最大值即与共线时在方向上的投影，为，所以其取值范围是

命题点睛 （1）中抓住定向量与动向量的夹角;（2）中抓住动线段OP在一条定直线OA上的投影;（3）与（2）正好反之。

图2

4.直线与圆锥曲线相关位置型

图3

例6 （2016年山东卷文・4改编） 设x，y满足约束条件若Z=x2+4y2，则Z的取值范围是 。

解析Z=x2+4y2表示中心在坐标

原点，焦点在x 轴上的椭圆，当此椭圆与直线x+y=1相切时，Z=x2+4y2最小，

由 得5y2-2y+1=0 ，由Δ=0

得 为最小值;当此椭圆过点 时，为最大值，故所求范围是

图4

命题点睛 圆锥曲线（动曲线）与一条定直线（或定点）的位置关系牵引出z的取值范围，此题型新颖别致，赏心悦目，耐人寻味。

变式拓展3 设变量x，y满足约束条件

其中k∈R，k>0.

线性规划例2

例1 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间［-1，2］上是减函数，求b+c的最大值.

解：f′(x)=3x2+2bx+c,f′(x)≤0在区间［-1，2］上恒成立，则f′(-1)≤0，

f′(2)≤0，即\=2b-c-3≥0，

4b+c+12≤0.视其为约束条件，则目标函数为p=b+c,如图1，在平面直角坐标系中作出可行域.直线l1:2b-c-3=0与直线l2:4b+c+12=0的交点为(-32，-6).据线性规划知识得pmax=-152.

例2 已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)，若实数a、b使得f(x)=0有实根，则a2+b2的最小值为().

A.45 B.34 C.1 D.2

解：令t=x+1x，则|t|≥2，f(x)=g(t)=t2+at+b-2.依题意有g(-2)≤0或g(2)≤0，即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0,

如图2，在平面直角坐标系中作出可行域，则a2+b2表示图2中阴影区域内的点到原点的距离.因为原点到直线l1:-2a+b+2=0与直线l2:2a+b+2=0的距离均为25.所以a2+b2的最小值为45，故选A.

例3 求函数y=3xx+1+x+4x+1的值域.

解：设a=3xx+1,b=x+4x+1，则动点P(a,b)的轨迹方程为a2+b2=4(a≥0,b≥0且a≠3).而y=a+b表示斜率为-1，纵截距为y的直线.如图3，A(2，0)(或B(0，2))和切点C(2，2)总在直线l的两侧或其上，所以(2+2-y)(2-y)≤0，解得2≤y≤22，故值域为［2,22］.

二、方程问题转化为线性规划问题

例4 已知a>0，方程ax2+(b-1)x+1=0的两根为x1,x2，满足|x1|

解：设f(x)=ax2+(b-1)x+1(a>0)，因为方程f(x)=0的两根之积为1a>0，且x1-x2=2.

(1)若0

(2)若-2

由二次方程实根分布知识，得f(-4)>0，

f(-2)

f(0)>0，即16a-4b+5>0，

4a-2b+3

如图4，在平面直角坐标系中作出可行域，据线性规划知识得实数b的范围为(74，+∞).

三、不等式问题转化为线性规划问题

例5 点P(x,y)是y=1-x2上任意一点，若不等式x+y+m≥0恒成立，求m的取值范围.

解：由线性规划问题可知，满足x+y+m≥0的点P(x,y)都在直线l:x+y+m=0上或在其上方.如图5，函数y=1-x2的图像是以原点(0，0)为圆心，1为半径的圆的上半部分(含端点).要使不等式x+y+m≥0恒成立，结合图5知，只需(-1，0)在直线l上(或其上方)，即-1+m≥0，故m≥1.

例6 解不等式3-x-x+1>12.

