百分数应用题例1

百分数应用题的题型可以有很多变化,但是有一些典型的题型会反复出现。因此,教师帮助学生了解一些典型题目的特点,概括出常用的分析方法和解题策略是很有必要的。

百分数应用题主要分为两大类型:

1.求百分之几。

常见的有求百分率、求一个数量是(占)另一个数量的百分之几、求一个数量比另一个数量多(或少)百分之几等题型。求百分率都是用已知量除以总数量再化成百分数。求一个数量是另一个数量的百分之几(另一个数量是标准比较量,即单位“1”),都是用前面的数量除以后面的数量(单位“1”)。求一个数量比另一个数量多(或少)百分之几总是要用多(或少)的那部分数量除以单位“1”。但多(或少)的那部分数量有时在题中没有告诉,有时直接告诉,因此就要提醒学生注意区别。如:

①男生有25人,女生有20人,男生比女生多百分之几?

②女生有20人,男生比女生多5人,男生比女生多百分之几?

前者要先求出相差的数量,再除以单位“1”;后者相差的数量已经告诉,可以直接用它除以单位“1”。

2.已知百分之几,求具体的数量。

这一类题型的变化较多,数量关系也稍复杂一些,但也可找到一些具有一定代表性的题型。如:求一个数量的百分之几是多少?已知一个数量的百分之几是多少,求这个数量。求一个数量增加(或减少)它的百分之几是多少?已知一个数量增加(或减少)它的百分之几是多少,求这个数量,等等。第一种情况可以直接用乘法(即用单位“1”乘以百分数);第二种情况一般可以用方程或除法解决;第三种情况可以先求出单位“1”的百分之几是多少(即增加或减少的数量),再用单位“1”加上(或减去)这部分数量;第四种情况往往用方程解决(设单位“1”为X),方程的数量关系类似第三种情况。

二、分析数量关系

学生解决百分数应用题的关键在于理解百分数在具体题目中的含义,能够独立、熟练地分析数量关系,根据数量关系灵活选择合适的方法解决问题。我认为可以分为以下几个层次进行:

1.确定单位“1”。

找准题目中的单位“1”是解决百分数应用题的首要条件。单位“1”指的是比较的标准量,凡是题中出现的百分数都是单位“1”的百分之几而不是其他任何一个数量的百分之几。为了避免学生生搬硬套,教师要让学生确定题目中的百分数具体指的是哪个数量的百分之几。

2.确定解题法。

解决百分数应用题通常有两种方法:(1)列算式解答;(2)列方程解答。具体选用哪一种方法要根据题目的特点来确定。学生比较适应顺推的思路,对于“单位‘1’的数量×百分数=……”这样的数量关系容易理解,通常题目中单位“1”的数量如果知道,那么一般采用算式方法解答;如果单位“1”的具体数量不知道,一般就设单位“1”的量为x。

3.确定对应量。

要分析数量关系,学生首先要把各部分具体数量和它们所表示的百分数互相对应起来。这里有两种情况必须明确:

(1)条件中的已知量所对应的百分数是什么?如:

修一条公路,已经修了它的40%,还剩60千米,这条公路一共有多少千米?

题中的已知量是60千米,是还剩的千米数,40%是已经修的千米数占总路程的40%,那么60千米应该占总路程的60%,所以60千米对应的百分数应该是60%。

(2)单位“1”的百分之几表示的具体数量是什么?如:

柳树有200棵,杨树比柳树多25%,杨树有多少棵?

经过分析可以知道,这道题的单位“1”是柳树的棵数,柳树棵数的25%所表示的具体数量应该是杨树比柳树多的棵数(即柳树棵数×25%=杨树比柳树多的棵数)。

4.确定关系式。

这是分析数量关系的最后一步,在做好了前面的一系列分析工作之后,学生可以进一步分析题目中存在的数量关系,根据题目所求的问题综合考虑,选择列出恰当的数量关系式解决问题。

三、强化实际应用

教学百分数应用题的主要目的是要让学生将所学的有关百分数的知识应用于实际生活中,提高其灵活应用和独立分析的能力,真正实现“数学知识来源于生活又应用于生活”。

1.学习内容生活化。

《国家数学课程标准》指出:“数学教学应该是从学生的生活经验和已有的知识背景出发,向他们提供充分的进行数学活动和交流的机会。”有关学校兴趣组的问题、班(年)级人数的问题、商店打折的问题等,在学生生活中司空见惯,所以往往能吸引他们的注意,提高学习积极性,激发探索意识,有利于发展他们的灵活应用能力,又能使他们获得成功的体验。

2.教学形式开放化。

为了提高其独立分析解决实际问题的能力,练习的形式可以采用多种变化。如教师可让学生根据给出的算式和数量关系,合理选择所要填写的条件。

学校美术组有20人,___________,科技组有多少人?