解：令3-x=u,x+1=v,则u-v>12，

u2+v2=4，

u、v≥0.联立u2+v2=4(u、v≥0)与u-v=12，解得u=1+314,v=-1+314.根据

约束条件画出可行域，如图6，则可行域为圆在第一象限内的弧AB(含点A(2，0)，不含点B(1+314,-1+314)).由1+314

四、三角问题转化为线性规划问题

例7 已知ABC的三边长分别为a,b,c，且满足b+c≤2a,a+c≤2b,求ba的取值范围.

解：据题设及三角形三边关系，得a

b

a>0,b>0,c>0，设ba=x,ca=y，则1

x

x>0,y>0直线l1:x+y=1与直线l3:y+1=2x的交点为(23，13)，直线l2:x+y=2与直线l4:x=y+1的交点为(32，12).如图7，在平面直角坐标系中作出可行域，据线性规划知识得23

五、解几问题转化为线性规划问题

例8 已知直线l:tx+ty+1=0,A(1，3)，B(5，2)，若直线l与线段AB没有公共点，求t的取值范围.

解：直线l与线段AB没有公共点，即A，B位于直线l的同侧，利用线性规划“同侧同号，异侧异号”的结论，得(t+3t+1)(5t+2t+1)>0，解得t∈(-∞,-14)∪(-17,+∞).

六、概率问题转化为线性规划问题

例9 在长度为a的线段内任取两点将线段分三段，求它们可以构成三角形的概率.

解：设构成三角形的事件为A，长度为a的线段被分成长度为x、y、a-(x+y)的三段，则0

线性规划例3

例1 （2014年山东理）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，

2x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为（ ）.

A.5 B.4 C.5 D.2

答案 B.

解析 画出可行域（如图1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by经过直线2x-y-3=0与直线x-y-1=0的交点A（2，1）时，z取最小值25.将A（2，1）代入目标函数，得2a+b=25，以下用两种方法求a2+b2的最小值：

图1

方法1 （转化为二次函数求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），当a=455时，a2+b2的最小值是4.

方法2 （利用几何意义）转化为求直线2a+b=25上的点到原点距离平方的最小值，即原点到直线2a+b=25的距离的平方，利用点到直线的距离公式即得.

考点 将简单的线性规划与非线性目标函数的最值相结合，考查简单线性规划的应用，二次函数的图像与性质，点到直线距离的几何意义.对于解决非线性目标函数最值问题的关键在于深挖目标函数的几何意义，利用数形结合思想求出最值.

拓展探究 若实数x，y 满足不等式组

y≤x-1，

x≤3，x+5y≥4，则x2y 的最小值是（ ）.

2 线性规划与全称、存在量词结合

例2 （2014年全国课标1）不等式组

x+y≥1，

x-2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：

p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，

p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，

p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，

p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.

其中真命题是（ ）.

A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3

答案 C.

图2

解析 画出可行域（如图2），将四个命题依次代入检验，对于命题p1，可行域内的点恒在直线x+2y=-2的上方，即对所有可行域内的点都满足不等式x+2y≥-2（图3）;

图3 图4

同理对命题p2，可行域内存在点在直线x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（图4）.

其他两个命题经检验不合适.

考点 考查不等式（组）表示的平面区域，全称、存在量词的含义.

3 线性规划与“不等式恒成立”问题融合

例3 （2014年浙江）当实数x，y满足

x+2y-4≤0，

x-y-1≤0，

x≥1，时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 .

答案 1，32.

解析 画出可行域，欲使不等式组1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域内的点恒在两条平行线之间，两条平行线斜率为-a，分别恒过（0，1），（0，4）点，如图5、图6可得a的取值范围.

图5

图6

考点 本题将线性规划与不等式恒成立问题相结合，本质是动态可行域问题，所谓动态的可行域，即在约束条件中含有使可行域发生变化的参数.对于动态的可行域问题，要注意切入的角度、方向，抓住一些不变的量，变动为静，向熟悉的、已有的知识转化，从而化解问题.本题两条平行线斜率含有参变量a，不变的量是两条平行线所过的定点，切入点是直线所过的定点.

拓展探究 （2014年湖南）若变量x，y满足约束条件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值为-6，则k= .

4 线性规划与概率融汇

例4 （2014年湖北）由不等式

x≤0，

y≥0，

y-x-2≤0，确定的平面区域记为Ω1，不等式x+y≤1，

x+y≥-2，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）.

A.18 B.14 C.34 D.78

答案 D.

图7

解析 依题意，不等式组表示的平面区域（如图7），

由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P=

12×2×2-12×1×1212×2×2=78，选D.

考点 本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，属于中档题.

线性规划例4

二、工商管理的职能

（1）对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织，针对市场经济的自由性，对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管，即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理，维护市场的经营秩序，对于企业的违规违纪行为进行依法惩处，调节市场经济各部分的和谐共处。（2）对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动，服务于社会主义的市场经济建设，通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节，维护市场经济的有序运行，服务广大消费者。

三、线性规划在工商管理中的应用

首先，线性规划可以用于生产计划确定后的优化，主要内容包括：（1）合理利用材料问题：在保证生产正常进行的条件下，以最少的材料达到最大的使用效果。（2）配料问题：在原料供应的数量限制下，如何搭配才能获得最大收益。（3）投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使有限的投资得到最大的回报。（4）产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。（5）劳动力安排：用最少的劳动力满足工作的需要。（6）运输问题：对产品的调运方案进行细致制定，减少运费。其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势，分析未来的消费趋势，并预测同行的产销动向，根据分析结果，确定自身企业的产品价格和促销策略，然后将这些数据进行线性规划，得出企业发展的最佳路线。工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是，应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析，首先必须满足几点要求：（1）明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，以企业利润作为评价目标值，其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。（2）明确约束条件。企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的，这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大，不同约束条件下，决策分析的结论也会有很大区别。比如，就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种：第一，能力不足状态，企业的生产能力无法满足市场需求；第二，能力过剩状态，即企业生产能力超过市场需求，产品出现剩余；第三，中间状态，即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的，在三种状态之间不断变换。（3）明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入，还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述，生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标，明确未知变量，确定约束条件，然后建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。

线性规划例5

线性规划的“本来面目”,主要指线性目标函数下的最值(取值范围)问题,平面区域的面积问题和最优解问题等.这是常考不衰的基本考点.

1. 线性目标函数的最值(取值范围)问题

【例1】 设m>1,在约束条件y≥x,

y≤mx,

x+y≤1.下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 ．

分析 虽然m的值未知,但m>1,故同样可以作出可行域,然后求出可行域的相关顶点的坐标,就是满足意义的最优解,从而求出m的值.

解 先画出约束条件y≥x,

y≤mx,

x+y≤1.表示的可行域如图:

直线x+y=1与y=mx的交点为1m+1,mm+1,得到当x=1m+1,y=mm+1时目标函数z=x+5y有最大值4,则有1m+1+5×mm+1=4,得m=3．

点评 本题属线性目标函数的最值问题的逆向问题,解决问题的关键是先确定含参数的最优解(往往是可行域的顶点坐标),进而再求参数值.

2. 平面区域的面积问题

【例2】 在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 ．

分析 欲求平面区域B的面积,必须先作出平面区域B的图形,根据题意写出平面区域B的约束条件.

解 令x+y=u,x-y=v,则x=u+v2,y=u-v2．

由x+y≤1,x≥0,y≥0得约束条件u≤1,

u+v≥0,

u-v≥0.

因此,平面区域B的图形如图.其面积为S=12×2×1=1．

点评 解决这类问题的关键是弄清原约束条件与新约束条件的内在联系.本题借助换元法将原约束条件进行线性变换,把这类平面区域面积问题的难度提高了一个层次.

点评 求平面区域表示的面积是线性规划考题中常考的一类问题,本题在此基础上要求把面积平分,可以进一步考查考生的观察能力和数形结合思想.因此借助数形结合,分析图形特征是解决这类问题的通法.