科技组的人数是美术组的80%20×80%

科技组的人数比美术组多80%20+20×80%

是科技组的80%80%x=20

比科技组多80%x+80%x=20

教师还可以让学生利用生活中获得的信息尝试编写百分数应用题,在课堂上互相进行考验和学习,从而提高学生解决实际问题的能力。

百分数应用题例2

解答分数和百分数应用题的方法：（1）先找单位“1”，比、是、占后面的量一般就是单位“1”；（2）单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法；（3）比单位“1”多，用1+几分之几，比单位“1”少，用1-几分之几；（4）画线段图分析题意，找具体数量的对应分率。

以上方法简单易懂，学生按照此方法，能快速解答分数和百分数应用题，受益无穷。学生会从题中的关键句子中快速确定解题方法，成功的喜悦不言而喻！

下面我以最新版小学六年级数学书上的例题为例，分析我是怎样引导学生分析题意、快速找到解题方法，从而提高学生的数学思维能力的。

例1. 小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重轻，小明爸爸的体重是多少千克？

教师这样引导学生分析题意：教师：“题中哪句话是重点句？”学生：“比爸爸的体重轻”。教师：“谁是单位‘1’？单位‘1’已知还是未知？”学生：“爸爸的体重是单位‘1’，单位‘1’未知用除法。”教师：“轻就是比单位‘1’少，怎样列式？”学生：“用（1-）。”

教师引导学生分三步分析题意，最后顺利列出算式：35÷（1- ）=75（千克）。答：小明爸爸的体重是75千克。

百分数应用题例3

新大纲对于分数、百分数应用题的教学要求，大致提出了以下三个方面的要求。

一、会解答分数、百分数应用题

会解答分数、百分数应用题的要求，一般是指能够理解应用题的题意，掌握最基本的数量关系，正确判别计算的方法，会列式计算，并且善于检验解答的合理性与准确性。

由于分数、百分数应用题的数量关系，跟整数应用题相比，既有共性，又有它们的特殊性，要求学生既了解其共性，又能懂得它们的特殊性，使学生的认知水平有所提高。对此，略举数例如下。

1.分数加、减法应用题

分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况：一种是表示具体的数量，另一种是表示两个量的比。譬如：

①食堂第一天烧煤吨，第二天烧煤吨，两天共烧煤多少吨？ 题中已知的分数，都表示具体的数量，跟整数里求和应用题的数量关系是一致的，要求学生知道这是求两个相同单位的量的和。

②食堂有一批煤，第一天烧去这批煤的，第二天烧去这批煤的，两天共烧去这批煤的几分之几？题中已知的分数，都是两个量的比，而不是具体的数量。数量关系虽然跟整数里求和应用题是一致的，这是共性；但是，学生要理解题中的、以及求出的和，都是对这批煤而言的，不是具体的量。

③地球表面积的是海洋，剩下的是陆地，陆地占地球表面积的几分之几？这一题的数量关系跟整数里求剩余数，用减法计算是一致的，这是共性，可是题中只给出一个已知条件是，另一个条件要学生自己想象整个地球表面积看作“1”，然后用1－＝，这就是与整数应用题不同的特殊性。

2.分数、百分数乘、除法应用题

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，要求学生能够辨析清楚。譬如：

①一辆汽车平均每分钟行千米，30分钟行多少千米？这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和，或者说求的30倍是一致的。

②10个鸡蛋重千克，平均每个鸡蛋重多少千克？这种题的数量关系跟整数除法题是一致的。

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，通常分为三种情况，或者叫做分数的三种基本应用题：（1）求一个数是另一个数的几分之几的除法应用题。（2）求一个数的几分之几是多少的乘法应用题。（3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数的除法应用题。（新大纲中没有这些名称，笔者为了便于分析，沿用了这些习惯名称）上面三种情况中的几分之几，如果是百分数，那末这三种情况就是百分数的三种基本应用题。这里，还得说明，新大纲只是要求教学分数四则应用题包括工程问题，以及百分数的实际应用问题，没有具体规定教学哪些内容的应用题。考虑到各种不同风格的教材，可能会有所取舍，因而还是按现行通用教材的内容，研究教学的要求，供选择参考。

（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题。

在实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于1或大于1的时候，通常称为“几倍”；当它们的倍数小于1的时候，通常称为“几分之几”。在小学里，学生学习整数应用题的时候，只知道一个数是另一个数几倍。如：白兔16只，黑兔4只，白兔只数是黑兔的16÷4＝4（倍）。那时，学生只知道两个数量相比较的一个侧面，到了学习分数以后，黑兔的只数也可以与白兔去比较，即黑兔的只数是白兔的4÷16＝。当他们学习了百分数以后，应当让他们知道：求一个数是另一个数的几倍或几分之几，就统一为一个数是另一个数的百分之几了。

这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的，要求学生掌握谁与谁相比较。如，甲是乙的几分之几，是用甲与乙相比较，那么乙是标准的量，甲是比较的量。并且知道用标准的量作除数。

可是，百分数在实际应用上，还有一些特殊性。求一个数是另一个数的百分之几，也叫做两个数的百分比或百分率。例如，产品合格率，种子发芽率，工人出勤率，存款的利息率，向国家交税的纳税率等。要使学生知道所求的这些“率”，都是用百分数表示的，所以，在这些百分率的公式里，添上乘以100％，表示求得的结果必须用百分数表示。如，

小麦出粉率＝×100％

在百分数里，经常会遇到除不尽的情况，应该让学生知道，除了指定精确度的以外，一般除到小数第四位，即万分位，然后四舍五入取三位小数，化成百分数后，百分号前面的数保留一位小数。并且知道百分号前面通常写成小数形式，不用带分数的形式，如通常写成33.3％。