3. 实际问题中的最优解问题

【例3】 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料箱,乙车间加工原料箱.

分析 找出线性约束条件和目标函数,准确画出可行域,利用几何意义,求出最优解．

解 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱

则x+y≤70,

10x+6y≤480,

x,y∈N.

目标函数z=280x+300y

结合图象(图)可得当x=15,y=55时z最大.故答案：15,55

点评 利用图解法解决线性规划实际问题,约束条件要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐步平移法验证．

二、 “变脸”的线性规划问题

高考命题历来讲究知识的交汇,以考查考生的综合能力和创新能力,为此对于线性规划的命题,或对线性约束条件拓展,或对目标函数拓展,同时在解题中凸显线性规划思想的工具性.

1. 比值问题

【例4】 已知实数x、y满足不等式组x2+y2≤4,

x≥0.则函数z=y+3x+1的值域是 ．

分析 容易画出不等式组x2+y2≤4,

x≥0.所表示的平面区域,再将z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族．

解 所给的不等式组表示圆x2+y2=4的右半圆(含边界), z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族.则问题的几何意义为：求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)上任一点与点P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值.

由图知,过点P和点A(0,2)的直线斜率最大,zmax=2-(-3)0-(-1)=5.过点P所作半圆的切线的斜率最小.设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4.又B在半圆周上,P在切线上,则有a2+b2=4，

-a-3b=4.

解得a=-2+365,

b=-6-65.

因此zmin=26-33.

综上可知函数的值域为263,5.

点评 z=y-y0x-x0表示定点P(x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率．

2. 距离(平方)问题

【例5】 已知x-y+2≥0,

x+y-4≥0,

2x-y-5≤0.

求z=x2+y2-10y+25的最小值.

分析 目标函数是非线性的.z=x2+(y-5)2=(x2+(y-5)2)2可看做区域内的点到定点M(0,5)距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题．

解 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).而z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是MN2=92．

点评 当目标函数形如z=(x-a)2+(y-b)2时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值.

牛刀小试

1. 若平面区域D的点(x,y)满足不等式组(x+1)2+y2≤1,

x-y≤0,

x+y≤0.则平面区域D的面积是 .

2. 若实数x,y满足x-y+1≤0,

x>0.

则yx-1的取值范围是.

3. 某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得04万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得06万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 万元.

【参考答案】

1. 1+π2 画出平面区域,如图(1),阴影部分面积S=1+π2．

图(1)

图(2)

2. (-∞,-1)∪(1,+∞) 可行域如图(2)阴影,yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得yx-1>1或yx-1

图(3)

3. 312 设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元, 可获得利润为z万元,则

x+y≤60,

x≥23y,

线性规划例6

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）21-263-03

纵观近些年的高考题，细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点，因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系，又能更好考查学生的数学综合能力。本人结合自己的教学体会和2011年江西省各地模拟试题及全国各省高考题，对其中的线性规划题作一简单归纳。

1、线性规划与解析几何交汇

例1：（江西省南昌市2011届高三第三次联考）已知x，y满足不等式组 ，则 的最小值为（ ）

A. B. 2 C. 3 D.

分析与简解：

欲求最小值的式子可化为 ，即表示区域内动点（x，y）与定点（-1，1）的距离的平方，故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域，如上图，易知问题可转化为求点（-1，1）到直线y=x的距离的平方，易算得2，故选B。

归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来，故它与解析几何交汇很自然，此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域，即完成由数到形的转化，然后根据式子的几何意义，直观观察求得相关结论。

（1）（江西省吉安市2011年高三期末联考卷）若点P在区域 内，则点P到直线 距离的最大值为______

（2）（江西省上饶市重点中学2011届高三联考）设 ，若实数x，y满足条件 ，则 的最大值是_______。

（3）（江西省2011届高三九校联考）设x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）

A. B.

C. （ ） D.

2.线性规划与函数，方程交汇

例2：（江西省八所重点中学2011年高三联考）已知函数f（x）的定义域为 ，且f（6）=2，f/（x）为f（x）的导函数，f/（x）的图象如上图所示，若正数a，b满足f（2a+b）

A. B.

C. D.

分析与简解：

由导函数图象知， ，f（x）递增，故由f 可知： ，作出可行域ABO内部，如上图所示，易知 表示区域内点（a，b）与定点P（2，-3）连线的斜率，易求得 ，故选A。

例3：（江西省新余一中2011届高三六模）已知函数 的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则 取值范围是__________.

分析与简解：

依题意函数的三个零点即方程 的三根，且 ，故方程可等价为 有两不等根，一根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，即 ，作出可行域，易求得直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点A为（-2，1），故可求得 ，故 的范围应为 .

3.线性规划与概率交汇

例4：（江西赣州市2011年高三摸底考试）在平面xOy内，向图形 内投点，则点落在由不等式组 所确定的平面区域的概率为________.

分析与简解：

记事件A为点落在由不等组确定的区域内，作出该区域，如上图所示，易求得其面积为 ，另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆 的面积，应求得为4π，故 .

归纳：涉及到几何概型中的面积比常用到平面区域面积。又如

（1）（江西省九江市2011届高三七校联考）已知点P（x，y）在约束条件 所围成的平面区域上，则点P（x，y）满足不等式 的概率是________.

（2）（江西省吉安市2011届高三一模）已知函数 ，实数a，b满足 ，则函数 在[1，2]上为减函数的概率是（ ）

A B C D

4.线性规划与向量交汇

例5：（2011福建理科）已知O是坐标原点，点A（—1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是（ ）

A.[-1，0] B.[0，1]

C.[0，2] D.[-1，2]

分析与简解：

准确做出不等式组所表示的平面区域，如上图所示阴影区域：

由 表示 在 方向上的投影与 的模的积，观察易得点M分别在点B，D处使 取得最小值0，最大值2，故选C.

在2011年高考及各地模拟卷中，向量与线性规划交汇的题还有：

（1）（2011广东理）已知平面直角坐标系xOy上的区域D，由不等式组 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为 ，则 的最大值为（ ）

A.3 B.4 C. D.

线性规划例7

能够根据x，y的约束条件准确画出平面区域是线性规划解题中的重要步骤，它直接关系到能否正确进行下一步，画图时要对一些重要数据进行标注，通过对有关封闭区域的面积计算和相关点的位置判断可进一步强化对平面区域意义的理解.

例1在平面直角坐标系中，不等式组y≥0，

x-2y≥0，

x+y-3≤0表示的区域为M，t≤x≤t+1表示的区域为N，若1

图1解：由于1

【评析】公共部分的面积随着t在所给范围内的变化而变化，可以估计到t的特殊位置，从而可列出关于t的函数关系，此处得到正确的相关区域的面积的表达式是解题的关键.

例2若方程|x-1|=k（x-2a）+a，对任意实数k都有解，求实数a的取值范围.

图2解：设y=|x-1|，如图2，阴影部分为不等式组y≥x-1，

y≥-x+1表示的区域，而y=k（x-2a）+a是恒过点（2a，a）的直线，若不论k为任何实数方程都有解，即直线与阴影部分恒有交点，则必有（2a，a）∈（x，y）|y≥x-1，

y≥-x+1，于是a≥2a-1，

a≥-2a+1.

解之，得113≤a≤1.

【评析】由二元一次不等式组，我们可以画出对应的平面区域，同时如果给出了平面区域，我们也必须能熟练地写出对应的不等式组，只有熟练地掌握了平面区域的意义才能为下一步解题打下坚实的基础.

二、简单的线性规划

给出线性约束条件，求线性目标函数的最值是最基本、最主要的题型，也是各类高考试卷中的主要题型.求解此类问题一般分两步：（1）根据条件画出可行域；（2）将目标函数转化成直线方程形式，利用平移法找到取最大值点和最小值点，然后把坐标代入目标函数求出最值即可.