（2）求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题。

新大纲在整数应用题里，增加了求一个数的几分之一或几分之几是多少的内容，那时是用整数乘、除法计算的。例如，有学生600人，其中十分之九（或）是少先队员，求少先队员有多少人。这就是把600人分成10等份，求出的是的人数，再乘以9，就是的人数，列式为：600÷10×9＝540（人）。学生有了这个基础，学习分数乘法应用题，思考方法一致，只是把整数乘除的方法转化为分数乘法。即

600÷10×9＝540（人）用分数表示

×9＝600×＝540（人）

这里，要求学生比较熟练地掌握求一个数的几（百）分之几是多少，用乘法计算的结论。

（3）已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数的除法应用题。

这是分数乘法的逆向题，也是学生容易与分数乘法相混淆的问题，新大纲规定在分数

四则计算的前面要学习简易方程，到这里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。因此，要求学生运用求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的思考方法去解题。例如，一根钢管的是48厘米，这根钢管长多少厘米？学生应思考：（钢管的长）×＝48（厘米），设钢管长x米，即x×＝48或者x＝48，x＝192。

有些题目，既可以用上述方法解答，也可以根据已知的数量关系进行思考。如，一个工程队小时开凿山洞米，求1小时开凿山洞多少米。用上述方法解答，设1小时开凿山洞x米，列方程为：x×＝或x＝，解得x＝。也可以根据：

工作总量÷工作时间＝单位时间的工作量

所以，列式为：÷＝（米）

以上是分数、百分数应用题中最基础的内容，应该让学生理解并掌握。

二、能够运用所学的知识解决生活中一些简单的实际问题

新大纲中这个要求是小学阶段最后一个学期的要求，在分数、百分数应用题里也应该贯彻这个精神。根据最多不超过三步计算的限制，再按照实际生活中常见的分数问题、百分数问题，大致要求学生掌握以下几方面的实际问题。

1.求一个数比另一个数增加或减少百分之几的问题。

这类问题在生活和生产上经常要用到，例如，实际产量比计划生产量增产百分之几，或者本月用电比上月节约百分之几等等。要求学生根据求一个数是另一个数的百分之几的思考方法，先要求出增产（或节约）的数量，然后把它与计划生产的数量（或原来用电度数）相比。列式为：

（实际产量－计划产量）÷计划产量

或也可以先求出实际产量相当于计划产量的百分之几，再求增产百之几，列式为：

实际产量÷计划产量－100％＝增产的百分之几

这类问题有一个重要的概念，必须让学生掌握。学生在整数里已知5比3多2，3比5就必定少2。但是在分数、百分数里5比3多 ＝66.7％，反过来3却并不比5少66.7％，而是少 ＝40％，因为它们相比较的标准数量不同，所以，两个百分数是不等的。

2．求一个数增加（减少）它的几（百）分之几是多少的应用题以及这类问题的逆向问题。

例如，原有少先队员400人，现在增加12％，现在有队员多少人？这是求400增加它的12％以后是多少。要求学生能够用两种方法解答：

400＋400×12％＝400＋48＝448（人）；

400×（1＋12％）＝448（人）。

这个应用题的逆向题是：现在有少先队员448，比原来增加了12％，原来有少先队员多少人？这是已知一个数增加了它的12％以后是448，要求这个数。应该使学生理解为原来的人数加上增加了它的12％的人数等于现在的人数。 设原来为x人， 那么

x＋12％x＝448， 1.12x＝448， x＝400。

3．工程问题。

这是有关工作总量、单位时间的工作量（通常叫做工作效率）和工作时间的问题。这三者之间的关系是：

工作时间＝工作总量÷单位时间的工作量

例如，“一项工程，由甲队修建需20天完成，由乙队修建需30天完成，两队合修需要多少天完成？”

要求学生知道把整个工程看作“1”，还要知道甲队每天可完成这项工程的，乙队每天可完成这项工程的，两队合修一天可以完成这项工程的（＋），这是两队合修的工作效率，然后用工作总量除以工作效率，列式为：

1÷（＋）＝12（天）

工程问题的变化很多，可以一个人独做，也可以是几个人合做的；可以是几个人同时开始做的，也可以是有先有后做的；工作的进程可以是向前的，也可以是倒退的（如水管注水与放水）等等。但是，必须根据新大纲最多不超过三步计算的限制，在这个限度内适当有些变化。

三、能够有条理地说明解题思路

有条理地说明解题思路是要求培养学生有条有理、有根有据地说清楚自己是怎么思考的，决不是背诵一个模式，或者是思路说不清楚，颠三倒四，要让学生能够用自己的话表达清楚。这是培养逻辑思维能力的一个重要方面。

例如，发电厂有煤2500吨，用去，还剩多少吨？学生独自解答，可能出现以下两种解法：

①2500－2500× ； ②2500×（1－）

这时，让学生说明解题思路，第一种解法必然要说先求用去多少吨，再求剩下多少吨。第二种解法必然要说先求剩下的占总吨数的几分之几，再求这个几分之几是多少吨。上述第一种解法接近学生原有的认知结构，因为在整数应用题已知从总吨数中减去用掉的，就是剩下的。第二种解法是从问题出发分析出来的，是一种新的思路，而这种思路在分数应用题中常常用到，教师不仅赞赏，还应该让更多的学生学会这种思考方法。

此外，与解题思路有关的是文字题的数量关系，现举例说明如下：

①甲数是，乙数比甲数大 ，求乙数。

这里的是甲、乙两数相差的数值，所以，列式为：

②甲数是，乙数比甲数大它的，求乙数。

这里的是指甲数的一半，所以，列式为：

或者

×(1+)=

③比吨多，是多少吨？

这里的带有单位名称是具体的量，没有单位名称，它表示两个数的比，所以，列式为：

×（1+）=（吨）

④比吨多吨是多少吨？

列式为：+=（吨）

⑤甲数是200，乙数比甲数大20％，求乙数。

百分数应用题例4

分数、百分数应用题的教学是根据分数、百分数的意义研究单位“1”的量、分率、分率的对应量三者之间的关系，其解题关键是正确判断以哪个量为单位“1”。单位“1”的量找准了，应用题也就迎刃而解了。我认为这里要做好三个方面的工作：第一，让学生切实理解单位“1”的意义，单位“1”的量是指被用来分的整体，不仅可指一个长方形、一个圆、一条线段……，也可以把一筐水果、一堆货物、一班学生数、一个社区的人口看作单位“1”，到具体的题目中就是被比较的量。第二，掌握单位“1”在应用题中所处位置，在分数、百分数应用题中分率句一般以以下三种情形出现：①分率句中比较量、单位“1”的量两量都出现，如甲数是乙数的4／5，甲数比乙数节约20%，用去了总数的1／3……；②分率句中只出现单位“1”的量，如“甲有20米，是乙的20%”“甲生产队有20吨，比乙队多15%”，分率句承接前句，省略了一个比较量，这里单位“1”的量一般在比、是、相当于等词后面；③分率句中只出现比较量，如“节约了25%”“增产20%”“用去了3／5”，这里省去了单位“1”的量词，在解题时要根据具体的题目理解。第三，教给学生判断方法，教学中要让学生明白要正确判断表示单位“1”的量，应根据“分率”在题中的具体含义，弄清“分率”对谁而言，谁就是表示单位“1”的量，不能够拘泥于固定的格式，要注意语言环境的变化。如“六月份比五月份多捕了1／4”，这句中的“1／4”是对五月份的捕鱼量而言，六月份比五月份多捕的量相当于五月份的1／4，所以五月份捕鱼量是单位“1”的量。

二、认真书写数量关系式

数量关系既是列方程的依据，也是列算术式的根据。小学数学教材特别强调数量关系式的运用，教材中例题后的“想”就是要求学生在解题时想数量关系式。教学时，要求学生在理解题意的基础上，写出题目中所求问题是单位“1”的几分之几，再把数量关系式用等式表示，未知的量用“？”表示，学生便会通过设未知数列方程或列式解答。例如“小华家承包了一块菜田，前年收白菜41.6吨，去年比前年多收了25%，去年收白菜多少吨？”

想：把前年收白菜看作“1”，所求的去年收白菜多少就是求前年收白菜的（1+25%）是多少吨。

列式：前年收白菜吨数×（1+25%）=去年收白菜吨数，即：41.6×（1+25%）=所要求的白菜吨数。

当学生养成认真寻找等量关系的学习习惯并能准确书写数量关系式以后，解答分数、百分数应用题便水到渠成了。

三、按标准画图找对应分率

线段图具有直观的特点，是帮助学生理解题意，寻找量率对应关系，正确解答分数、百分数应用题的必不可少的数学手段，教学中要重视画线段图的教学。画线段图通常要求学生将表示单位“1”的量标在线段的上方，数量标在线段图的下面，分率标在图上面，这样便于寻找对应关系。如：“一个筑路队修筑一段公路，第一周修了3／4千米，第二周修了7／20千米，两周正好修了这条公路的1／4，这段公路全长多少千米？”

百分数应用题例5

二、多标准量干扰 例2、五年级一班女生占全班人数的37．5％，后来又转学来2名女生，这时女生 占全班人数的40％，这个班原来有学生多少人？学生对标准量意义不清楚，把37．5％和40％理解成了 标准量相同的两个百分率，导致错解：2÷（40％－37．5％）＝80（人）。

三、思维定势干扰 思维定势在学生的学习过程中是始终存在的。每当学习一种新的知识时，经常会产生 它的消极干扰作用。例3、甲仓库存粮120吨，比乙仓库存粮多2／3，求乙仓存粮多少吨？学生往往受整 数、小数的“比多”、“比少”应用题习惯思维的影响，认为甲仓存粮比乙仓多2／3，就是乙仓存粮比甲仓 少2／3。错解为：120×（1－2／3）＝40（吨）。

四、解题模式干扰 学习一种新知后，学生的头脑产生一种解题模式。当情况发生变化时，仍套用原来的 模式列式解答。例4、一件工作，甲单独做需1／2小时，乙单独做需1／3小时。两人合做需要多少小时？ 错解为：1÷（ 1／2＋1／3）＝1（1／5）（小时）。

五、多余条件干扰 有些应用题，出现多余条件，增加了学生解题的困难，干扰了解题思路，导致错误求 解。例5、修一条600米的公路，由甲工程队修建，需要20天，由乙工程队修建，需要30天。两队合修 需要多少天？出现错误列式：600÷（1／20＋1／30）。

六、迂回眩惑干扰 有的应用题在叙述数量关系时，采用顺叙、逆叙等形式，甚为迂回曲折，使学生分析 时产生眩惑，因此胡猜乱碰，出现错解。例6、小华读一本书，第一天比第二天多读1／4，第二天比第一天 少读20页，余下全书的1／3第三天读完。这本书共有多少页？错解为：20÷1／4＝80（页），（8 0＋80－20）÷（1－1／3）＝210（页）。