线性规划例8

例：由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为。

【解析】三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方，又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，三角形区域在x＋y＋2≥0的区域，

同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内．故该平面区域图（1）用不等式表示为x＋y＋2≥0

x＋2y＋1≤0

2x＋y＋1≤0

【点评】给区域求约束条件，注意画法原则应用：以线定界，以点定域，包括边界含等号，不包括边界不含等号。

题型二：求面积与最值（范围）

例：变量x，y满足x－4y＋3≤0，

3x＋5y－25≤0，

x≥1，

（1）画出不等式组表示的平面区域并求面积；

（2））z1=x＋2y的最值;

（3）设z2＝x2＋y2，求z2的取值范围；

（4）z3=|2x+y+2| 的最大值；

（5）设z4＝yx，求z4的最小值；

【解析】（1）、画出x，y满足条件的可行域如图（2）所示，经计算A(1，225)、B（5，2）、C（1，1），由图知三角形ABC的面积即为所求，所求面积为12×175×4=345。

（2）、由z1=x＋2y得y=－12x＋z12由图象可知，z12的几何意义是直线y=－12x＋z12在y轴上的截距，要使z1取得最大值或最小值，只需y=－12x＋z12在y轴上的截距最大或最小。所以当直线y=－12x＋z12经过点A(1，225)、C（1，1） 时，z1分别取得最大值495和最小值3。

（3）、z2＝x2＋y2的几何意义是可行域内任一点（x,y）到原点O（0，0）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.2≤z≤29.

（4）z3=|2x+y+2|可看作是行域内任一点（x,y）到直线2x＋y＋2=0的距离的5倍，从而找到离直线最远的点B（5，2）即是取最大值的点，此时的最大值为14。

（5）、z4＝yx＝y－0x－0，z的值即是可行域中的点x,y）与原点O连线的斜率．

观察图形可知zmin＝kOB＝25

【点评】本题（1）小题是给不等式组求其所表示的平面区域的面积，其余四题是线性目标函数在线性约束条件下的最植问题；解题关键是要准确画出可行域、充分理解目标函数的几何意义：（2）直线的截距（3）两点间距离（或平方）（4）点到直线的距离（5）过已知直线两点的斜率。解题时注意数形结合的应用。

题型三：求参数的取值问题

已知目标函数的最值求约束条件或目标函数中参数的取值问题

例：（1）.若x，y满足约束条件x＋y≥1，

x－y≥－1

2x－y≤2，，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是．

【解析】 画出可 行域如图（3），目 标函数可化为y＝－ a2x＋12z，根据图象判断，当目标函数的斜率－1

答案 (－4,2)

【点评】此题最优解仅有一个，若在区域内有无穷多个点（x，y）可使目标函数z＝ax ＋2y取得最小值,则a的取值是多少也应会求。

(2)、已知实数x，y满足y≥0

y≤2x－1

x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于。

【解析】画出x，y满足条件的可行域如图（4）所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点A处，目标函数z＝x－y取得最小值．

由y＝2x－1

x＋y＝m，解得x＝m＋13

y＝2m－13，即点A的坐标为（m＋13，2m－13）.