针对以上常见干扰，教学时可以通过如下几种训练，来扫除障碍，克服干扰。

一、重视分析关键句训练

分数、百分数应用题中含有分率、百分率的句子是解题的关键句。但在不少题目中，有关分率、百分率的 句子常呈现省略句的形式。教学时可根据上下句的联系，进行补叙、推理训练，并列出关系式。如例3“甲仓 存粮比乙仓多2／3”可引导学生推理出：乙仓存粮吨数看作单位“1”的量，甲仓存粮比乙仓多的吨数是乙 仓的2／3，甲仓存粮吨数相当于乙仓的（1＋2／3），于是得到，甲仓存粮吨数＝乙仓存粮吨数×（1＋ 2／3）。题中甲仓存粮吨数已知，从而求出乙仓存粮吨数：120÷（1＋2／3）＝72（吨）。

根据“甲仓存粮比乙仓多2／3”，还可以引导学生进一步推理出，乙仓存粮吨数是甲仓的3／5，乙仓 存粮吨数比甲仓少2／5，得到关系式；乙仓存粮吨数＝甲仓存粮吨数×（1－2／5），得出解法：120 ×（1－2／5）＝72（吨），进一步使学生明白120×（1－2／3）这种解法是错误的。

二、重视作线段图训练

分数、百分数应用题比较抽象，借助线段图能够帮助学生弄清有关数量与标准量的对应关系，找到解题的 途径。教学时，经常指导学生作线段图训练，使学生掌握作图的基本方法：必须先画表示单位“1”的线段， 注意线段的规范性（要完整、简明、清晰、比例适当），以及作图的灵活性，运用补、截、移、叠等作图技巧 ，讲究作图的科学性。同时引导学生认真看图，分析思考，理解数量关系，使学生的思维与作图同步进行。这 样就能充分发挥线段图的直观启示作用。例如：甲班和乙班人数相等。甲班女生人数相当于乙班男生人数的1 ／2；乙班女生人数相当于甲班男生人数的4／7。已知乙班有男生24人，甲班有男生多少人？由于条件的 叙述婉转含蓄，造成学生解题的困难。这时可引导学生作图：画图时，如果把甲班的男生部分与乙班男生部分 画在同一侧，则不容易显现出数量关系，难以解答。如果把互相比较的两个量画在同一边，如图，从图上容易 看出，甲班男生人数的（1－4／7）和乙班男生的1／2相等。找到了解题的方法：24×1／2÷（1－ 4／7）＝28（人）。

（附图 {图}）

三、重视变式对比训练

对于易混内容，有意识地设计一些似是而非的变式题组让学生练习、比较，分析它们的细微差别，从而掌 握解题规律。如：

①比16米少1／4米的数是多少？

②比16米少1／4的数是多少？

③比16少1／4的数是多少？

④比16少它的1／4的数是多少？通过对比，使学生理解和掌握①③的“1／4米”和“1／4”与② ④的“1／4”是两个完全不同的概念，前者表示具体的数量，后者表示份数，不能混淆起来。

四、重视发散思维训练

发散思维是解决问题时沿着各种方向、不同途径去探索和思考。经常利用分数、百分数应用题或题中的关 键句让学生进行多角度、多层次的联想训练以及一题多解训练，培养学生思维的多向性和灵活性。如例5，引 导学生从一般工作问题和工程问题的不同角度去思考，得到不同的解法：

①600÷（600÷20＋600÷30）＝12（天）

②1÷（1／20＋1／30）＝12（天）

再加以比较，得出最佳解法②，在此基础上，让学生将“600米”换成900米、3000米、120 0米等，用两种方法求解，使学生明白“600米”这个条件对于解法②是多余的。

五、重视估算、验算训练

百分数应用题例6

    今天,进行《分数、百分数应用题》的复习,在复习过程中,大部分学生对求一个数是另一个数的百分之几、一个数比另一个数多(或少)百分之几的应用题掌握得比较好,但还有个别同学把知识遗忘得差不多了,必须加强辅导。

    在进行复习巩固的时候,有两件事使我觉得深感意外。

    我出示一道练习题:一堆煤原计划每天烧30千克,能烧50天,如果每天节约1/6,可以烧多少天?

百分数应用题例7

有学者研究发现：“学生有时解题困难，是因为不善于从整体上把握题目中的数量关系，未能把解题模式抽象成为一种思维策略。”每一个学习内容都有其关键之处。如果能恰到好处的把握，学生对于这一学习内容的掌握和运用，自然就会顺畅多了。

1、抓关键词。

抓表示单位“1”的词，即标准量。怎么找单位“1”的量？

特征（1）：是（或占、相当于）谁的百分之几。以谁为标准，谁就是单位“1”的量。如：现价是原价的90%，原价是单位“1”的量。

特征（2）：比谁多（或少）百分之几。跟谁比，谁就是单位“1”的量。如：买来的篮球比足球少20%，足球的个数就是单位“1”的量。

特征（3）：若是求合格率、含糖率等百分率。先理解这些百分率的含义，自然就会找到单位“1”。如：出勤率为95%就是指出勤人数占总人数的95%。总人数就是单位“1”的量

特征（4）：若上述特征不明显，就要加以理解。如：一件商品原价是60元，降价10%。意思是跟原价比降了10%，单位“1”的量就是原价。

2、抓关键句。

百分数应用题有一个特点：一个数量对着一个分率，这种关系叫做量率对应关系。只要紧紧抓住含有百分数的那句话，分析出哪个量对应哪个分率，难题就会容易多了。如：男生人数比女生少60%，要让学生明确把女生人数看成100%，男生人数就与（1-60%）对应。

3、探索规律。

《数学课程标准》指出建立模式，探索规律是数学学习的重要内容，也是国际数学课程发展的必然趋势。根据百分数应用题各数量之间的内在联系，促进学生对基本题型的掌握，探索解题的一般规律。

形式（1）：求一个数是另一个数的百分之几。思路以另一个数为单位“1”，一个数占了它的多少。即一个数÷另一个数。

形式（2）：求一个数比另一个数多（或少）百分之几。指两数的差额占了多少，即多（或（少）的量÷另一个数（即单位“1”）；也可以是求出一个数所占的分率，再与单位“1”比较。以上两种形式归一类。

形式（3）：已知单位“1”的量，求另一分率相对的那个量。例：某厂去年生产化肥2500吨，今年比去年增产15%，今年生产化肥多少吨？

去年产量2500吨是单位“1”。先求出增加的产量，即2500吨的15%，再加上去年的产量，算式：2500×15%+2500。

先求出今年占（1+15%）。2500吨的（1+15%）是多少？算式是：2500×（1+15%）。

形式（4）：已知分率相对的那个量，求单位“1”所对的量。例：一桶油倒出总质量的40%后，还剩15千克。

顺思维：设总质量为X，它的（1-15%）是15千克。,算式X×（1-15%）=15

逆思维：15千克就是（1—40%）=60%，两者相对应，照这样计算，多少千克就是100%？算式是：15÷60%×100%即15÷60%，其实这是归一应用题。（通过反馈，90%的学生喜欢找对应关系来求单位“1”所对的量）。

这是三类分数（百分数）应用题基本的思路，必须让学生理解掌握，以此来提高分析数量关系的能力。

二、导法得当、学中创新。

1、材料呈现——灵活性

新课标指出：内容呈现方式应采用不同表达方式，以满足多样化的学习需求。因此应用题不一定要以书本例题原摸原样呈现。我就尝试以下几种方法。

（1）扩句。A.一堆煤的75%是60吨，这堆煤是几吨？列式：60÷75%。

B.一堆煤运走它的75%后，剩下是60吨，这堆煤是几吨？列式：60÷（1-75%）。

C.一堆煤运走它的75%后，再运走10%，剩下是60吨，这堆煤是多少吨？列式：60÷（1－75%－10%）。

学生通过比较观察，更加清楚解决百分数应用题找准量率对应是很关键。

（2）分句。

汽车上有男乘客45人，假如女乘客人数减少10%，恰好与男乘客人数的60%相等，汽车上有女乘客多少人？此题如果一步到位的呈现，大多数学生是非常难以理解的。我就采用分句呈现。

A.汽车上有男乘客45人，男乘客人数的60%是多少人？算式:45×60%。

B.女乘客人数减少10%是多少？算式:1－10%。

C.男乘客的60%与女乘客减少10%相等。也就是男的60%与（1－10%）相对应。学生就能列出算式：45×60%÷（1－10%）。

（3）画图。（见右图）单位“1”

修一条公路，第一周修了全长75%

的35%，第二周修了3600米，这时35%

两周修的总米数距全长的75%还有

400米。这条公路有多长？用线段

图展示，学生很快弄清量率之间的对3600米400米

应关系，从而找到解决问题方法。多长？

此外还有动画呈现、情景呈现等。帮助学生理解、掌握知识，进一步提高他们的解题能力。

2、解题思路——多向性。

在《大纲（试用）》的说明中提出：要引导学生分析数量关系，掌握解题思路。这实际体现了培养学生掌握解题的方法和策略。为了使之更加落实，就要培养学生的多向思维，拓展学生的思维空间，让学生掌握运用多种方法解答应用题，冲破单一的局限性，提高解决问题的能力和速度。如：某厂女工人数是男职工的37、5%，已知男工比女工多40人。女职工有几人？

方法（1）：以男工人数为单位“1”的量，男工人数比女工多的40人就是（1-37、5%），两者相对应，求出男工人数，列式：40÷（1-37、5%）。再求出女工人数40÷（1—37、5%）—40。

方法（2）：按上述求出男工人数，再按男工的37、5%是多少？求出女工人数40÷（1—37、5%）×37、5%。

方法（3）：37、5%=3∕8，把男工平均分成8份，女工是3份，男工比女工多5份，求出一份是几人？40÷5=8（人）。女工有3份，所以女工人数是40÷5×3

方法（4）：设女工为x人，男工就是40+x。根据女职工人数是男职工的37、5%，得出x÷（40+x）=37、5%。

3、练习设计——有效性。

练习的设计不仅要有一定的量，更要突出练习的综合性，灵活性和有效性，并重视培养学生解决实际问题的能力。因此复习百分数应用题时，在教学设计中我注意挖掘材料富含的信息量，精心设计练习，把练习题目自然融合于数据分析之中。以下介绍几种练习设计：