线性规划例9

1、线性规划（Linear programming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。

2、线性规划是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

（来源：文章屋网 ）

线性规划例10

针对运筹学中的线性规划，其求解所用的方式一直是单纯形法。之后，随着线性规划的发展，线性目标规划也得以应用，但它的求解应用的方法依然是修正后的单纯形法，且两种规划都是可以进行相互的转化的。虽然单纯形法的求解是有效的，但当变量非常多时，解算就变得繁琐，求解过程也是非常的费时。为此，探求最有效、最节省时间的方法，则成为运算求解的一大难题。但随着人工智能-代数方法的应用，对较多例题进行了验证，展现了其解法的有效性，与传统解法相比，人工智能-代数方法的求解结果也是一致的。即使这样，面对更多的例题，人工智能-代数方法所面临的应用问题是需要求解条件，即问题的实际背景的明确，这包括经济背景、工程背景、物理背景以及各行各业的实际背景。问题中哪些约束为等式，其可能性则是由这些背景提供的。也就是说，在这些实际背景的帮助下，研究者可以对偏差变量为0的目标规划、附加变量为0的线性规划进行分析。其中的意义就是减少变量的总数，其中包括附加变量、偏差变量、决策变量，之后以代数方法，利用约束方程、最优化条件进行问题的求解。此外，针对单纯形法而言，其在逐次进基和退基的过程中，会将非优、最优的决策变量进、出基底，也就是将为0的变量退出基底，依据约束方程求解，其中在基本解中，包含有最优解，通过反复迭代，一系列的基本解则会在多次的进基和退基中求得，从而求取最优解。当变量总数过多时，此方法就会变得非常的繁琐。

一、性目标规划和线性规划的人工智能-代数解法

线性规划模型：

(1)

(2)

其中，式中是的不同线性函数，。

对（2）中的约束进行分析，对能够促使最优目标的等式进行选取。假设约束有m′个取等式；依据线性规划，n-m′个变量在n个决策变量中为0，为此要对n-m′个为0的决策变量进行确定。n-m′，这就减少了变量数，剩下的m′≠0的决策变量由m′个等式约束方程式对其进行求解。

目标规划的解法与线性规划类似，对偏差变量为零的目标约束进行分析，设m′个约束，依据优化目标的最优条件，对n-m′个为0的决策变量进行确定，最后，通过m′个约束方程式，对m′个不为0的决策变量进行求解。

二、算例

需要A、B、C三种轴件，进行机床的制造，三种轴件的数量以及规格见表1。用长5.5米的圆钢型材料对各类轴件进行下料，如果要进行100台机床的制造，需要的圆钢数量则是多少？解决这一问题时，依据三种轴件的长度，先对长5.5米的圆钢能够节省材料的截料方法进行分析，见表2.

需要对圆钢进行多长的截料，配成轴件进行100台机床的制造，依据表2，所获得的线性优化模型为：

(1)

上列式子中，决策变量为xj，其表示依据第j种截法下料所需的圆钢根数。

分析（2）式应取等式，Z最小，其中决策变量为0的至少有2个。依据表2和（2）式，较省情况为x1=0，x2则为100。当x4为0时，材料的选用也是非常的节省，其x3为100。借助（2）式的第三式取等式，得x5为25。由此得出最优解X*=（0,100,100，0,25）T，最后算出需要225根圆钢。

依照（2）式中的等式约束，其本就是一个连续的线性规划，但由于其数据的特殊性，在一定意义上，也形成了一个特殊的连续解。若是一整数规划，（2）式中的右端项则分别为101、201、404，这样一来，（2）式也无法取等式，可在左端项加上剩余变量（-R1，-R2，-R3），R1，R2，R3为多出的3个变量，可由整数条件求出。依据（2）式中的第一式，取R1=0，x1=0，x2=101；依据第二式，取R2=1，x4=0，x3=101；最后则由第三式，取R3=3，x5=26。

X*=（0,101,101,0,26）T，Z*=228。

结束语

本文在进行分析时，最为关键的两个内容为：1.对表达式为等式的目标约束进行判断，等式约束数设为m′；2.对为0的n-m′个决策变量进行寻找，由m′个线性方程求出m′个决策变量，为0的n-m′的变量在求解之前及求解过程中都能被找出。针对此方法而言，其特点是建立问题的线性规划以及线性目标规划的数学模型之后，通过人工智能，做出关键内容中的2个判断，降低变量数，利用代数法进行求解，以此节省时间和劳力。但单纯形法先对变量进行增加，变量数在之后的多次进基和退基中会逐渐变少，最后利用m个约束方程，对非零变量进行求解，其中包括决策变量、附加变量、偏差变量。这就消耗了大量的时间和劳力，是不可取的。