（1）对比性的练习。

把下列的题目与算式用线连起来。

果园里有梨数1000棵，占总数的60%，共有果树几棵？1000×（1-60%）

果园里有梨数1000棵，桃数比梨数少60%，有桃树几棵？1000÷60%

果园里有果数1000棵，梨数占60%，有梨树几棵？1000×（1+60%）

果园里有梨数1000棵，比桃数

多60%，有桃树几棵？1000÷（1+60%）

果园里有梨数1000棵，桃数比梨数多60%，有桃树几棵？1000×60%

果园里有梨数1000棵，比桃数少60%，有桃树几棵？1000÷（1-60%）

（2）开放性的练习。

由学生自主选择条件，自己提出问题并解决问题。例：出示铅笔盒每只18元、一件上衣200元、一张门票30元、降价10%、增加10%。

由学生设计解题方案。例：校足球队要买一些足球，采购员看了甲、乙、丙三家商店，单价都是25元，但促销方式不同。甲店：买十送一。乙店：打八折。丙店：满100元，返还现金20元。请你帮采购员算一算，怎样买比较合适？

（3）层次性的练习。

A.图书馆里有一些科技书和文艺书共200本，其中科技书占80%，文艺书有多少本？

B.图书馆里有一些科技书和文艺书，其中科技书200本，它的80%，正好是文艺书的25%，那么文艺书有多少本？

C.图书馆里有一些科技书和文艺书，其中科技书占80%，如果用文艺书换走科技书200本，那么科技书占全部的60%，问原来科技书有多少本？

练习的设计还要与学生感兴趣的事、熟悉的生活情景相联系，让学生可以从多种角度去思考，来培养学生运用数学思维方式来分析现实生活的意识和能力。

（4）成语性的练习

用我们所学的百分数来解释这几个成语的意思：百发百中、百里挑一、十拿九稳、大海捞针。

三、指导验算，养成习惯。

小学生由于年龄小、思维直观，对题目的解答是否正确较难作出判断，审题、计算时常会出现粗心大意，加上百分数应用题计算很繁琐，很少有人进行分析、验算。种种原因都将直接导致解题的准确性。由此，教会学生验算和估算的方法，对培养学生良好的学习习惯，提高学生解题准确率是很有必要的。以下介绍几种验算方法：

1、交换条件和问题。

一堆沙子，第一次运走40%，第二次运走30%，还剩48吨。这堆沙有多少吨？列式：48÷（1-40%-30%）=160（吨）。以160为条件，算出第一次运走160×40%=64（吨），同理算出第二次运走48吨，那么160-64-48=48（吨）。说明答案正确。

2、找量率等量关系。

以上题为例，根据剩下48吨就是30%，两者对应，那么第二次运走也是48吨，由此10%与48÷3=16（吨）对应，40%与16×4=64（吨）对应。那么64+48+48=160（吨）答案正确。

3、心理推导检测法。

淘气第一天看了故事书的20%，第二天看了全书的40%，两天共看了60页，这本故事书有几页？列式：60÷（20%+40%）=100（页）。心理验算：看了60页是（20%+40%）=60%，那没看的40%就是40页。所以总页数是100页。

百分数应用题例8

分数、百分数应用题中含有分率、百分率的句子是解题的关键句。但在实际题目中，很多含有分率、百分率的句子都是不完整的。因此，我们在教学时要根据上下句的联系，进行补叙、推理训练，并列出关系式。如：“十月份超产了20%，九月份生产多少台电视机？”可引导学生补充：十月份比九月份超产了20%，十月份超产的是九月份的20%，从而列出关系式：十月份生产的台数=九月份的台数+九月份的台数×20%。

二、重视单位“1”的量的判断训练

借助分数、百分数应用题单位1的量的判断，能够让学生找到解题的方法和途径。教学时，经常指导学生找出题中单位1的量，看看单位1的量是否已知：单位“1”的量已知用乘法计算；单位“1”的量未知用除法计算。

三、重视题型分类对比训练

分数、百分数应用题一般分为三个类型：一是求一个数是另一个数的几（百）分之几？二是求一个数的几（百）分之几是多少？三是已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数是多少？每一类题型中又分三个类型，教师要由浅入深地对学生加以训练。如求一个数是另一个数的几（百）分之几？就有：（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几？这是最简单的。（2）求一个数比另一个数多几（百）分之几？（3）求一个数比另一个数少几（百）分之几？这两类是比较复杂的。

四、加强易混题型的对比训练

对于容易混淆的内容，要有意识地设计一些似是而非的变式题组让学生练习、比较，分析它们的细微差别，从而掌握解题规律。如：

1.比25吨少吨的数是多少？

百分数应用题例9

我在多年的小学数学教学中，摸索出解答分数或百分数应用题的规律，总结起来。

一、确定“单位1”的量

怎样确定“单位1”的量，看看题中所给的量中，哪个是被比的量，同谁比谁就是“单位1”的量。

二、确定分率

比“单位1”量多就用1+百分率，否则就是1-百分率。

三、确定算法

1.求被比的量（同谁比求谁）用除法。

2.求比较量（同谁比不求谁）用乘法。

例1.一个服装厂计划11月份生产服装3000套，实际比计划提高了30%，实际生产服装多少套？

（1）确定“单位1”的量

题中是实际同计划相比，计划就是“单位1”的量。

（2）确定所求的量所占的百分率

题中实际比计划提高了30%，把计划看作是1，提高了30%，实际是计划的（1+30%）。

（3）确定算法

求实际生产服装多少套，就是求计划的（1+30%）是多少。用乘法（同谁比不求谁）

意义：求一个数的几分之几（或百分之几是多少）用乘法列式算式是3000×（1+30%）

例2.某电视机厂去年上半年生产电视机48万台，比下半年电视机产量减少了20%，这个电视机厂下半年生产电视机多少台？

（1）确定“单位1”的量

上半年电视机产量与下半年电视机产量相比，下半年就是“单位1”的量。

（2）确定所求的量所占的百分率

题中上半年生产电视机48万台，比下半年电视机产量减少了20%，就是用1-20%。

（3）确定算法

同去年下半年电视机产量相比，求去年下半年的电视机产量用除法（同谁比求谁用除法）。

意义：已知下半年产量的20%是上半年的48万台，求下半年生产电视机多少台？用除法列算式是48÷（1-20%）

当然，这种类型题也可用方程来解。

解：设下半年生产电视机x台，列方程得：

x-20%x=48

总结起来：

1.确定“单位1”的量。

2.确定所求的量所占的百分率。

3.确定算法，同谁比求谁用除法，同谁比不求谁用乘法。

练习用此方法解答下列应用题：

1.猴石中心校今年有学生500人，比去年增加了 ，去年学校有学生多少人？

2.学校图书馆原有图书14000册，今年又增加了20%，今年有图书多少册？

百分数应用题例10

百分比的应用题中涉及至少两个变量的关系。既然涉及的关系是变量间的比例，那么抓准涉及两个变量关系的联系词，对于题意的理解尤为重要，也是解决问题的钥匙所在。相当多的学生做错问题，就是在审题过程中没有注意关键词或没有抓住关键词，对于关键词视而不见，对于谁是比较的标准量、谁是被比较的量没有认真推敲，造成比例关系出错。

试看下列这组典型填空题：① 90kg是2吨的（ ）%；②比（ ）千米少20%是50千米；③（ ）小时比40小时多30%；④9.5吨增加（ ）%是1吨。

学生常见的错解：①2÷90×100%；②50÷20%；③40×30%；④1÷9.5×100%。

如果稍作概括，发现比例应用题的叙述中最典型的句式是：“……甲……比……乙……（多、少、长、短、重、轻……）（……）%”，教师在课堂教学中就应该训练学生掌握这个典型句式的含义，明确句式中的关键词“比”，点出紧跟“比”字的对象“乙”是被视为比较标准的事物，而“甲”则是被比较的对象，其对应的量被视为标准的对象为名义的“1”、“100%”，如果两者的比通过除法求得，那么视为标准的乙物体对应的量必须作为除数，被比较的对象甲对应的量则应作为被除数。这里，注意句式“……甲……比……乙……（多、少、长、短、重、轻……）（……）%”的若干变形说法，如：“……甲……是……乙……的（ ）%”， “……甲……（增加、减少）（……）%……是……乙……”。教师在新授课教学中应该通过生活中的实例逐一让学生通过学习掌握这些典型句型的含义，并明白其中的这些关键词在理解题意中的作用，培养学生抓关键词的习惯与意识。这也有力地促进学生由形象思维逐步适应向初级抽象思维的转变，这是符合小学高年级学生的心理年龄特征的。

二、对牵涉两个以上百分比关系的应用题，指导学生分清几类百分比关系

第一类，同一个量连续变化两次。在同一个量连续两次百分比变化的问题中，学生容易把连续变化的两次误认为是独立变化的，进而误以为第二次变化的基准量（即视为100%的那个量）就是第一次变化前的基准量，极易认为总的变化百分比值就是两次百分比的和。

典型例题：一种汽车先降价10%，后来经过市场调研后发现，销量可望再上一个台阶，又继续降价10%，加大促销力度，现在的价格只相当于原价的几折？错解：100%-10%-10%=80%。 剖析：此类问题学生常见错解的原因在于认为连续两次降价的百分比之和就是总的降价结果，而没有注意到经过第一个百分比变化后的量已经成为第二次百分比变化的新的基准量。这样，上述问题的解法就应当是：1×（100%-10%）×（100%-10%）=81%。

第二类，涉及同一个计算量的另外两个量自身发生百分比变化。与同一个量相关的另外两个量自身分别发生百分比的变化时，这种变化往往是独立的，相当多的学生把它们混为一谈，没有意识到涉及这两个量的百分比在代入计算时，应该直接参与发生变化的这两量的计算过程。当然，要注意区分“和”与 “积”这两类问题。

典型问题一（和类问题）：商店出售两件工艺品，玩具笔和玩具小笔刨，其中，小笔刨售价8元，玩具笔售价4元，后来做了调整，笔刨涨价10%，笔降价10%，如果笔刨和笔是成对出售的，问：顾客购买时的单价如何变化？常见错解：因为笔刨涨价10%，笔降价10%，所以成对出售时总的价格变化的百分比为10%-10%=0；（8+4）×（100%+10%）×（100%-10%）。这两种解法错误的根源都在于没有意识到，虽然笔刨和笔是成对出售的，但是，笔刨和笔的单价变化确实是独立的，前述的两种解法将其混同于同一变量的前后两次变化。正确解答应为：8×10%=0.8，4×10%=0.4，所以涨价与降价百分比幅度虽然相等，但数量差值幅度不等，最终成对出售时，顾客购买时的单价变化为涨价0.4元。